借阅读之力 强思维生长——以“数学广角——鸡兔同笼”为例

文｜黄丽娟

在新课标背景下，通过学习“鸡兔同笼”内容，学生要在现实生活中体会到“发现—抽象—简化—解决—处理”这一思想活动的全过程。在“鸡兔同笼”问题探索活动中，教师可以让学生通过观察、实验、猜想、验证等活动培养理性思维能力，较清晰地表达自己的思维过程和结果。同时，能在简单的“鸡兔同笼”问题上，探索出一套行之有效的分析问题、解决问题的方法，使学生了解数学的重要性，并将其应用于实际问题中。

新课标提倡将化繁为简、数形结合的理念融入探究和创造的过程中，让学生积累更多的思考经验，逐步形成理性思考方式，构建数学模型，并用其来解决现实中的问题。所谓“模型意识”，即对数学模型的普遍性有初步的认知，认识到其能用于某一类问题的求解，这是一种数学应用的基本方式。在实际生活中，很多问题都和数学相关，并且可以用数学的概念和方法来解释，引导学生学习“鸡兔同笼”问题，可提高学生的应用能力，让学生在应用定律的过程中，提高交流能力，最终形成推理能力。

一、教材分析

“鸡兔同笼”问题最早见于《孙子算经》，是在中国民间广泛流传的趣味算术题。“鸡兔同笼”的教学，目的是让学生从古代数学题目中感受到我国的数学文化，让学生更好地理解各种解题的方式。“鸡兔同笼”问题的求解方法有列表法、假设法、方程法等，因为学生还没有学会这一单元的公式，所以这节课的重点是让学生自己去猜测、思考，进行推理。

“鸡兔同笼”的学习既能训练学生的逻辑思维，又能让学生感受到一般的代数方法，具有较强的应用价值。在解答此类问题时，教材呈现出由学生一步一步地解题的步骤。运用“假设法”可以训练学生的逻辑思维，而用“方程式”可以使学生感受到一般的代数方法。所以，对于“鸡兔同笼”的解题，学生可以选择任何一种解题方式，这就需要学生形成良好的思维能力。

二、教学目标

1.运用列表、假设方法来解答“鸡兔同笼”的题目，培养学生的思考能力，体验猜测验证、假设建模等数学思维方式。

2.培养学生的思维能力，提高其运用数学知识的能力。

三、教学重难点

教学重点：通过“鸡兔同笼”问题的解答，找出几种不同的解决办法。

教学难点：灵活运用方法解决“鸡兔同笼”问题。

四、教学过程

（一）趣味导入“鸡兔同笼”课题

师：今天我们这节数学课是一堂趣味的数学课，在这节课之前，我要和同学们做一个游戏，我画，你们猜，大家猜一猜，我画的这是什么。（小鸡）一个圆形代表头部，两条垂直的直线代表腿部。还有一个小动物，有两只长长的耳朵，这是什么动物？（兔子）大家都猜出来了吧，我们这节课的主角是兔子和小鸡，下面让我们开始今天的学习吧！

师：我们国家有很长的数学学习历史，有很多古老的、有趣的故事，至今还在我们的生活中流传着。今天我们要讲的是一道很有意思的古代数学题——鸡兔同笼。

多媒体出示：笼子里关着小兔和小鸡，上有35只头，下有94 只脚，请问一共有多少只兔子、多少只鸡？

（板书：数学广角——鸡兔同笼）

师：现在请大家猜猜看有几只鸡、有几只兔子。

生1：我想应当是鸡有10 只，兔有25 只，如果这35 个脑袋都是鸡，那就是70 条腿，94 只脚比70 条腿多。因此，我想应当是兔子更多一些。

生2：我不同意她的观点，我觉得应该少一些兔子，多一些鸡。我猜想，若有35 个兔子脑袋，那就该有140 只脚，140 比94 更多，那就证明兔子的数量多了，因此我猜想有13 只兔子，21 只鸡。

师：看来大家都有浓厚的探索兴趣，看着大家各抒己见，我真的感到十分欣慰！那就请大家在练习本上尝试自己检验一下吧！

（二）围绕“鸡兔同笼”设疑

相信在上一个环节，大家对“鸡兔同笼”都有所了解了，现在让我们看一下课件。有没有人能带着感情念出来？能不能说清楚？

多媒体出示：

Ѳ《孙子算经》中“鸡兔同笼”原文内容：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。

师：你能从中得到什么资料？结合日常生活中的常识性知识，你还可以得出什么结论？（点名报告）

师：根据以上的资料，让我们先来猜测一下，这个笼中有多少只鸡、多少只兔子？（给学生一点时间去猜）你怎么知道是对是错？（确认了脚的个数）这能否随便猜？要把握什么？

师：每个人都猜测出了几组数字，但都被证明是错的，那么多人怎么会猜错？（数据过大）事实上，我们在做数学研究时，往往会将复杂的事情简单化，将数字变小，从简单的问题开始。例如，我们可以先猜测5 只鸡和5 只兔子的脚的总数，再逐步增加难度。这一次我们能不能猜对？请你自己计算、思考，把答案写在卡片上！

在呈现教学情境的过程中，利用古代数学问题，让学生感受到我国古代数学文化的源远流长，在感受数学文化时，还能激发出学生的民族自豪感和爱国热情。同时，学生通过对结果的猜测和修正，可得出正确答案。如果学生不能得出正确的结论，教师就可以进行下一步的教学，适当刺激学生对问题的探索，也为下一步“化繁为简”打下良好的基础。

（三）运用多元方法解决“鸡兔同笼”问题

1.列表法

笼子中有若干只鸡和兔子，从上面看一共是8个头，从下面看一共是26 只脚，你是否能知道兔子和鸡都有多少？

师：通过猜测，你能猜出有多少只鸡吗？有多少只兔子呢？

生：3 只鸡、5 只兔子。

师：怎样才能确定这是正确的呢？

教师指导学生说出自己的解题思想和步骤。

生1：我是将8 个脑袋平均分成8 份，4 只鸡、4只兔子，一共24 只脚，缺2 只脚，表示鸡较多，兔较少，调整后3 只鸡、5 只兔子。

生2：我先从1 只鸡和7 只兔子开始计算。

生3：我先从7 只鸡和1 只兔子开始计算。

……

师：同学们，如果我们用表来排列我们刚才所做的论证，这就叫列表法。现在，请大家翻开课本第104页，将第一个表格填满。

生：老师，我没有使用列表方法，我是用图形来寻找答案的。

师：同学们，请你们站在黑板前面，向我们展示你的学习方式。（见图1）

图1

2.画图法

师：经过刚刚的练习，大家对“鸡兔同笼”的问题都有了一定的认识，并且在讨论中发现了一条非常简便的思路，那我们再把这个思路继续应用下去，如何才能使它变得更加简便？

（学生讨论：如果8 个脑袋都是鸡，会比较容易计算。）

师：刚才我们用图解法解决“鸡兔同笼”问题，这是另外一种解题方式，除了画图法，还有假设法。

3.假设法

师：下面请大家用假设法进行解题。

生：首先，将8 个脑袋都看成是鸡的，共有16 只脚。假设所有的鸡笼都被关了起来，即8×2。其次，笼中共有26 只脚，我们只数出16 只，还少数出10 只脚，即26-16=10（只），这是一个很大的数字。最后，一只兔子比一只鸡多出两只脚，因此我们在第1 只鸡上加出两条腿，这样就少计算出8 只脚，再在第2只鸡上加出两条腿，以此类推，总共为5 只鸡加出2条腿，则图中有5 个头是4 条腿，4 条腿的是兔子，2条腿的是鸡。求兔子的数量，是10÷2=5，鸡的数量是8-5=3。

师：同学们，你能看到8 个脑袋都是兔吗？现在，请学生在自己的习题册上做一个简单的计算。

教师引导学生自己试着去解答问题，分层次地进行讨论和交流，目的是让学生逐渐清楚地理解：总脚数的差值中有多少个2，而“2”就是兔子与鸡腿的差值。

（四）借助“鸡兔同笼”问题渗透数学文化

师：同学们，“鸡兔同笼”这种从正向思维到逆向思维的方式来解决数学问题，很有难度。同学们，我们的先人很聪明，他们在1600 年前就找到了“鸡兔同笼”这个题目，这个题目比较难，本来是要让小朋友去体验一个由浅入深的过程，但我们的先人认为，只要我们从最简单的知识开始，就可以感受到其中的数学价值，用更多数学问题为生活服务。

学生在小组内查找“鸡兔同笼”的数学资料。

数学文化的渗透，使学生能根据自己所学到的知识，来解答“鸡兔同笼”这道古老的难题。在此基础上，引入有趣的解法，从而营造出良好的文化氛围，使学生能更好地学习数学，进一步激发学生学习数学的兴趣，更能让学生体会到我国数学文化的古老与美好，从而提升学生的民族自豪感。

（五）围绕“鸡兔同笼”问题进行拓展运用

请大家结合所学的“鸡兔同笼”知识进行拓展练习。

1.有乌龟与仙鹤共40 只，乌龟与仙鹤共112 条腿。有多少只龟，多少只鹤？

2.自行车及三轮共10 辆，共26 个轮子，有几辆自行车，几辆三轮车？

3.小红用13 块6 毛钱买了35 枚面值分别为20分和50 分的邮票，请问这35 枚邮票中的两种邮票各有几枚？

师：同学们，请结合“鸡兔同笼”知识，设想在上面这几道题中找到“鸡”和“兔”，并且分别求出“鸡”和“兔”都有多少只？

师：上面这些题和“鸡兔同笼”知识有什么相同点？

生：均采用假设法。

这些实践题不管是题目本身，还是表达方式，都与“鸡兔同笼”题有很大不同。然而，虽然表面上看起来与“鸡兔同笼”无关，但学生却能轻松地解答出来。这一正向迁移表明，学生对“鸡兔同笼”的认识已由“特殊”上升到“一般”，并具有一定的数学视野，通过迁移使其结构得到完善，使其成为一种有效的学习策略，从而形成模式意识，提高以数学语言来表现现实生活的能力。

五、教学反思

Ѳ（一）运用多元策略教学

Ѳ在“鸡兔同笼”问题的解法中，猜想是对这类问题进行探索和求解的方法之一，而列表法则有助于对这类问题进行有条不紊的思考，有助于对这类问题进行有效的推理，为这类问题提供了一种可操作的思路。在教学时，教师要给予学生充足的空间，有充足的时间去探究和讨论解决此类问题的方法。

Ѳ（二）掌握假设方法运算原理

Ѳ假设法属于一种算术方法，可以被分成四个主要的步骤，即假设—计算—推理—调整。假设法的计算相对简单，但理解算理会有一定的难度，特别是推理和调整这两个步骤很难理解，学生如果不能通过这两个阶段，就不能真正地掌握假设法。在教学时，教师要仔细分析学生存在的思维障碍。当学生完全掌握假设法后，教师还可以利用“半兔法”“抬脚法”等特殊的假想方法，让学生体会到假想方法的精妙和灵活性，再将其应用到解题中，切实提高学生对这一部分知识的学习及应用能力。