Gauss-Weierstrass算子线性组合在Orlicz空间的加Jacobi权逼近

官心果,钟宇,2*,余泉,赵静,李东升,徐妮

(1 黔南民族师范学院数学与统计学院,贵州 都匀 558000;2 黔南民族师范学院预科教育学院,贵州 都匀 558000)

1 引言

Gauss-Weierstrass算子定义为

为了提高算子的逼近阶,采用方法是在该算子的基础上加线性组合(加权)[5]。 目前,关于Gauss-Weierstrass算子在Orlicz空间的研究,仅有文献[1]、[6]、[7]涉及。 受文献[1]的启示,本文研究了Gauss-Weierstrass算子线性组合Jacobi权函数在Orlicz空间中的逼近情况,并得到相关的逼近定理。

1.1 Orlicz空间中的相关概念[8]

Orlicz空间中所定义的M范数如下:

Orlicz空间中,Luxemburg范数定义为

Orlicz空间中的Hölder不等式为

Jacobi权中所定义的K-泛函为

K-泛函中的D为加权Orlicz-Sobolev空间,

关于Gauss-Weierstrass算子的线性组合[9-11]定义为

式中的ni∈N且ni,Ci满足如下条件:

(1)n=n0

1.2 主要结论

文中C为正常数,在不同位置所代表的数不一样。

定理2设g∈D, 则有

2 相关引理

A0(n,x)=1,A1(n,x)=0,

A2r+1(n,x)=0,A2r(n,x)=(2r-1)!!nr。

引理2[9]对∀r≥0, 存在常数C使得

证明由于

注意到

以及引理2中的r=0,ρ(u,M)≤1时,u(x)在(-∞,+∞)上几乎处处有界,则有

由ρ(v,N)≤1时,v(x)在(-∞,+∞)上几乎处处有界,可得

引理3证毕。

引理4[1]设θg′为g′(x)的Hardy-Littlewood极大函数,则

引理5设g∈D,则

证明由泰勒展开式,

n=n0

从而得

|wkLn,r((g)-g)|=|wk(x)Ln,r((g;x)-g(x))|=

于是

引理5证毕。

3 主要结论的证明

证明经计算得

所以有

注意到

以及引理2、引理3联立可得

定理1证毕。

定理2设g∈D, 则

证明因泰勒展开式得

所以有

|wkL″n,r(g)|=

(1)

根据引理1得

结合引理1、式(1)得

|wkL″n,r(g)|=|wk(x)L″n,r(g)|≤

(2)

又由引理1、引理4、条件(2)得

注意到

n=n0

故有

定理2证毕。

根据引理3、引理5、Jacobi权中定义的K-泛函得

由光滑模与K-泛函的等价性[12],则有

定理3证毕。