可视化视角下的数学解题教学

张文亭

摘 要：函数与导数的零点问题是函数教学与学习中的难点所在，借助可视化视角，有助于学生更好地理解函数图象的变化，快速获得解决问题的突破口.以函数与导数的零点问题的教学目标与教学案例分析为例，进一步阐明可视化视角下数学解题教学要不断引导学生逐步树立借助可视化的场景更好地分析数学问题、解决数学问题的意识；在课堂教学中要不断鼓励学生自主尝试借助可视化方法处理数学问题，以不断积累数学基本活动经验.

关键词：高中数学；可视化；导数；零点问题

所谓数学可视化，是指数学教学中师生思维的可视化，即在数学教学中，通过某种方式，将内隐在师生头脑中的思维过程外显出来，使得抽象的知识图象化、知识建构直观化、隐性知识显性化、解题规律模型化、零散知识系统化、核心知识发散化.与此同时，高中数学主要考查学生对问题的分析、解决能力.学生掌握数学知识和理论需要通过解题、解决数学问题来加以实践，教师也可以通过学生的问题解决来检验学生的学习和掌握情况.鉴于以上认识，若能在高中数学解题教学中最大程度地将思维过程外显，对学生数学的学习与数学问题的解决都有很大帮助.函数部分一直是高中学生在数学学习中的难点所在，甚至成为很多学生数学学习进程中一道始终过不去的坎.函数的难度主要体现在图形的变化与参数的处理上，在教学中，可以借助可视化的思路去处理函数的单调性、零点等问题，有助于帮助学生更好地理解函数图象的变化，快速获得问题解决的突破口.

笔者一直在数学解题教学中努力践行“数学可视化”的方式，也取得了较好的教学效果，现以高中数学“函数与导数的零点问题”为例谈谈自己的做法.

1 可视化教学视角下函数与导数的零点问题的教学目标

教师打造可视化的教学视角引导学生建立数形结合的思维去思考、解决函数单调性问题、分析判断零点个数的问题等，以便于学生在面对导数的函数零点问题的时候能够快速整理出解题的关键点和思路，梳理出解题脉络.

在高中数学知识体系中，与导数有关的函数问题是比较常见的问题，这类题目的特点是题型变化多、考察的知识面广、对学生的知识综合分析应用的能力要求高.与导数相关的函数问题在题目设计时经常会和函数问题、不等式问题、方程等相关知识点相融合，可以全方位地考量学生对知识的掌握情况.面对复杂多变的函数问题，使用导数这一解题思路是非常有效的工具，借助导数解题思路，学生能够快速地掌握函数单调性并判断出零点的存在性和零点的个数，但是学生容易在导数分析判断的过程中出错，此时，教师引导学生通過可视化的方式、利用数形结合的思维方式获得相关的解题方法，将导数、函数零点以及函数图形巧妙地结合在一起，调整解题思路，优化解题方法，总结出有效的解题模式和分析思路.

2 可视化视角下函数与导数的零点问题的教学案例

基于可视化的视角，教师在课堂讲解函数系统的时候，可以以经典例题作为案例，引导学生梳理解题的思路，构建简单的思维导图，逐步培养学生的可视化思维，让学生能够在课堂中高效吸收正确的解题思路.以下通过三个例子进一步阐明如何应用可视化视角帮助学生解决函数零点的问题.

案例1：教师讲解例题：“若关于x的方程ln x=mx在（1，+∞）上有两根，求m的取值范围.”学生在解决这一问题时，对含参的方程问题比较难以入手，这时教师就可简单地帮学生回忆函数的方程问题可以转化成图像的交点问题，并一步步引导学生将问题转化，绘制出思维导图，见图1：

思维导图能将学生零碎的、不完整的想法具体化，知识更加系统化、结构化.并且此时复杂的导数问题就可以转化成熟悉的零点问题.因此，运用思维导图解决导数的零点问题是一种符合高中学生认知结构的认知方式.与此同时，在接下来的问题处理中，让学生绘制了具体函数的图像，让学生在图像上找答案.通过可视化的场景，教师让学生更为直观地观察函数的变化趋势，通过“放缩”的方式让本题的解答更加顺利.学生在可视化的图像中能够顺利地将困难的不等式转化为简单、易解的不等式，进而建立整体分析布局的思路，这一解答的过程有助于锻炼学生的综合解题能力，使得学生在面对抽象的函数零点问题时有了新一步的方向与思路.

案例2：在课堂讲解例题：“若a^x=x²在（1，+∞）上有两个解分别是m和n，求a的取值范围.”在分析这一题目的时候，解题的关键条件比较少，学生难以第一时间整理出解题的思路，此时教师在引导学生思考的时候可以利用软件在多媒体设备上展示函数图像，模拟随着a的取值范围变化时函数图像的变化情况，如图2所示：

在函数图像中，教师利用信息技术模拟了随着参数a的增大，函数y=a^x的图像变化情况，函数图像围绕着点（0，1）作逆时针旋转的动态规律，学生可以直观地观察函数图像变化的情况，通过观察总结函数图像动态变化的规律，并观察a^x=x²在（1，+∞）上的交点个数.基于动态地演示，学生不难观察到当a的数值趋向于1的时候，函数y=a^x，y=x²的函数图像相交，随着a的数值增大，两函数从相交的状态逐渐切换成了相切的状态，再随着数值a的继续增大，两个函数的图像完全没有交集，呈现出相离的状态.基于这一可视化的动态过程，教师引导学生了解函数图像的变化和本题的解题方向，列出本题的解题方向，当数值a处于（1，t）的范围时，y=a^x，y=x²的函数图像相交，t为两个函数图像的相切的位置，由此可以整理出本题的解题步骤：

这一解题方案的计算过程更少，绘制出的可视化模型和图像更为简单，缺少动态的函数图像演变以及演示的过程，对于函数的零点定理的应用更为彻底.对于高中生来说，在面对类似的数学问题时，即便没有信息技术的辅助，学生也能够很好地整理出解题思路，快速、正确地得出结果.

“放缩”是函数零点问题中的一大难点，在实际画图的过程中学生可能需要多次的尝试才可以找到理想的位置.为此，教师在为学生梳理零点问题的时候，需要引导学生理解“放缩”的关键.

3 可视化视角下数学解题教学的教学思考

面对抽象的函数问题，数学问题中列出的已知条件较少，学生通过读题、分析题干的方式往往难以找到解决问题的突破口，此时采用构建可视化的场景，利用数形结合的思维能够帮助学生更好地分析解题思路，辅助学生提高数学问题解题效率和正确率，有助于高中生建立分析处理函数零点问题的信心.借助可视化视角进行数学解题教学不仅可以帮助学生获得问题更为感性的认识，如对图像的观察、图像动态的变化规律，同时也利于学生在可视化场景中获得解题的方向与灵感.因此，利用可视化的方法开展高中数学解题教学能在一定程度上提升數学解题教学的有效性.笔者认为，在借助可视化视角开展高中数学解题教学还应聚焦以下两个方面：

第一，引导学生逐步树立借助可视化的场景更好地分析数学问题、解决数学问题的意识.教师在数学课堂教学中应不断强化可视化的方法在解题中的应用与价值.只有通过不断地强化，学生才能逐步地梳理利用可视化方法开展解决问题的意识，才能使方法的应用成为可能.

第二，在课堂教学中要不断鼓励学生自主尝试借助可视化方法处理数学问题，以不断积累数学基本活动经验.在利用可视化的模型来分析和解决数学问题时，教师要把课堂还给学生，鼓励学生减少复杂的计算，而要多思、多想，不断积累数学解题的基本活动经验.数学活动经验是学生学习数学的重要载体，良好的数学活动经验的获得必定对学生后续的数学解题活动奠定良好的基础.

4 结束语

新高考命题下的解题教学要以学生的思维活动为核心，以学生主动探究为目标，以学生的自主训练为主导，这样的课堂才能有效地提高学生的数学解题水平，激发学生解题兴趣，帮助学生不畏惧困难的问题，以更好地突破考试难点.可视化的教学方式是这种课堂模式的良好载体和重要服务工具.教师要不断地研究探索，不断创新自己的思维，将数学问题加以分解，以直观形象的图像、思维导图来促进学生抽象思维的发展.

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