基于逆向思维的初中数学解题

曹育胜

【摘  要】  逆向思维与正向思维相对，常常以结果作为思考的起点，由此出发寻找论证的原因、证据.在初中数学解题中，科学融入逆向思维，有效打破正向思维的束缚，使得学生在“反其道而行之”中，完成高难度题目的解答.本文针对逆向思维在解题中的具体应用展开探究，旨在提升学生的数学解题能力.

【关键词】  初中数学；逆向思维；解题教学

新课程标准视域下，数学教学不再局限于知识与技能中，更加关注学生的思维能力、情感态度、价值观等，旨在实现学生的全面发展.逆向思维即为反向思维、求异思维，属于一种創造性思维，主要是对于学生司空见惯、已经成为定论的观点进行反向思考，使得学生在“反其道而行之”的思考中，寻找解决问题的新途径，最终完成题目的有效解答.

逆向思维与正向思维相对，学生在解题时不再按照“从已知条件到所求结论”的思路进行分析问题，而是以结果作为出发点，在反其道而行之中获得全新的解题方案.在初中数学解题中，逆向思维属于“另辟蹊径”解决问题，不仅高效完成了数学解题的目标，也促进了高阶思维的发展[1].

例1  已知为正数，且满足，，求的值.

解析  这一类题目在初中数学中尤为常见，如果按照正向思维进行解题，学生势必会陷入思维的泥潭中.此时，即可反其道而行之，依据逆向思维，从所求问题出发，构建出问题和已知条件的联系，进而完成题目解答.

又因为，

，

将其直接代入即可，

.

例2  已知的解集是，且整数使得关于的二元一次方程组的解为整数（均为整数），求下列不符合的值.

（A）-4.        （B）2.         （C）4.         （D）10.

解析  本题目涉及了方程（方程组）和不等式等知识点，具备一定的难度，也是初中数学必考内容之一.在已知条件中只给出了一个不等式组的解集，问题是求出某一个参数的具体范围.针对这一类型问题，正向思维常常行不通.此时，即可利用逆向思维进行解答.

解不等式组，

得出：，

因为其解集是，所以，

解二元一次方程组得出.

因为是整数，所以的值存在四种情况，即：1、-1、7、-7，

由此即可得出，

又因为，因此明显不符合条件，（D）即为正确答案[2].

例3  已知是两个不相等的正数，求证：.

解析  这是一道常见的代数证明题，在正常思维下，学生需要从已知条件入手进行证明，此时题目证明过程将变得异常复杂.面对这一现象，必须要突破正向思维的束缚，从结论出发进行逆推，即可轻松完成题目的解答.

因为，

，

又因为是两个不相等的正数，所以，

此时只需要证明即可，

，

则，

即，

因为是两个不相等的正数，因此成立，

即

例4  已知直线，需要将其图象至少向上平移（   ）个单位，才能和反比例函数的图象的交点只存在于第一象限之内.

（A）1.         （B）.       （C）2.       （D）.

解析  这一题目围绕“一次函数和反比例函数图象和性质”进行考查，在解答这一类类型题目时，关键在于逆向思维的运用，先假设两个函数图象在第一象限内存在交点，之后再根据平移的知识，将图象平移的单位求出来即可.

假设图象至少向上平移个单位，方可和图象在第一象限内存在交点，

则联立方程组，

解方程组得.

对其进行整理得出：，

因为，

所以，则（D）选项正确.

例5  如图1所示，在三角形中，点均在上面的点，且，是的角平分线，证明.

图1

解析  在证明这一类型几何题目中，如果遵循正向思维，学生很难利用题目中的已知条件完成.此时，即可利用逆向思维，从题目中证明的结论进行逆推，并结合已知条件和相关的定理进行证明.在本题目分析中，即可融入逆向思维进行分析：要想证明，则可从三角形相似的入手.因为，，所以，则只需要证明出即可.

证明  因为，

所以，

即

又因为是的角平分线，

则

所以

又因为为公共角，

所以，

则，

又因为，

所以[3].

结语

综上所述，在初中数学解题中，逆向思维可应用于各类题目中，为学生打开了一个全新的解题视角，不仅顺利完成了疑难题目的解答，也促使学生在逆向解题中，进一步促进了数学思维的发展，为其更好地学习数学夯实了基础.因此，教师应结合不同类型的题目，有意识、有目的、有计划地培养学生逆向思维解题能力，在强化其解题能力的同时，促进核心素养的发展.

参考文献：

[1]黄圣杰.逆向思维在初中数学解题中的应用[J].数理天地（初中版），2023（13）：35-36.

[2]时慧娜.逆向思维在初中数学解题中的合理应用[J].数理天地（初中版），2023（11）：69-70.

[3]王莉蓉.逆向思维：赋能初中数学解题教学新思路[J].基础教育论坛，2023（10）：89-91.