小学数学几何直观教学的困境解析与路径探析

江苏南京市南化实验小学（210044） 张 阳

小学数学中的几何直观教学是指要求学生能学会利用图形表征的方式，帮助分析和思考数学问题。数学本身具有抽象性的特点，这导致学生在理解数学概念、寻找数量关系和运用解题方法时出现诸多困难。为此，许多一线教师能根据小学生的思维特点，积极采用几何直观的方式进行教学，引导学生利用图形简明、形象地描述数学问题，有效化解学生遇到的困难。然而，部分教师由于经验尚浅、教法钻研不够，在几何直观教学中存在把握不足、理解不深的问题，使得小学数学课堂中出现为了直观而“直观”的教学现象。

一、课堂假象：为直观而“直观”

鉴于儿童以形象思维为主的特点，再加上数学本身内容的表达具有抽象性的特点，这就导致数学教学存在一定困难。几何直观教学是有效化解数学教学难题的重要手段和策略。例如，“比一个数多几、少几”的探究课上，教师呈现“小英做了11 朵花，小华比小英多做了3 朵，小平比小英少做了3朵，小华做了多少朵？小平做了多少朵？”的问题，要求学生用摆圆片的方法说明小华和小平做的花的朵数。到了练习阶段，教师仍旧让学生通过摆圆片来解决问题。教学显示，学生每做一题都要先动手操作再写算式，费时费力，导致一些动手快的学生做完了没事做、动手慢的学生做不完的情况发生。

教师要求学生用学具来思考，这本身没有问题，因为“摆一摆”的活动确实能帮助学生寻找两个数之间的多少关系。然而，如果每一道题都要求学生进行学具操作，这样的直观教学则属于低水平的教学，不利于发展学生的抽象思维。正确的做法应是当学生已经弄清哪个数与哪个数进行比较、是求多还是求少的关系后，教师要及时给予方法指导，并要求学生将摆圆片操作上升为画图操作，甚至可以让他们在脑海中进行思维操作。这样能帮助学生快速解决稍复杂的问题。如遇到数字较大、关系较复杂的问题时，可以先让学生画图分析，简化操作过程，再将实物抽象成图形，从而帮助学生提升分析、比较等思维能力。

二、原因解析：如此“直观”为哪般？

1.局限于直观操作仅为得到结果

例如，在教学“整十数乘一位数的口算”时，有教师首先组织学生探讨教材例题，在学生得出“20×3”的算式后，该教师便向学生提出摆小棒的要求，以此来探究算式的算法和算理。课上学生很快摆成了6个10，并说出答案是60。该教师随后组织学生探讨小棒的摆法，要求学生数一数总数。在整个教学过程中，学生根据摆小棒的结果，“直观”地再次验证了60 这一答案。在这节课的归纳总结中，该教师总结出整十数乘一位数的口算方法，即先算“几乘几”，再在积的末尾添上1 个0。课堂教学进展得似乎十分顺利，但学生是在明白算理中自然生成算法的吗？学生明白为什么要在积的末尾添1个0 吗？在这一教学过程中，该教师过于看低学生的水平，将教学的重点放在怎么理解算式的意义上。其实对于乘法意义的理解，学生早已有了基础，因此这节课的关键探究点是让学生掌握“先算2×3，再在积的末尾添0”的方法。几何直观教学中也应立足于帮助学生理解“为什么会有6 个十”，并且在使用方法上不加限制。如此，才能调动学生思考的积极性，使之理解操作的必要性，激发操作的兴趣。

2.误将实物视为图形教学的“万金油”

在图形教学中提供丰富的实物是必须的。然而有的教师也容易陷入只要提供实物就能解决图形教学中所有问题的误区。例如，在教学认识图形时，有教师基于低年级学生思维能力以形象思维为主的特点，为每个学生都准备了圆柱、球、长方体及正方体，以便使学生有充分感知实物的机会。然而仅是提供圆柱实物，学生只能单一感知圆柱是长长的、上下一样粗的、有两个面是圆的。虽然在教学圆柱时，该教师已经提醒学生圆柱也有比较“短”的，但是对于低年级的学生来说，完整描述圆柱的全部特征难度确实较大。特别是圆柱和球都有曲面，如果圆柱比较矮，那它和球就更加相似了。对于有两面是正方形的这一类特殊的长方体，学生也容易与正方体产生混淆。由此看来，实物直观教学不仅要让学生看得见、摸得着，更要让其掌握怎么看和怎么摸的方法。

3.误认为只要经历了亲身操作，就一定能学有所获

教师让学生自主探索本身没有问题，因为学习往往就是在动手操作中获得经验的。然而，如果不注重操作后的深入交流，不注重在产生分歧或出错处停下来思考和交流，这样的直观教学则属于低水平的教学，不利于学生获得正确的体验和认知。例如，在教学“圆的认识”时，有教师在课堂中提出让学生动手画一个直径为3 厘米的圆，学生完成后，教师收集画得不标准的作品，让全体学生评价这些作品。学生观察这些作品发现：有的圆画得不圆、有的圆画得太大了、有的圆画得太小了……随后，该教师立即教学生怎样画圆，这样做显然偏离了本课教学的中心。

圆的作品的直观呈现，不应仅仅是画圆没成功的数学性评价，各抒己见也不应只局限于像不像圆的交流。这节课的教学更重要的是要立足根本，紧抓圆的特征来分析生成性资源，在交流比较中让学生形成对圆的正确认知。

三、路径探析：在“抽象”与“直观”之间构建桥梁

1.借助直观回顾反思，以促进算理理解

培养学生的几何直观能力，不是一味地对学生进行直观的演示，而是如何引导学生在实物的基础上将几何直观与抽象思维相结合。例如，在教学“9加几”时，当学生操作得出9+4 的结果后，有教师就急于抽象出“凑十”法的计算思路和方法。如此，使得操作和抽象教学之间缺乏应有的过渡。笔者认为在操作和抽象教学之间还应该增加一个“看自己操作的照片，说自己操作的过程”的教学内化环节。因为在这一内化环节中，学生不仅关注了知识，还能观察到操作中的其他因素，如怎样摆得整齐、学具掉地上了要及时拾取等。根据操作的照片，让学生复述操作过程，可以使学生将关注点集中到数学知识上来，舍弃其中的非本质因素。此外，看结果说操作过程，也是引导学生由直观通往抽象的桥梁，逐渐增加信息刺激的间接性和抽象成分，这样才符合学生的认知发展规律。

心理学家加里培林将心智动作的形成分为五个阶段：一是活动定向阶段，如在上述“9 加几”的直观操作中，学生通过摆小棒摆出9根和4根，从而解决9+4 的问题；二是物质活动或物质化活动阶段，如在上述摆小棒的过程中，学生发现从4 根里面拿1 根给9 根就凑成10 根了，为后续抽象算理做好铺垫；三是出声的外部言语活动阶段，如上述“看自己操作的照片，说自己操作的过程”这一活动，正是使学生将关注点集中到知识的本质上来的一个中介过程；四是无声的外部言语活动阶段，如在上述学生开始初步抽象学习，通过回想刚刚的操作过程，建构“凑十”法的算理；五是内部言语活动阶段，内部言语完成后，学生就能高度简要、自动化地抽象出数学知识。

数学抽象是直观教学的目的与归宿。直观是小学生学习的起点，而数学是要求抽象的。在教学中，教师要注意处理好直观和抽象的关系，要以直观为引导，最终走向抽象。

2.基于直观诱发想象，抽象测量和反馈的方法

对于“几何与图形”的教学，直观手段想必是学生学习该节知识必须借助的，因为学生能从外观上整体识别图形。若学生未注意到各种图形的特征性质，想让学生抽象出数学的几何图形，全靠直观显然是不够的，须基于直观诱发想象。大胆的想象与联想是拓宽几何直观思维空间的主渠道。

例如，在探索“长方形的面积”时，为了让学生理解长方形的面积公式，教学可以分为3个环节。

（1）出示边长为1 cm 的正方形纸片，让学生用边长为1 cm 的正方形纸片摆3×2 的长方形（如图1）。这一环节旨在让学生明白图形的面积就是看图形包含了几个单位面积。全体学生都以直观操作为主，直接数出小正方形纸片的数量来得到结果。

图1

（2）出示大一些的长方形（4 cm×3 cm），让学生用边长为1 cm 的正方形纸片铺满长方形。在这一环节中，有学生并不摆满，只摆一行和一列，用行数乘列数就能知道长方形的面积了（如图2）。

图2

（3）出示更大的长方形（6 cm×4 cm），让学生用边长为1 cm 的正方形纸片铺满长方形。当学生发现手里的正方形纸片连一行一列都摆不满时，便想到了量的方法，即先量长方形的长和宽，再相乘（如图3）。

图3

对于长方形的面积的测量，光靠用单位面积的图形来摆，学生对面积公式就无法深刻理解，这时就需要在直观图的基础上让学生充分想象，不断地对面积这一概念进行“修正”。爱因斯坦曾说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切。”想象是思维的翅膀，教学应将想象和观察、推理、思考等活动结合起来。

3.在直观操作后充分交流，突破个体思考

在教学中教师应处理好直观操作和数学思考的关系，结合具体的操作活动，立足知识根本，随时关注有价值的生成性资源，适时地提出能引发思考的问题，让学生在操作后思考，同时组织好讨论交流，增强学生对活动的感受与体验。之所以这样安排，是因为：一方面，没有数学思考的操作活动是流于形式的；另一方面，脱离直观感受对知识过早下定义，无疑是死记硬背。

例如，在教学“圆的认识”时，可以让学生在操作中进行充分的交流，激起各种思想方法的交锋，形成不同知识结构、思维方式的碰撞和互补，有效地拓展学生的思维广度和深度，深化对圆的特征的认知。

（课前，教师给每个小组都分发了一个纸杯、带孔的纸板、橡皮筋、圆规）

师：请每个小组从中选择一种在作业纸上画一个圆。

（学生画圆结束后，教师组织学生交流）

生1：我是用杯子底部来描的圆，先放好杯子，沿着边画一圈，就画好了一个圆。

生2：我是将纸板里面的一个孔用小棒固定住，用笔沿着另外一个孔来画。

师：你的圆为什么没有画成功呢？

生2：小棒不容易固定住纸板上的孔。

师：看来我们在画圆时要注意定点。为什么没有人选用橡皮筋来画圆呢？

生3：因为橡皮筋有弹性，画出来的图是歪歪斜斜的，不成圆。

师：想想看，橡皮筋不容易固定什么？

生3：不容易固定长度。

师：对，不容易固定圆的半径，我们也可以说它不能“定长”。

师：其他同学选择了什么工具来画圆？

生4：我是用圆规来画的，我先固定圆规的那根针，然后绕着那根针让铅笔的那一头旋转一周，这样就画成了。

出示画得不成功的作品，透过不成功的作品的表象，让学生在观察比较、反思讨论中不断进行自我修正，弄清“画不圆”的原因——要么定点不能保持，要么定长发生改变。学生在充分的交流中对圆的本质特征有了更加清晰的认识。在上述教学中，教师的每次发问都能引发学生思考，并经过适时的抽象归纳，让学生在直观操作后的交流中对圆的特征有了充分的认知。

荷兰数学家弗莱登塔尔指出：“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”教师使用几何直观方式教学时，应基于学生的学习特点，使其能在数形之间自由切换，以此实现知识的理解和建构，如此，几何直观教学的功能才能得以充分发挥。