素养立意下探究运算性质的“双线”教学

上海市建平中学 时 杰 虞 涛 (邮编:200135)

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《新课标》)将“几何与代数”作为高中数学课程内容主线之一．一方面,从数学学科知识体系来看,在高中数学中,几何与代数的联系日益密切.例如向量,不仅将其作为一种全新的运算对象学习,还要把它当成几何的研究对象.另一方面,从学生数学学习来看,学生学习数学往往是从形式到形式,缺少几何直观的辅助,几何与代数的整合使得“直观想象”和“数学运算”有机融合,能够从整体上把握数学的本质．运算性质作为代数研究的一个重要方面,在教学中要充分发挥代数与几何的各自功能,并整合两者的思维方式．因此,本文拟结合运算性质的教学,谈谈如何建立运算性质的教学主线,在探究运算性质的过程中,发展数学学科核心素养．

1 在探究运算性质的过程中,发展逻辑推理、数学运算素养

数学的发展主要依赖逻辑推理,《新课标》指出逻辑推理是获得数学结论、构建数学体系的重要方式[1],因此逻辑推理素养的培育势必要扎根于从已有事实、命题推导新命题的过程中,势必要在数学体系的建构过程中使学生掌握推理的基本形式和规则,学会有逻辑地思考问题．代数公理化体系下的数学运算性质探究是发展学生逻辑推理核心素养的重要载体．一方面,从已有的运算基本性质获得新的运算性质需要使用归纳、类比这类特殊到一般的思维方式;另一方面,为了保证结论的正确性,还需要使用演绎这类一般到特殊的思维方式,可以看到在探究运算性质的过程中,归纳推理与演绎推理融为一体地发挥着作用．除此以外,运算性质在数学运算中集中体现,数学运算不仅仅是“算的对、算得快”,而是理解运算对象、掌握运算规则、学会运算应用等一系列综合的能力．

知识是生成能力的本源,在知识学习过程中转化而来的能力就是核心素养,素养立意下的运算性质教学应该在原先关注知识主线的基础上进一步拓展为以知识为主干,素养为目标,形成知识主线与素养主线相互交融的“双线”教学．

2 探究运算性质的知识主线

在抽象获得数学研究对象的过程中,析出了数学研究对象的构成要素、本质特征和概念内涵,接下来的重要任务就是研究概念组成要素之间的关系与结构,也就是探究数学性质,可以说数学性质是数学概念的延申,这其中又以运算性质为重．

代数是高中数学课程中的重要分支,代数的研究对象是数量关系,“运算”是代数中最基本、最本质的观念[2],运算的规律性和不变性即运算性质,是代数的研究主题．高中数学代数知识体系本质上是建立在代数公理化体系之上的,因此可以借由代数公理化体系来分析运算性质发生发展的知识主线:明确运算的对象,给出运算对象的基础定义,后续所有的研究都基于运算对象构成的集合;在这些具有公共性质的对象中抽象出最基本的几条性质作为定义,比如定义相等关系、不等关系等特殊关系,给出“单位元”、“零元”、“逆元”等特殊对象,定义加法与乘法运算并获得运算律;从基本性质出发衍生出一些新的性质;利用归纳、类比和联想的手段推动性质再生长;对性质进行深入的分析、演绎推理和运算以论证性质的真伪;构建性质间的结构体系,尤其是引进直角坐标系后,几何与代数便建立了更为紧密的关联,函数运算、三角运算、向量运算、复数运算等运算结构的统一性进一步增强,最终形成完整的运算系统．概括运算性质的知识主线即为“基础定义—基本性质—衍生性质—推理演算—判断论证—性质结构”．建立在公理化体系上的运算性质知识主线蕴含了演绎思维,为数学知识的发生发展提供了一套逻辑性极强的模式,因此数学运算性质的教学一定要反映数学知识的内在逻辑关联,聚焦运算的“元素”、“关系”、“分类”等关键词,在运算性质的探究和证明过程中落实数学学科核心素养．

3 探究运算性质的素养主线

客观的运算性质的知识主线对学生素养的培育作用有限,只有在知识主线中关注学生的认知变化,才能从根本上发展核心素养,因此,本文依据学生探究运算性质时思维方式的变化,提出探究运算性质的素养主线如下:

(1)观察:数学运算的思维方式是从客观现象逐步“运算化”的过程,从最初的“算术运算”到“代数运算”再到“三角运算”,运算的对象不断深化．因此思维起点应为典型例子,观察客观现象,分析主要特征,抽象并理解概念与运算对象．

(2)猜想:在明确运算对象的基础上,定义基本的运算法则和运算律,启发学生对运算对象可能具有的其它性质进行合理假设．

(3)推理:运用直觉判断、联想想象、归纳类比等方式对运算对象的性质进行探索,给出初步的运算思路和结论．

(4)验证:将获得的衍生性质运用到其它相似情境中,以验证真伪,修正、完善结论,保证其完备性和科学性．

(5)推演:运算性质要作为数学结论被确立,决不能仅仅依靠直觉思维或者猜想验证,必须经受逻辑推理,必须要通过建立在规则上的数学运算的检验．

(6)检验:对运算结果的正确性进行检查,进一步地,反思整个运算过程中算法的合理性,算理的适切性．

(7)通晓:基于对运算性质的一般性认识,从宏观上把握运算性质是什么、如何表现,并能用数学语言表达交流．同时,能对逻辑推理和数学运算的基本形式进行表达概述,对获得的一般性结论的意义进行理解和解释．

4 基于“双线”教学的教学设计举例

核心素养综合体现在发现和提出问题,分析和解决问题的过程中,所以“双线”教学的落实要以问题解决为导向,为学生构建前后一致、逻辑连贯的探究运算性质的过程．

三角运算是高中数学运算内容的重要组成部分,两角差的余弦公式则是三角运算中的经典内容,公式的推导过程包含了丰富的数学思想方法,对学生的逻辑推理能力和数学运算能力都有较高的要求．各版本的教材对本节知识的引入与展开的处理方式不尽相同,而从教学实践的情况来看,众多的教师倾向于从如何求cos15°的值引入,然后利用向量夹角公式或者两点间距离公式推导两角差的余弦公式．但是对此种教学设计,有学者指出引入环节不够自然,课堂预设味过重[3],且没有站在单元整体思想的视角审视问题情境[4]．因此,为凸显三角运算性质的内在逻辑,基于探究运算性质的知识主线与素养主线,设计了如下的教学主线:

(4)推理论证:正确的猜想为进一步的逻辑推理指明了方向,有了对特例的分析和演算经验,学生就能从优化性和可行性出发选择运算方法和设计运算程序,在直角坐标系中构建单位圆,根据旋转中的弦长不变构建等量关系,利用两点间距离公式证明两角差的余弦公式,自然获得运算的结果．

(6)知识升华:有学者指出,对于已经给出的论证,常有以下的情况:个体能够确认证明过程中每个步骤的正确性,但不能对这些步骤结合在一起所构成的证明获得直觉性的“感悟”[5]．因此,在教学中,重要的不仅仅是证明本身,还在于通过知识升华使得学生在头脑中构建逻辑连贯的认知结构．教师可以通过总结探索运算性质的过程,揭示两角差的余弦公式背后的表达的规律,深化学生对单位圆的对称性与公式内在联系的理解,让学生体悟逻辑推理和数学运算过程中展现的数学思维由表及里的深刻性、举一反三的灵活性,同时还可以构建与两角和与差的正弦公式的联系,这才是逻辑推理和数学运算得到发展的完整过程．