矩形中厚板屈曲问题Hamilton算子本征函数系的完备性*

张萌萌,额布日力吐,阿拉坦仓

(1.内蒙古大学数学科学学院,呼和浩特 010021;2.内蒙古师范大学数学科学学院,呼和浩特 010022)

矩形中厚板是广泛应用于各种工程领域的一种基础的承重构件[1],对其屈曲、弯曲和振动等问题的研究一直受到应用数学和工程领域学者们的关注。关于其屈曲问题,采用数值方法进行研究的结果有很多。例如,离散奇异卷积法[2]、Rayleigh-Ritz法[3]和微分求积法[4]等,这些数值方法都可以得到工程上可接受的数值近似解。另一方面,对于此类问题解析方法也是必不可少的研究方法,它可以准确地揭示各个变量之间的关系,也可以通过解析式求出每个自变量所对应的精确值以及它所给出的解析解可以作为检验其他方法精度的基准解。目前研究矩形中厚板问题的较有效的解析方法有三角级数法[5]、有限积分变换法[6]和辛弹性力学方法[7]等。2010年,在辛弹性力学方法的基础上出现了一种推广形式,即辛叠加方法[8]。与辛弹性力学方法相比,辛叠加方法可以求解更多边界条件下矩形中厚板的屈曲、弯曲和振动等问题[9-10]。例如,文献[11]应用辛叠加方法对各向同性矩形中厚板的屈曲问题进行了解析求解。然而对于该问题所对应的Hamilton算子本征函数系完备性的研究到目前还未见相关报道。因此,本文研究了各向同性矩形中厚板屈曲问题在对边简支条件下导出的Hamilton算子,通过符号计算得到了该Hamilton算子的本征值以及本征函数系,并且证明了该本征函数系的辛正交性以及Cauchy主值意义下的完备性,进而给出了对应Hamilton系统的通解以及对边简支各向同性矩形中厚板屈曲问题的振型函数的通解。最后,通过一个具体算例给出了各向同性四边简支矩形中厚板屈曲问题对应的屈曲荷载因子,并与已有文献的结果进行比较,验证了其正确性及有效性。

1 Hamilton系统

各向同性矩形中厚板屈曲的控制方程组为

由式(1)、(2)和(3)可得如下六组关系式:

进而由方程组(4)可得如下Hamilton系统:

2 本征值和本征函数

应用Hamilton体系的分离变量法求解Hamilton系统(5),令

将式(6)代入式(5)可得:

其中μ为本征值,X(x)=(X1(x),X2(x),X3(x),X4(x),X5(x),X6(x))T为相应的本征函数。式(7)可以改写为:

在x方向上对边简支的边界条件为:

由式(9)以及边界条件(10)可得如下两组本征值及其本征函数系:

当n=0时,计算可得本征值

结合式(11)、(9)和边界条件(10)可以得到本征值μ1 和μ2 对应的本征函数:

当n≠0时,计算可得本征值

结合式(13)、(9)和边界条件(10)可以得到本征值μni(i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…)对应的本征函数:

3 本征函数系的辛正交性和完备性

定义1设X=L2[0,a]×L2[0,a]×L2[0,a]×L2[0,a]×L2[0,a]×L2[0,a],则在Hilbert空间X中定义辛内积

定理1在Hilbert空间X中,无穷维Hamilton算子H的本征函数系{X k0(x),X in(x)|k=0,1;i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…}是辛正交的。

证明由辛正交性的定义,通过符号计算,可验证本征函数系{X k0(x),X in(x)|k=0,1;i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…}满足

定理2在Hilbert空间X中,Hamilton算子H的本征函数系k=0,1;i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…}在Cauchy主值意义下是完备的。

证明∀F(x)=(f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),f5(x),f6(x))T∈X,在Cauchy主值意义下,利用本征函数系{|k=0,1;i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…},F(x)有如下辛-Fourier展开式

由定理1,可知:

通过计算可得:

因此定理2得证。

4 计算通解

根据定理2,我们可以假设Hamilton系统(6)的通解为:

将关系式(16)代入(5)式中可得:

其中C1,C2,Cni(i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…)为待定常数,这些待定常数可由y方向上的边界条件确定。

由U=(ψy,—M xy,Sy,M y,ψx,w)T可知,通解(16)中的第6个分量为各向同性对边简支矩形中厚板屈曲问题的振型函数形式的通解,即:

5 算例

考虑四边简支各向同性矩形中厚板的屈曲问题,由边界条件知,该矩形中厚板在x方向上满足简支边界条件(10),在y方向上满足简支边界条件:

弯矩M y和转角ψx分别为通解(16)中的第4个和第5个分量,即:

由通解(18)和(20)以及边界条件(19)可得一组关于C1,C2,Cni(i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…)的联立方程组,为使其有非零解,令方程组的第n项系数矩阵的行列式为零,计算可得对应的屈曲荷载因子为:

当k=0.866667,v=0.3,R=1时,用式(21)计算了a/b=0.5,1,1.5,2;h/a=0.001,0.01,0.1,0.2的情况下四边简支各向同性矩形中厚板的第1个(即n=m=1)屈曲荷载因子(精度取到10—8),并与文献[12]中的已有结果进行了对比,计算结果如表1所示。

表1 四边简支各向同性矩形中厚板的屈曲荷载因子ΩTable 1 The buckling load factors,Ω,of isotropic rectangular plate with four sides simply supported

此外,将屈曲荷载因子(21)代入关于C1,C2,Cni(i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…)的联立方程组即可求解C1,C2,Cn1～Cn6,再由式(18)就可以得到对应的振型函数。

6 结论

本文研究了各向同性矩形中厚板的屈曲问题。首先将原方程转化为Hamilton系统,并证明了对边简支边界条件下矩形中厚板方程导出的Hamilton算子本征函数系的辛正交性和完备性。根据本征函数系的完备性,得到对应Hamilton系统的通解,再结合y方向上对边简支的边界条件就可以计算出四边简支各向同性矩形中厚板屈曲问题的屈曲荷载因子。类似地,当y方向上的边界条件为固支、简支或自由等其他边界条件的组合时也可以求解。同时,本文所证本征函数系的完备性结论可为相关辛叠加方法提供理论依据。