与三角有关的含参不等式恒成立问题的解题策略

杨英辉

(人大附中北京经济技术开发区学校)

三角函数是高中数学中的重要内容,在三角函数与导函数的交会处命制的试题频频出现,与三角有关的含参不等式恒成立问题涉及的知识面广、综合性强,重点考查了学生的逻辑推理能力、运算能力和辩证思维能力.本文结合例题,谈一下此类问题的求解策略,以飨读者.

1 先求必要条件,后证充分性

2 特殊到一般,问题变简单

例2 已知函数f(x)＝aex－ln(1＋x)－cos(a－1),f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.

当a＜1 时,h(a)＜h(1)＝0,即f(0)＜0,与f(x)≥0矛盾.

当且仅当x0＝0时,等号成立,即不等式f(x)≥0恒成立.

综上,实数a的取值范围为[1,＋∞).

从特殊到一般,将取特殊函数值作为解决问题的切入点,先缩小参数的范围,降低解决问题的难度.本题首先取特殊函数值f(0)＝acos(a－1)进行研究,进而引发对参数a的分类讨论;其次,解题过程中不可忽视零点方程及其变形ln(1＋x0)＝－x0－lna的作用,利用两式恰当换元可以减少运算的函数种类,达到化繁为简的目的.

3 调整结构,等价转化

例3 已知函数f(x)＝2ax－sinx＋axcosx(a∈R),当x∈(0,＋∞),不等式f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.

化“生”为“熟”,通过调整结构和等价换元,把问题转化为常规的非三角函数问题进行研究.依据导函数有无变号零点,对参数a进行不重不漏的分类是解决该问题的一大难点.

4 辩证思维,反客为主

例4 已知函数f(x)＝ex＋asinx－1(a∈R),若存在正实数m,对任意的x∈(0,m),都有f(x)＜0,求实数a的取值范围.

因为f(0)＝0,所以“存在正实数m,对任意的x∈(0,m),都有f(x)＜0”的必要条件是f′(0)＜0,而f′(x)＝ex＋acosx,所以f′(0)＝1＋a＜0.

主元法是解决高中数学问题的一种重要方法.所谓主元法就是在多元数学问题中,以其中一个量为主元,将原问题化归为该主元的函数、方程或不等式问题,其本质是函数与方程思想的应用.数学中的常量与变量是相对的,有些看似复杂的问题,如果能选取恰当的参数作为主元,往往可以化难为易.对于二元不等式问题,往往需要固定一个变量,把动态问题转化为静态问题,即把二元问题转化为一元问题处理.在本题中当sinx＞0时,把g1(a)＝exasinx(a＜－1)视为a的一次减函数,把g2(a)＝ex＋asinx－1(a≥－1)视为a的一元增函数,进而将二元变量问题转化为一元变量问题进行处理.此类问题考查学生将多元转化为一元、动态转化为静态、变量转化为常量的辩证思维能力.

5 分离参数,避免分类

利用分离参数解决问题往往可以有效避免复杂的分类讨论,收获事半功倍的效果.

6 承上启下,合理放缩

(完)