基本不等式中的变换技巧

李 强

河北定州中学

基本不等式作为高中数学“不等式”章节的一个重要知识点,一直是历年高考数学试卷中考查的重点与热点.在具体考查中,有时以简单问题的形式单独考查基本不等式,有时与其他相关知识加以交汇与融合来综合考查与应用,是每年高考必考的一个基本知识点.其中涉及基本不等式的应用技巧与策略比较强,需要对条件进行适当的恒等变形,合理构建出适用基本不等式的条件——“一正、二定、三相等”,进而结合基本不等式及其变形公式等加以多视角、多层面的转化与应用,实现最值的确定与不等式的确定等[1].

下面就基本不等式的应用过程中几个基本的变换技巧与策略加以实例剖析,进行分拆处理、拼装转化、配凑构建、合成组合等,抛砖引玉,供参考与学习.

1 分拆

根据题设条件与目标代数式的结构特征,合理分拆相关的项,或平均分拆,或根据系数关系按比例分拆等,与其他相关的项重新合理组合,进而满足应用基本不等式的条件,为进一步巧妙利用基本不等式来合理放缩处理提供条件并指明方向[2].

分析：根据所求目标代数式的结构特征,结合基本不等式的应用条件,合理分拆处理,巧妙利用基本不等式加以放缩与变形,即可求解对应代数式的最值.解决问题时两次利用基本不等式,要注意等号成立的条件.

点评：合理分拆,构建能利用基本不等式的基本条件,为进一步利用基本不等式进行放缩提供场景.充分挖掘题目目标代数式的参数、系数等的数字特征,为构建“和定值”或“积定值”进行必要的分拆处理.特别地,两次及以上利用基本不等式时,要注意确定满足等号成立的条件之间的一致性.

2 拼装

根据题设条件与目标代数式的结构特征,合理拼装相关的项,或移项处理,或合理组合等,构建符合利用基本不等式的基本条件,借助基本不等式来合理转化与变形,合理放缩应用,实现问题的求解.

例2〔2022届浙江省宁波市高三第二学期高考模拟考试(宁波二模)数学试卷·8〕正实数a,b,c互不相等且满足a2+b2+c2=2ab+bc,则下列结论成立的是( ).

A.2a>b>cB.2a>c>b

C.2c>a>bD.2c>b>a

分析：根据题设条件中的代数关系式,通过不同视角的拼装,利用基本不等式来放缩,结合不等式的基本性质判断相应两变量所对应的关系式之间的大小,进而得以确定不等式结论成立的选项.

解析：由a2+b2+c2=2ab+bc,利用基本不等式,可得2ab+bc-c2=a2+b2≥2ab.

由于正实数a,b互不相等,因此2ab+bc-c2>2ab,即bc-c2>0,可得c(b-c)>0,则有b>c.

又由a2+b2+c2=2ab+bc,利用基本不等式,可得2ab+bc-b2=a2+c2≥2ac.

由于正实数a,c互不相等,因此2ab+bc-b2>2ac,即b(2a-b)+c(b-2a)>0,可得

(2a-b)(b-c)>0.

结合b>c,则有2a>b.

综上分析,可得2a>b>c.

故选择答案:A.

点评：充分挖掘题目条件,构建利用基本不等式的条件与结论,注意对条件中的代数关系式进行必要的恒等变形,正确地拼装,为合理利用基本不等式进行放缩处理与恒等变形提供条件.在以上问题的解析中,要注意利用基本不等式时,由于参数之间互不相等,因此等号不成立.

3 配凑

根据题设条件与目标代数式的结构特征,合理配凑相关的项.配凑的技巧主要有常数代换、换元引参、配添分离、升次降幂等.合理的配凑主要是为了构建“和定值”或“积定值”,满足利用基本不等式的条件,进而合理应用基本不等式来处理问题[3].

A.4 B.6 C.9 D.16

分析：根据题设条件中的代数关系式与目标代数式的结构特征,合理配凑组合,利用乘“1”法进行常数代换,构建满足基本不等式的条件,进而利用基本不等式的放缩处理来确定对应目标代数式的最值.

解析：根据题设条件,正数a,b满足a>1,b>1,且a+b=3,进行合理配凑,可得a-1+b-1=1,a-1>0,b-1>0.

故选择答案:C.

点评：合理配凑,题目类型多样,技巧方法众多,关键是要抓住基本不等式的条件,借助相关的方法配凑对应参数之间满足“和定值”或“积定值”,恒等变形来构建目标代数式,为进一步利用基本不等式来分析与处理奠定基础.当然,该问题也可以直接利用常数代换,通过分式的合理配凑来转化与应用,也可以达到求解的目的.

4 合成

根据题设条件与目标代数式的结构特征,合理合成相关的项,或平方处理,或构建对偶式,或取倒反推,合理创设条件来满足利用基本不等式的场景,进一步借助合成过程的逆向处理来解决问题.

分析：根据所求目标代数式的结构特征,通过合成进行所求代数式的平方处理,利用代数式的恒等变形与基本不等式的应用加以转化,结合条件确定对应的最值,再利用开方处理来确定所求代数式的最值.

解析：根据题设条件,因为正实数a,b满足a+b=2,所以利用基本不等式,可得

故选择答案:A.

点评：合理合成处理,改变条件中代数关系式或目标代数式的结构特征,方便进一步利用基本不等式来合理变形与转化.合成代数式的依据主要是结合题目条件与所求结论的代数式之间的联系,巧妙构建二者之间的关联,同时注意合成的逆向处理.

5 结束语

在利用基本不等式来分析与解决相应的数学问题时,首先要合理构建吻合基本不等式的适用条件(即等号成立的条件——“一正、二定、三相等”),进而结合题设中相关代数式结构特征的合理变化与转化,从多个视角、多个层面加以恒等变换与巧妙处理,创新性地利用基本不等式进行放缩与变形,有效开拓解题思路,发散数学思维,提升数学品质,培养数学核心素养.