例谈数列通项公式的多种解法

龙祁林

【摘  要】  数列是以正整数集或者它的有限子集为定义域的函数，是一列有序的数，而数列的通项公式是将数列的第n项用一个含有参数的具体式子表示出来，与函数解析式类似，只要代入具体的n值就能解得对应的值.高中阶段求解数列的通项公式是一类重要的题型，主要考查学生的观察能力、逻辑思维能力和计算能力，可通过专项练习，熟练掌握解题方法，提高运算能力和解题能力.本文介绍4种求解数列通项公式的方法，以期帮助学生更快掌握技巧.

【关键词】  高中数学；数列通项；解题技巧

1  累加法

累加法作为递推法求解数列通项公式的基本方法之一，适用于相邻两项系数相同的情况.当系数为常数时，可以直接使用等差数列通项公式求解.若系数为关于n的变量，可以通过编写递推关系式，然后逐项求和得到通项公式.解决此类问题的思路主要包括：①观察数列，判断其是否符合适用累加法的形式；②根据已知条件和递推公式，分别编写递推关系式，并将它们相加，从而得出通项公式.

例1  若在数列 中，，求数列的通项公式.

解  由，得.

找出关键一步，

……

將以上各式左右两边分别相加得

又因为

所以

得，

故数列的通项公式为.

2

求解数列的通项公式的常见题型之一，即已知数列的前n项和的表达式求通项公式，这类型问题可以利用公式法求解，主要利用等差数列或等比数列的基本公式求解，例如表示出.主要步骤为：①根据实际问题，表示出或时数列对应的前n项和或；②直接利用计算求解，得到数列的通项公式.

例2  已知数列的前n项和为，且，，求数列的通项公式.

分析  本题利用将已知等式的右边表示为含的形式，再利用的取值范围解以为未知量的一元二次方程，进而确定该数列的首项，再结合公差，根据等差数列的通项公式解得.

解  因为，

所以，

两式作差：，

所以，

因为，所以，

因为，所以，

解之得：，

所以是首项等于1，公差等于2的等差数列，

因此，数列的通项公式为.

3

待定系数法，是一种求未知数的方法，通过将多项式表示为另一种含有待定系数的新的形式，继而得到一个恒等式，利用恒等式的性质解得系数应满足的方程或方程组，然后解方程或方程组求解待定的系数的方法.同样，形如（q，d为常数）式子求数列的通项公式也可利用待定系数法求解，利用待定系数法求解的主要步骤为：①假设未知数，并将其代入式中，表示出相应的数列形式；②代入数列得到具体的数列公式；③通过列方程或方程组求出待定系数的值，最后代入数列解得的通项公式.

例3  已知数列满足，，求的通项公式.

分析  本题利用待定系数法构造等比数列求解，假设，解得待定系数，则等比数列的通项公式为，继而解得数列的通项公式.

解  因为，

所以，

令，

所以，

即，解得，

所以，

所以是首项等于，公比为-2的等比数列，

其通项公式，

因此，数列的通项公式.

4

形如时，可以利用取倒数法求解通项公式.取倒数法，一般是指取已知式子的导数，然后将等式右边的分数形式拆分成等差数列的形式，继而求解.利用取倒数法求解的主要步骤为：①将的两边同时取倒数，转变为；②将等式右边裂项，假设，并求解通项公式；③借的通项公式解得的通项公式.

例4  已知数列中，，且，求数列的通项公式.

分析  很明显本题取倒数求解更简单，将其转变为，并假设，解得，继而解得的通项公式.

解  因为，

所以将等式两边同时取倒数得：，

假设，所以，

因为，

因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以，

因此，数列的通项公式为：.

5  结语

数列的通项公式是高考数学的必考题型，通常以解答题或者选择题的形式出现，求解的这类型问题的关键在于根据题目已知条件灵活运用基本公式求解，在熟练掌握等差数列和等比数列的基本公式的前提下，还要多加练习并总结相应的经验和规律，做到有的放矢，这类型问题便可迎刃而解.

参考文献：

[1]马应雄.五法求解数列通项公式的思路例析[J].高中数理化，2022（05）：48-49.

[2]张新颖.关于数列通项公式求法的探讨[J].数学通报，2015（06）：62-64.