非次正规的非交换的非TI-子群的个数不超过21的非可解群

刘文静,史江涛

(烟台大学数学与信息科学学院,山东 烟台 264005)

本文所讨论的群都是有限群。设G是群,H是G的子群,如果对任意x∈G都有Hx∩H=1或H,则称H是G的TI-子群,见文献[1]。

对于群G的任意子群H,H要么是G的TI-子群要么是G的非TI-子群。考虑非循环的非TI-子群的个数,文献[2]的定理1.1证明了如果G是至多含26个非循环的非TI-子群的非可解群,则G同构于交错群A5或特殊线性群SL2(5)。注意,非TI-子群一定是非正规子群但非正规子群不一定是非TI-子群。显然一个群的非交换的非正规子群的个数等于它的非正规的非交换子群的个数,文献[3]的定理1.2(2)证明了如果G是一个至多含21个非交换的非正规子群的非可解群,则G≅A5。

作为文献[2]的定理1.1和文献[3]的定理1.2(2)的推广,本文的主要目的是考察群G的非交换的非TI-子群的个数。显然,如果G不含非交换的非TI-子群(即G的所有非交换群均为TI-子群),则由文献[4]的定理1知G的所有非交换子群皆正规,进而易知G是可解群。本文得到了下述结论成立,证明见第2部分。

定理1设G是非可解群,如果G至多含21个非交换的非TI-子群,则G≅A5。

注意,文献[3]的定理1.2(2)是定理1的直接推论。

显然任意非交换单群G的每个非TI-子群都是非次正规子群。但是对一般的群G,G的非次正规子群未必是非TI-子群且G的非TI-子群也未必是非次正规子群。文献[5]的定理1证明了如果群G的每个非交换子群皆为TI-子群或次正规子群,则G的每个非交换子群皆次正规。考虑群G的非次正规的非交换子群的个数,文献[3]的定理1.3(2)证明了如果群G为至多含21个非次正规的非交换子群的非可解群,则G≅A5。

作为文献[2]的定理1.1、文献[3]的定理1.3(2)和本文定理1的进一步推广,只考虑群G的非次正规的非交换的非TI-子群的个数,本文证明了下述结论成立,证明见第3部分。

定理2 设G是非可解群,如果G至多含21个非次正规的非交换的非TI-子群,则G≅A5。

显然下述结论是定理2的直接推论。

推论1 设G是非可解群,如果G至多含21个非次正规的非循环的非TI-子群,则G≅A5。

1 预备引理

引理1[6]设群G含一个交换的极大子群,则G可解。

引理2[7-8]设群G恰含m个极大子群,

(1) 如果m≤20,则G可解。

(2) 设G为m=21的非可解群,则G/φ(G)≅A5,其中φ(G)是G的Frattini子群。

引理3[9]设G为恰含21个非交换真子群的非可解群,G≅A5。

引理4[2]如果群G的每个极大子群皆为TI-子群,则G可解。

2 定理1的证明

证明因为群G非可解,则由引理1知G的每个极大子群皆非交换。

断言(1):任意至多含20个非交换的非TI-子群的群F总可解。

否则,假设F非可解。令F为极小阶反例,则F是内可解群。得F/φ(F)是一个极小非交换单群。显然由引理1知F的每个极大子群均非交换。而且,由于F/φ(F)是非交换单群,知F的每个极大子群都不是TI-子群。于是,F的每个极大子群均为非交换的非TI-子群。由假设,得F至多含20个极大子群。进而由引理2知,F可解,矛盾。

因此,断言(1)成立。

于是,G恰含21个非交换的非TI-子群。

断言(2):G的每个极大子群均可解。

反证。令K为G的一个非可解的极大子群。注意K的任一非交换的非TI-子群亦为G的非交换的非TI-子群。由断言(1)和假设知K恰含21个非交换的非TI-子群。说明G的每个极大子群均为TI-子群。从而由引理4知G可解,矛盾。

因此,断言(2)成立。

于是,G是内可解群。说明G/φ(G)是极小非交换单群。因此,G的每个极大子群均为非交换的非TI-子群。由假设,G至多含21个极大子群。特别地,因为G非可解,由引理2(1)知G恰含21个极大子群。于是由引理2(2),得G/φ(G)≅A5。

用符号π(G)表示群G的阶|G|的所有素因子的集合,则π(G)={2,3,5}。

显然φ(G)交换。下证φ(G)=1。

假设φ(G)≠1,分两种情形进行讨论。

(i) 假设G恰含21个非交换真子群。由引理3,知G≅A5。于是φ(G)=1,与假设φ(G)≠1矛盾。

(ii)假设G的非交换真子群的个数大于21,则存在G的极大子群M使得M含一个非交换的极大子群H。由假设,知H为G的TI-子群。因为φ(G)交换,说明H不是φ(G)的子群。于是,Hφ(G)/φ(G)是G/φ(G)的非平凡子群,知H不正规于G。又因为H为G的TI-子群,则φ(G)不是H的子群。于是H

(a)假设H∩φ(G)=1。

首先,假设H正规于M,则φ(G)=(H×φ(G)/H=M/H≅Zp,其中p=2,3或5。因为G/φ(G)≅A5,则必有p=2且G≅SL2(5)。但是,SL2(5)恰含26个非交换的非TI-子群,与假设矛盾。

(b)假设H∩φ(G)≠1。

显然H∩φ(G)正规于H。而且,由于φ(G)交换,有H∩φ(G)正规于φ(G)。因此,H∩φ(G)正规于Hφ(G)=M。因为H是M的TI-子群,得到H正规于M。注意H不正规于G,则M=NG(H)。说明对每个x∈GNG(H)=GM都有Hx∩H=1。观察到对p=2,3或5有φ(G)/(H∩φ(G))≅Hφ(G)/H=M/H≅Zp,说明H∩φ(G)是φ(G)的极大子群。因为Hx∩φ(G)=(H∩φ(G))x<φ(G)x=φ(G),且对每个x∈GM有(H∩φ(G))∩(Hx∩φ(G))=1,得φ(G)=(H∩φ(G))×(Hx∩φ(G))。说明对每个x∈GM和p=2,3或5,有Hx∩φ(G)≅φ(G)/(H∩φ(G))≅Zp。因此,φ(G))≅Zp×Zp,其中p=2,3或5。

令L1是G的子群使得L1/φ(G)≅K4≅Z2×Z2,令L2是G的子群使得L2/φ(G)≅Z3,令L3是G的子群使得L3/φ(G)≅Z5。对任意1≤i≤3,易知任一Li不是G的TI-子群且任一Li不是G的极大子群。说明每个Li都是交换的,其中1≤i≤3。

令P为G的Sylow 2-子群满足P≤L1,Q为G的Sylow 3-子群满足Q≤L2,R为G的Sylow 5-子群满足R≤L3,则有φ(G)≤CG(P),φ(G)≤CG(Q)和φ(G)≤CG(R)。因此,φ(G)≤CG(〈P,Q,R〉)=CG(G)=Z(G)。特别地,因为G/φ(G)是非交换单群,所以有φ(G)=Z(G)。令T是φ(G)的一个真子群使得T≅Zp,则T正规于G。故(G/T)/φ(G/T)=(G/T)/(φ(G)/T)≅G/φ(G)≅A5。因为对p=2,3或5有φ(G/T)=φ(G)/T≅Zp,则必有p=2且G/T≅SL2(5)。说明G的非交换的非TI-子群的个数大于21,矛盾。

综上,由(i) 和(ii)中的讨论知φ(G)=1。因此,G≅A5。

3 定理2的证明

证明用符号ω(G)表示群G的非次正规的非交换的非TI-子群的个数。注意G非可解,我们断言必有ω(G)=21。

否则,假设ω(G)<21。因为G非可解,则存在G的子群H使得H是内可解群。于是H/φ(H)是极小非交换单群。显然H的任一非次正规的非交换的非TI-子群也是G的非次正规的非交换的非TI-子群,说明ω(H)≤ω(G)。如果φ(H)非交换,则H的每一个满足A>φ(H)的真子群A均为H的非次正规的非交换的非TI-子群。说明ω(G)>21,矛盾。因此φ(H)交换。令K是H的一个非交换的非TI-子群,显然有K1。如果K在H内次正规,则Kφ(H)/φ(H)次正规于H/φ(H)。因为H/φ(H)是非交换单群,从而我们有Kφ(H)/φ(H)=H/φ(H)。进而得到K=H,矛盾。故H的所有非交换的非TI-子群皆在H内非次正规。由于ω(H)≤ω(G)<21,知H至多含20个非交换的非TI-子群。由定理1 得H可解,矛盾。因此,ω(G)=21。

由引理1知G的每个极大子群皆非交换。令M是G的任一极大子群,由上知ω(M)≤ω(G)。如果存在G的极大子群N使得ω(N)=ω(G),则G的每个极大子群要么在G内次正规要么为G的TI-子群。进而,G的每个极大子群要么正规于G要么为G的TI-子群,说明G的所有极大子群皆为TI-子群。由引理4,知G可解,矛盾。因此,对G的每个极大子群L均有ω(L)<ω(G)=21。根据上述讨论,知L可解。于是,G是内可解群,从而G/φ(G)是极小非交换单群。类似上述讨论,知G的所有非交换的非TI-子群皆在G内非次正规。说明G恰含21个非交换的非TI-子群。从而由定理1,得G≅A5。