加权变指标极大Herz型空间的对偶空间

周梦,王英杰,汤灿琴

(大连海事大学理学院,辽宁 大连 116026)

对变指标函数空间的研究将发展和完善函数空间理论体系,具有十分重要的理论意义;同时也在电变流体、图像恢复及其他适合非标准增长条件的方程模型[1]等领域中具有广泛的应用。

1992年,Iwaniec和Sbordone[13]在有界集上引入极大Lebesgue空间Lp)(n),并将此空间应用到微分方程中。自此以后,极大Lebesgue空间的理论也在逐步发展。1997年,Greco等[14]将此空间推广到广义极大Lebesgue空间Lp),θ(n)。作为极大空间的对偶空间,极小空间也有其重要位置。2000年,Fiorenza[15]通过极大空间对偶性的研究,首次刻画了极小空间。Claudia等[16]随后推广了此结论。在最近几年的研究中,Rafeiro等[17]引入了极大Lebesgue序列空间lp),θ(n),Nafis等[18]研究了某类次线性算子在极大变指标Herz空间n)上的有界性,他们还进一步获得了Marcinkiewicz积分算子在变指标Herz空间上的有界性[19]。最近关于此类空间的研究结论层出不穷,比如极大Herz空间[20-21]、极大Morrey空间[22]、极大Herz-Morrey空间[23]等。

1 预备知识

在本节,我们首先回忆一些基本记号、定义和所需引理。在本文中,对于任意的k∈,令Bk={x∈n:|x|≤2k},且Rk=BkBk-1。为方便起见,我们记χk=χRk且χ0=χB0,其中χE为集合E的特征函数。

若q(·):n→[1,∞)是可测函数,设

若可测函数q(·)满足 0

Lq(·)(n):={f:存在λ>0使得q(·)(|f(x)|/λ)<∞},

下面是变指标Lebesgue空间的Hölder不等式。

引理1[7]令q(·)∈(n),则对f∈Lq(·)(n)和g∈Lq′(·)(n),有

其中

在介绍加权变指标Herz空间以前,我们需要先给出变指标的正则性条件。

令r(·)∈(n),若存在C>0,使得对任意有

则称r(·)是局部log-Hölder连续。

若存在C>0,使得

则称r(·)在原点处log-Hölder连续。

若存在r∞∈和常数C>0,使得

则称r(·)在无穷远处log-Hölder连续。

接着来回忆权函数的基本知识。对于任意的10,使得对n中的每个球B,都有

则称ω为变指标的Muckenhoupt权函数,并记为ω∈q(·)。显然若ω∈q(·),则ω-1∈q′(·)。

基于变指标权函数,我们接着陈述变指标加权Lebesgue空间和Herz空间的定义及相关性质。

定义1[25]令q(·)∈(n),ω∈q(·)则

变指标加权Lebesgue空间Lq(·)(ω)定义为

Lq(·)(ω):={f:fω∈Lq(·)(n)},

其中

定义2[12]令0

其中

其中

为完成本文主要结论的证明,我们需要变指标加权Herz空间的等价定义,即为文献[12]中引理3.6.1中p(·)≡p的特殊情形。

引理3[12]令1≤p<∞,α(·)∈L∞(n),q(·)∈(n)且ω∈q(·),若n),则

最后,我们将对极大空间做简单回顾。设lp()为集合={xk}k∈组成的p次可求和的序列空间,其范数定义为

定义3[17]令1≤p<∞且θ>0。极大Lebesgue序列空间lp),θ()定义为,其范数满足

lp(1-ε)⊂lp⊂lp),θ1⊂lp),θ2⊂lp(1+δ)。

类似于文献[19]中的极大Herz空间,我们将定义加权空间如下。

定义4令1≤p<∞,θ>0,α(·)∈L∞(n),q(·)∈(n)且ω∈q(·),

定义为

其中

其中

引理4令1≤p<∞,θ>0,α(·)∈L∞(n),q(·)∈(n)且ω∈q(·),则

且

类似于文献[16]和文献[26],可以定义加权的极小变指标Herz空间如下。

定义5令1≤p<∞,θ>0,α(·)∈L∞(n),q(·)∈(n)且ω∈q(·)。定义齐次加权变指标极小Herz空间为

2 加权的齐次变指标极大Herz空间的对偶空间

在本节中,我们将讨论加权的齐次变指标极大Herz空间的对偶空间,陈述本文主要定理结论之一并加以证明。事实上,对于非齐次情形也有类似结论,我们这里舍去这部分证明。

(1)

若λk≠0,通过(1)式,就有

因此

对任意ε>0,就有

从而

引理5的证明就此完成。

利用上述定义,我们可以建立加权的齐次变指标极大Herz空间与极小Herz空间的对偶关系。

定理1令1≤p<∞,θ>0,α(·)∈L∞(n),q(·)∈(n)且ω∈q(·),则有

证明要完成定理证明,即需分别证明

和

则fj∈[Lq(·)(ω)]′=Lq′(·)(ω-1)。因此

对每一个j∈,设

即

从而可以推出

实际上,这说明

进一步,我们有

因此

对每一个ε>0,若M,N→∞,则

所以

至此,我们完成了整个定理1的证明。

3 某类次线性算子在加权变指标极大Herz空间上的有界性

(2)

其中f是具有紧支集的可积函数。事实上,这个尺寸条件(2)由Soria等[27]首次引入,它包含了H-L极大算子等调和分析中一些经典算子,因此它在各类函数空间上的有界性成为大家关注的焦点。在本节中,作为加权的变指标极大Herz空间的简单应用,我们将讨论满足此尺寸条件的次线性算子在此类空间上的有界性质。

E1+E2。

首先,利用Minkowski不等式将E1分解,则

E1,1+E1,2+E1,3。

对于E1,1,注意到对l≤k-2,x∈Rk且y∈Rl,有|x-y|≥|x|-|y|≥C2k,由尺寸条件(2)和引理1,有

继续使用引理2,可以推出

因为nδ2-α(0)>0, 根据Hölder不等式和Fubini定理,可以推出

接着来估计E1,2,由T在Lq(·)(ω)上的有界性,容易得到

下面轮到E1,3部分。因为l≥k-2,x∈Rk且y∈Rl,所以|x-y|≥C2l。从而

且

2(k-l)nδ1。

由上面得到的估计和Minkowski不等式,有

A1的估计和E1,1是类似的,即

A2的估计可由Hölder不等式得到, 也就是说

最后,类似于E1的证明,只需将证明过程中的α(0)替换为α∞,因此,下面E2的估计是自然的。

综合E1,E2两部分的估计,就有

定理2的证明就此完成。

当ω=1且α(·)=α时,定理2的结论与文献[18]中定理4.1一致。