基于“直观想象”的教学思考

卓世晨

【摘  要】  函数零点问题历来是高考的重点、难点，函数的零点个数、有解无解、恒成立等问题更是让学生感到困惑，这类问题的严谨推理过程往往变量较多、运算量较大、推理较复杂，但如果运用“数形结合”的方法来进行探究，思路往往比用代数计算简单得多.本文以两道例题对数形结合素养的培养进行一些思考.

【关键詞】  高中数学；函数的零点；数形结合

1 基于高考试题的多角度解题策略分析

例1  （2017全国3卷11）已知函数有唯一零点，则（   ）

（A）.   （B）.   （C）.   （D）1.

1.1  函数与方程

解法1  对求导，

，，

，

当时，恒成立.

所以单调递增，

又因为，

所以在上，，在上，.

所以在上，单调递增，在上，单调递减.

，

所以.

解法1是通过对原函数的求导探究原函数的性质，利用函数的性质来解决给定零点个数的问题.这种解法思路上较为直接，但是求导过程的难易因题目所给函数的不同会产生较大的差异性.我们不妨开拓思路，尝试从图象的角度出发探索更为简单直接的解题方法.

1.2  函数的性质

解法2  观察，

发现，

即函数图象关于对称，

又因为有唯一零点，

所以其对称轴处即为零点，

即，.

解法2相较解法一在计算量上有了很大程度的减少，其关键点在于引导学生在面对一个复杂函数的时候，不急于求导，而是要能够通过观察解析式得到函数的性质，再通过函数的性质对函数零点问题进行求解，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养.

1.3  数形结合

解法3  依题意得函数有唯一零点，

即方程有唯一解有唯一解.

令，

，

即与有一个交点，

由对勾函数的性质可知，，当且仅当时等号成立，

由二次函数的性质可知，.

②当时，，，两个函数没有交点，

②当时，当前仅当时，与有一个交点，此时.

解法3是将函数的零点问题转化为方程的解的个数问题再进一步转化为两个函数图象交点个数的问题.由于转化出的两个函数均是学生非常熟悉的初等函数，学生能够很好地把握住函数图象的特点，也就能大大地减少运算量，提升解题的速度.

2  零点问题教学中对培养直观想象核心素养的思考

例2  （2019新人教版高中数学必修第一册156页，第13题改编）若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围.

解题思路  引导学生观察函数解析式，从中分离出常见函数，利用函数图象的变化规律解决问题.

（1）识别函数：当时，为一次函数；当时，为二次函数.

（2）识别函数性质：当时，一次函数在上单调递增，存在零点；

（3）当时，二次函数的开口方向和对称轴的位置均含参数，无法确定.

思考解题策略  （1）直接从二次函数的角度来解答，则需要讨论的有二次函数的开口方向；对称轴的位置；零点的类型.由此引发的讨论情况较多，且容易由于讨论不完全而导致遗漏可能结果的情况.（2）将函数零点的问题转化为方程有解问题，即在内有一个实数解.再进一步将其分离为两个初等函数 ，即，，绘制出两个函数图象，使其在存在一个交点，进而求出参数的取值范围.

解题策略的选择  将在内恰有一个零点的问题，转化为两个初等函数的在内有一个交点，避开了复杂的分类讨论，利用初等函数的图象，更加直观地解决了问题.

3  结语

在数学的领域内有两大模块，即数与形，众所周知，“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.所以在教学过程中我们要培养学生“以形助数”和“以数辅形”的能力，体会数形相生，相辅相成.而要能够熟练地将数与形结合在一起，就必须培养学生直观想象的素养，能够应用几何直观和空间的想象来感受物体的变化，根据图形的变化分析数学问题，以此促使学生建立数和形的关系，提升数学思维能力.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]罗新兵.数形结合的解题研究：表征的视角[D].上海：华东师范大学，2005.

[3]陈益周.数形结合方法应用于高中数学教学的实践研究[J].兰州教育学院学报，2015，31（04）：165-166.