母题探源:拓展教材习题的价值——以“两个习题引出的不等式”教学为例

王永军

重庆市广益中学校

数学教材(教科书)中的习题是学生学习数学的重要载体,具有基础性的重要地位.教材习题的设置看似简单,有些甚至显而易见,但它们具有良好的梯度与针对性,是教材编写专家集体智慧的结晶.教材习题也必然是教师教育教学的载体,教师要引导学生用好教材习题资源,充分挖掘教材习题的“暗示”功能,即提供范例.高考数学试卷的命题专家们必然会潜心研究教材中的习题,数学试卷中也必然会恰当运用这些范例,从而引导教学、教法、思维.

本文中以普通高中教科书数学选择性必修第二册(人教A版)中“两个习题引出的不等式”的教学为例,探讨教材母题的应用价值,与大家分享.

1 课标要求

通过导数的学习,学生要掌握导数的基本运算,学会运用导数来研究函数的性质,进而解决一些实际问题.不等关系是数学中最基本的数量关系,用导数研究函数的单调性,由此得到函数在相应区间的极值(最值)能够建立一些重要的不等关系,同时通过函数图象能够直观理解导数的几何意义.

2 教学片段

问题呈现:

问题1(教材第94页练习第2题)证明不等式:x-1≥lnx,x∈(0,+∞).

问题2(教材第99页习题5.3第12题)利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数图象直观验证:

(1)ex>1+x,x≠0;

(2)lnx0.

(Ⅰ)左右对称,有机整合至真

证明问题1、问题2,只需构造相应的函数:f1(x)=(x-1)-lnx(x>0),f2(x)=ex-(1+x),f3(x)=x-lnx(x>0),f4(x)=ex-x.接下来的任务就是对函数求导、判断单调性、由极值得最值,进而建立不等式,证明过程简单.

设计意图：对问题1、问题2进行整合,可以得到不等式链

lnx≤x-1

①

①式中的不等式链几乎无须附加任何条件.当且仅当x=1时,lnx=x-1;当且仅当x=0时,x+1=ex.注意涉及到对数lnx时需要考虑x>0,这其实是对数本身对真数的要求.

另外,①式左右两端是对称的.事实上,若①式左边不等式lnx≤x-1成立,结合指数函数y=ex的单调性,可得eln x≤ex-1,即x≤ex-1,这表明x+1≤ex成立,即①式右边不等式成立;反之亦然.

①式在很多数学问题(不等关系)的处理中可以大显身手、化繁为简,有些看似“莫名”的函数取值都可以通过①式得到解释.

②

当且仅当x=1时,②式等号成立.

(Ⅱ)数形互动,几何直观至美

如图1,在平面直角坐标系xOy中作出函数y=lnx,y=x-1,y=x,y=x+1,y=ex的图象(图象由下向上依序).

图1

函数y=lnx,y=x,y=ex都是基本初等函数,是必须熟记的函数模型(图象、性质);函数y=x+1,y=x-1的图象可以由y=x的图象经过上下平移而得到.

设计意图：从整体上看,图1中5个函数的图象是关于函数y=x的图象成轴对称的,图形简洁清晰,便于对①式中不等式链的记忆.其中y=x-1是y=lnx在点(1,0)处的切线,y=x+1是y=ex在点(0,1)处的切线.图象的几何直观突出了数形结合的思想方法,便于深刻理解函数及不等式的几何意义,可以有效提升学生直观想象和数学运算素养.

(Ⅲ)应用举例,习题再现至善

问题3〔教材第104页复习参考题5第19题,2017年高考数学全国卷Ⅰ理科第21题第(2)问〕已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

于是,若f(x)有两个零点,只需考虑a>0,此时

③

简单验证知,当a≥1时,③式不成立;当0

下面说明理由.

结合f(x)的单调性及连续函数零点存在定理知,a的取值范围是(0,1).

设计意图：事实上,关于③式的成立与否,可以先观察,比如从ln 1=0入手进行思考.

方法1,看似简单,由于教材(教科书)中几乎没有提及极限知识(只是在导数的概念中“不得不”用极限引出导数),学生对极限的运算是陌生的,教师在平时的教学中渗透的极限思想是不足以用来解答该题的,因此方法1不是教师平时教学的最优方法.

问题3是很好的教材习题(高考真题)资源,蕴含了多种数学思想方法和思路策略,对各种数学运算能力(直观想象、转化化归、利用导函数处理问题的一般步骤等)的要求都很高,对此问题的深入研究为以后的数学学习提供了很好的示范引领.

(Ⅳ)高考数学,灵活应用至巧

对于此题,函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1).

当x∈(-∞,0)时,f(x)>0;当x∈(0,1)时,f(x)<0.于是xf(x)<0.

欲证g(x)<1,去分母整理,即证x+(1-x)·ln (1-x)>0.

设计意图：本题中对于xf(x)<0的探讨,可以构造新函数v(x)=xf(x),然后用求导、极值、最值等来处理不等式,但这样会把简单的问题变得复杂.

3 教学思考

教学中,要注重教材中母题(例题,习题)的开发与利用.如本文中的问题1、问题2分散在教材各处,要有意识地去整合与提升,努力提炼出一些经典的结论;要善于研读教材习题(如问题3),看清、分析、吃透解题过程中每一步所运用的数学思想与方法.加强运算训练,特别是指数与对数的互化、不等式的各种等价变形、基本初等函数及其求导与化简等,这对学生的学习可以起到事半功倍的效果.如从问题1、问题2中整合得到的①式、②式,其应用范围极其广泛.运用中要注意观察所要证明的不等式的结构特征,必要时须先进行恰当的等价变形,还要注意等号成立的条件.恰当的运用通常可以将原本复杂的运算(传统解法)变得简单(如问题4),降低数学思维层次,节约考试时间,提高学习效率,提升数学运算素养.