两角和与差的三角公式应用剖析

胡贵平

(甘肃省白银市第一中学 ,甘肃 白银 730900)

两角和与差的三角公式,是高考中的重要知识点之一,主要涉及的是和与差的正弦、余弦、正切公式,同时与之相关的是能应用公式进行给角求值、三角函数化简、三角恒等式的证明及三角问题的综合应用．

1 三角求值中的应用

三角函数求值问题是常见的题型,主要是能寻求角与角之间的关系,利用变角、拆角、拼角等技巧结合和角公式和差角公式,将未知化为已知,则可以达到求解的目的．

分析本题中将2α化为(α+β)+(α-β),则可将问题转化为求α+β和α-β的正弦,然后利用同角三角函数关系求出所需要的三角函数即可.

评注观察题设中角之间的内在联系,充分利用条件和结论中的三角函数名称的变化规律,则可寻找出变换的切入点,同时需要注意角的范围,才能正确确定出三角函数值[1]．

2 三角化简中的应用

三角函数式化简的主要思路有:

(1)观察角的特点,充分利用角之间的关系,利用已知角构建待求角;

(2)观察函数的特点,如同名转化、弦切互化等;

(4)同时还可以观察角的特点,从整体出发,利用公式的变形则可以做到正用、逆用、转化使用的方式求解问题．

(1)求(b-a)·a的值;

(2)若c=(1,1),且(b+c)∥a,求a的值.

分析本题中结合向量的加法、减法和数量积运算,将问题转化为两角差的正弦和余弦公式进行计算[2].

解析(1)由于a=(cosα,sinα),

3 公式逆向或变形的应用

对于和角公式和差角公式,不仅仅要能正向应用,还要会逆向和变形应用,如

sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β),

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).

例3(1)求值:sin32°cos28°+sin58°cos62°;

分析本题是逆向应用两角和的正弦公式和变形应用两角和的正切公式,需要注意角度要化成一致.

(2)由于tan10°+tan50°=tan60°(1-tan10°tan50°),

评注第(1)小题要从整体出发,对局部进行三角变换,利用特殊的三角函数值进行求值;第(2)小题对于两角和的正切公式,在平时的学习中不仅仅要学会正用,还要学会逆用．

4 辅助角公式的应用

(1)求实数a的值;

(2)求f(x)的单调增区间;

分析本题要先结合特殊角的三角函数值求出实数a的值,第(2)问中需要利用辅助角公式化为正弦型函数,则可确定出单调区间;第(3)问结合正弦函数的性质进行解决．

(2)由(1)可以知道

卢潇还针对在中美贸易摩擦环境下美国LNG对中国的影响谈了自己的看法。他认为，总体来说，现阶段美国LNG对中国天然气供给影响不大，美国对中国的LNG出口量还比较小，在关税生效前，平均每月只有2船，主要以现货为主，2018年9-11月中国没有进口美国LNG。从成本端考虑，以12%斜率油价合同为基准，以当前10%的关税水平，在油价66美元/桶以上时，美国LNG具有竞争力；如果关税增加到25%，则平衡油价将达到76美元/桶，如果油价在70美元/桶波动，美国LNG存在竞争优势。但是，未来关税的不确定性和政治阻力会影响中国买家的选择，在这种背景下，中美贸易争端将有利于其他国家的LNG项目。

评注研究三角函数的性质时,常常是先对函数运用三角函数两角和差的公式和二倍角公式来进行变形,从而研究出函数的性质．

5 三角形中的应用

对于三角形中的三角函数问题,其主要涉及的知识点是正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式[3]．一般来说,与面积有关的问题则要利用到边角之间的互化,正弦定理和余弦定理则比较多地应用边角互化．

(1)求B;

(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围．

由正弦定理,得

因为00.

又因为A+B+C=π,代入得3B=π.

由三角形面积公式有

评注本题研究了三角函数的基础知识,以及对正弦定理或者余弦定理的充分使用(本题也可以用余弦定理求解)．

三角函数是特殊的函数,对于和角公式与差角公式要把握变换技巧、角的变换特点、三角函数的求值等,选择适合的方法,则一定能打开和差角公式的大门．