在具身体验中理解、创造——以“长方体与正方体表面积含义”为例

文｜黄景锋

长方体与正方体的学习是学生建立量感与空间观念的关键一环。小学高年级学生具有一定的思维能力，可以研究它们的本质特征，不仅要对其进行定性描述，更要对其进行定量刻画。“表面积”是定量刻画的核心概念之一，在研究长方体与正方体的特征后进入了表面积的学习。表面积的学习关注面积的求解，更注重对长、宽、高与展开后平面对应关系的理解，同时对于长方体与正方体（尤其是正方体）的展开图的学习也很关键。笔者认为身边的立体图形教学中存在一些共性问题，在进行“长方体与正方体表面积含义”这节课的教学前后进行深度思考，力求能精准地描述存在的问题，从而解决存在的问题。

一、课前慎思

“长方体与正方体表面积含义”从教材内容的安排来看是比较简易的，简单地出示长方体与正方体的展开图，通过简要的问题厘清其中的对应关系，就可以总结出它们的表面积含义。通过对义务教育教科书教师教学用书与《中山市小学数学教学要义（第二学段）》的研读，提出了不同的建议：首先教师用书对表面积一般意义的建立提出了先计算后概括的建议，其次要将正方体的展开图作为本节课的教学重点之一。这样一来，教师在一节课中既要致力于解决表面积含义、展开图与原体的对应关系，又要致力于探究并概括正方体展开图的所有类型。

在研读与初步分析的基础上，笔者与同年级教师进行探讨，并观摩学习了他们的课堂教学，发现的问题简要概括为以下三点。

1.教学内容含量大。正如前文所分析，本节课既要致力于解决表面积含义、展开图与原体的对应关系，又要致力于探究正方体展开图的所有类型，同年级教师都没能在一节课中完成教学内容，都不得不使用两节课时分别探究。

2.表面积的含义理解不透彻。教材定义的是长方体与正方体的表面积，但对表面积却加以忽视。教学用书中提及：“理解长方体、正方体的表面积后，教师可进一步拓宽表面积的概念，任何几何体外表面的面积之和就是它的表面积，建立表面积的一般意义”。笔者深以为然，但表面积概念的建立是从特殊到一般还是从一般到特殊值得商榷。

3.教学难点难突破。一是展开图与原体的对应关系依然难理解，二是难以探究正方体的所有展开图。教师用书虽强调“折叠想象”，但从学生的表现情况来看，过分依赖“折叠想象”使学生难以理解。

为尝试解决发现的问题，笔者通过思考形成了以下想法：

第一，提供直观性强的教学工具进行具身体验。笔者在学习他人的课堂中发现可探究的学具是学生从家里携带的长方体与正方体包装盒，展开后五花八门，其中的非数学元素大大挤占了学生的学习空间与时间，同时“折叠想象”太多、难度太大，因此需要提供更直观的研究对象，教师应协助学生在课前制作相同数量与大小的长方体与正方体。

第二，更合理地建构“表面积的概念”。教师用书中建议采用先学习“长方体与正方体的表面积”再拓展至一般意义的“表面积”，运用的思路是“特殊—一般”。这样一是特殊的例子太单一、不生活化，二是采用的逻辑是小学常用的归纳推理，是否可以尝试从“一般—特殊”或“特殊—特殊”来更合理地建构“表面积的概念”。

二、课中体验

（一）在具身体验中理解“表面积”的含义

片段：

师：在三年级时，我们学习了面积，它是指平面图形的大小，今天我们要学习表面积，什么是物体的表面积呢？你能结合下面的物体说一说吗？

生1：橘子的表面积就是橘子皮有多大。

师：如果要知道它的表面积你们有什么好方法吗？

生2：剥下来，然后切成我们学过的图形计算。

师：真有创造力！竟然想到了把体转化成面，化未知为已知。它呢（指着长方体）？

生2：长方体的表面积是指所有面的面积加起来。（追问：你能摸一摸给大家看看吗？学生边摸边说：上下、前后、左右）

师：这是我们现在对表面积的理解，不一定准确，今天我们就来深入学习“长方体与正方体的表面积含义”。

理解“表面积”的含义需要具身体验，这种体验要做到调动学生已有的经验，也要在操作（此处是观察、触摸与想象）中体验。

笔者让学生先谈谈自己对“表面积”的理解，学生会将“面积”的学习经验迁移过来尝试自己去理解“表面积”的含义，并用生活中的事物激发学生的生活经验，创设有趣味、值得思考的问题：“如果要知道橘子的表面积你们有什么好方法吗？”渗透化体为面后表面积是不变的，为后续的学习做铺垫。

教学用书中“特殊—一般”的概念建构逻辑，笔者通过思考认为调整为“特殊—特殊—一般”更适合。从生活中的事物引入，让学生谈谈长方体的表面积，这是“特殊—特殊”的过程，通过系统的学习后，再从生活中的事物与立体图形两方面归纳总结“表面积”的含义，这是“特殊—一般”的过程，更具说服力。整个概念的建构经历了“特殊—特殊”的类比，在经历“特殊—一般”的归纳，使建构过程中的具身体验更充分。

（二）在具身体验中深度理解展开图与立体图形的对应关系

片段：

师：现在就请大家先将手里的长方体标上“上下前后左右”再展开。（学生基本剪完后出示问题，将学生的生成贴在黑板上）展开图和原来的长方体什么变了，什么没变？展开后的6 个面有什么特点？先观察思考再讨论。

生1：原来是体，展开是平面。

生2：展开的面就是原来长方体的表面，所以面积没变。

生3：原来有棱，都变成了边。

生4：两个相同的面都隔着一个面，不连在一起。

师：大家观察得很仔细、很深刻。那每个面的长和宽与原来长方体的长、宽、高有什么关系？先观察。（学生手里分别有一个展开的长方体和一个未展开的长方体）

生5：（结合长方体、展开图、三线图说一说每个面的长和宽与原来长方体的长、宽、高的对应关系）

师：（学生轮番解释，教师小结）现在结合自己手中的长方体与展开图与同桌说一说对应的关系。

为使学生深度理解展开图与原体的对应关系，笔者一方面注重直观教学，另一方面也尝试对数学问题进行深加工。

1.对教材的问题进行再加工

教材中原本的问题是：“哪些面面积相等？”对于这样的问题学生不需要经过深入思考就可以得出结论，对于表面积的含义与对应关系的理解少有帮助，真正有帮助的是通过对比发现变与不变的关系。虽然化体为面，还是6 个面且表面积不变，每个长方形的长和宽也是源于原来的长方体的长、宽、高。学习材料没有变化，但是更有深度的问题学生会有更深刻的学习体验，深层次、多角度的体验使学生的生成更加丰富，也将体与面对应起来。

2.对学生的学习难点直观化

每个面的长和宽与原来长方体的长、宽、高有什么关系？这一问题是本节课的重难点，对于表面积的求解至关重要，但是展开图的长、宽、高的数量都发生了变化，很难一一对应起来。此处我设置了三个环节帮助学生更直观地理解、更深度地思考：

（1）板书长方体的三线图，便于学生想象观察。

（2）学生上台讲解时借助纸质展开图来解释，上面是原来的长方体，下面就是展开图，并且让学生在讲解时可以将展开图折叠还原，过程是动态的。

（3）学生给教师讲解之后，再让学生结合自己手中的展开图与原来的长方体对应来给同桌讲解，加深理解。

层层递进，想明白、说清楚，每个学生都能直接接触学习材料，用数学语言来描述问题的答案。采用直观教学，使学生在学习过程中的具身体验更丰富。

（三）在具身体验中创造不同的展开图

片段：

师：长方体的展开图是这样的，那正方体的展开图又是什么样的呢？试一试吧。

学生操作，教师相机指导，将学生的生成展示在黑板上。

师：刚刚大家的正方体展开图已经有些是不同的了，其实还有很多，请大家再用手里的正方体试一试，找出不同的展开图（每人手里有两个正方体）。

学生操作，教师相机指导，将学生的生成展示在黑板上。由于摆的方向不同，板书出现了重复的展开图。

师：请大家观察黑板上的展开图，发挥想象力，说说有没有什么要调整的？（学生发现有重复部分并上台演示）

师：这些展开图如果让你分类，你想怎么分？和旁边的同学交流。

由于分类难度太大学生没能做到完美分类，但此处分类重点是让学生认真观察、总结各个展开图的特点即可。教师用希沃白板展开正方体的141 类型，并让学生观察特点，总结141 类型，顺延到其他类型。

在探究正方体展开图时不能只靠想象，而是要操作与想象并举，做到多个层次具身体验。

三、课后反思

从上文中我们可以窥视到所谓的具身体验绝不只是长时间的体验，它既要求有充足的时间体验，又要有合适的学习材料（立体图形需要借助更直观的学习工具）来体验，更要设置值得思考的关键问题促使深度思考，使体验更充分。具身体验不仅能获得理解性的教学，还能激发学生的创造力，使学生在体验过程中积累更丰富的基本活动经验。

（一）在直观教学中具身体验数学学习的过程

小学生形成空间观念主要依靠“视”与“触”，亦主要手段是观察与操作，两项都属于直观教学范畴。囿于小学生思维发展能力、空间想象能力不足，教学过程中我们往往会陷入“既然能力不足就应该让学生多想象”的误区，空间观念或者更上位的空间想象能力的提升是建立在建构充足的几何图形表象基础上的，在学生还不能完全掌握几何图形特征时就一味地去想象，对于空间想象能力的培养无疑是无根之木。因此，小学数学几何图形的教学应尽量进行直观教学，在学生对某种或某类几何图形充分了解后再肆意想象，在直观教学中充分体验数学学习。

（二）在具身体验中积累基本活动经验

体验是对经验的一种深化和超越；体验是经验中诗意与个性色彩的一种形态；体验是一种注入生命意识的经验。体验与经验虽不同，但有一定的逻辑关系，体验后经过概括总结才能形成经验，体验充分与否也会影响经验的质量。因此，经验源于体验，数学的活动经验更多源于数学学习中的具身体验，小学数学教学要让学生在具身体验中积累更多基本的活动经验，以有助于后期学习的迁移。

在“长方体与正方体的表面积含义”一课的教学过程中，笔者发现了一些自身教学中存在的并尝试去解决的问题。仅从一节课来展开，不免有管中窥豹之嫌，但笔者也希望能从大处着眼，小处着手，以小见大。无论如何，毋庸置疑的是只有在教学中充分进行具身体验，才能使学生更深度理解、更善于创造。