一道2023北京高中预赛试题的探究

广东省深圳实验学校高中部 刘 嘉 (邮编:518000)

这类三角函数最小值问题在多年前就研究过,其解法很多,本文给出常规的待定系数法结合均值不等式和权方和不等式法,同时就这类问题从命题人的角度去探究,设计取等条件设计特殊角,以及从分母指数的调整改变,来探究一些实用的命题,符合竞赛学生用常规方法去解决问题.

1 解法探究

解法1引入正参数λ,结合均值不等式得:

2 变式拓展与引申

笔者对分式中的分子系数调整,并经一番研究,给出如下:

解引入正参数λ,结合由均值不等式得:

①

可解得唯一正根λ,从而可求其最小值.

笔者对分式中的分母指数调整,并经一番研究,给出如下:

引入正参数λ,结合由均值不等式得:

②

证明由已知条件结合均值不等式可得

解引入正参数λ,结合由均值不等式得:

③