面向研究生创新能力培养的数值分析课程教学改革与实践

赵金玲, 张 超, 常 乐

(1.南京工业大学 机械与动力工程学院,南京 211816; 2.南京工业大学 高端装备可靠性制造研究院,南京 211816; 3. 南京航空航天大学 航空学院,南京 210016)

0 引 言

工程应用数学课程系统讲授在工程领域从事学术研究和创新产品开发和生产活动所涉及的主要数学理论及应用方法,主要包括数值分析、优化理论、数理统计、泛函分析等几大模块.教学目标侧重工程数学理论的基础性和全面性,并把握现代科学技术的前沿发展方向,紧密结合社会需求和工程实际,为学术参与具备一定门槛的工程技术研发工作打下必要基础[1-3].

就数值分析部分而言,随着人工智能算法的不断普及,数值分析课程可以面向大数据分析需求进行改革[4- 5];由于数值分析课程强调编程的运用,具有线上教学的天然优势,能够适应新冠疫情下课程学习的新趋势[6];微课的引入可以打破传统课堂教学的模式化和时空限制,创新教育教学模式[7].

对研究生而言,数值分析课程需要重视实践能力尤其是工程计算能力与思维的培养,体现数学的工程化思想和工程的数学思维,强调应用背景与兴趣牵引,引导学生从工程问题中发现数学的工具特征,培养学生活用、巧用数学理论的能力,将生硬的符号转化为生动的思维过程,培养学生的科研兴趣,激发学生的创新能力[8-11].如主张在学纯数学之前,先接受一些物理学的情趣和训练,培养解决实际问题的原创思维[8];也有教师采用“为什么-是什么-怎么办”的三段式讲解方法,其中“为什么”部分需要讲清楚数值分析算法的应用背景和出发点,是实际工程问题中合理选择数学方法的依据,被认为是最困难的教学内容[9];将数学建模与课程教学结合的改革方法也体现了课程面向解决实际问题、培养学生创新能力的重要目标[10].近来产生的数值分析课程OBE(Outcome Based Education,成果导向教育)教学模式,实则倡导以成果为导向的实练,以提高学生科学计算能力[12].而命题式的实练并不一定能最大程度地激发研究生的创新能力和科研热情.

为更好的将数学课程与专业相结合,笔者所在学院的研究生工程应用数学课程均由学院专任教师进行讲授.本文针对课程中数值分析部分的学情分析结果,以提高研究生创新能力为目的,提出基于“问题驱动-理论讲授-案例分析”的层次化教学模式,“课程思政”与“角色互换”的启发式教学方法,以及“过程化-学术化”的多元考核策略,初步探讨了数值分析课程的教学改革与实践,并对教学效果(尤其是研究生的创新能力培养)进行了分析总结.

1 学情分析

笔者所在学院的硕士研究生涉及动力工程及工程热物理、能源动力、机械以及机械工程等专业,研究生培养方案要求课程与专业方向紧密相关,强调学以致用.就工程应用数学课程的数值分析部分而言,近年来笔者所在学院学生反映课程学习过程中普遍存在如下问题:

(i) 教学模式的守成:教学过程仍沿用以教师为主的讲授方式,对新方法、新理论缺少恰当的引入;理论教学内容采用满堂灌、填鸭式教学模式,授课过程枯燥无味;理论教学与实际应用脱节,学生难以将数学理论与工程应用联系起来.

(ii) 教学方法的刻板:学生存在对数学课程的畏惧和排斥心理,无法体会数学课程的美感;且由于课程内容繁多,每个教学模块都涉及众多理论方法,学生边学边忘,难以形成全局思维,不利于实际工程问题中数学工具的合理选用.

(iii) 考核方式的局限:与本科生数值分析课程相比,研究生课程考核侧重于上机实验.然而上机作业一般由教师统一布置,缺乏多样性和创新性,不能有效地培养学生的创造性思维及其开展科学研究的积极性.

2 面向创新能力培养的教学改革主要内容

创新教育要求教师在加强基本理论和基础知识教育的同时,高度重视培养学生的自学能力、研究能力、思维能力等创新能力[13-14].针对上文中目前研究生数值分析教学中普遍存在的问题,提出了如图1所示的面向研究生创新能力培养的数值分析课程教学体系.采用了“问题驱动-理论讲授-案例分析”的层次化教学模式,建立了“课程思政”与“角色互换”的启发式教学方法,设计了“过程化-学术化”的多元考核策略,初步探讨了数值分析课程的教学改革与实践,努力拉近课堂与科研的距离,以逐步提高研究生的创新能力.

图1 面向研究生创新能力培养的“数值分析”课程教学体系

2.1 “问题驱动-理论讲授-案例分析”的层次化教学模式

(i) 问题驱动:为了激发学生学习新理论、新方法的兴趣,避免直接讲解复杂公式而造成的“学的难”局面,课程在讲授新知识之前,需首先引入与学生专业相关的科研或学术问题,以解决问题为目的,引入相应数值分析方法.

例1插值问题的引入

以学生熟悉的有限元知识为背景,向学生提问:假设一次单元的两个节点位移分别为{u1},{u2},如何获得单元内的连续位移场,为后续应力场、应变场的求解创造条件?

例2数值积分问题的引入

如图2所示,同样以有限元知识为背景,以与专业相关性较大的复合材料压力容器建模为需求,向学生提问:复合材料层合结构中各层材料属性迥异,若厚度方向只采用一个单元,如何实现单元刚度矩阵的计算?进一步通过有限元ABAQUS软件的相关设置界面,向学生引入积分点、辛普森积分、高斯积分等概念.

图2 问题驱动法引入数值积分教学内容

(ii) 理论讲授:课程知识面大,在有限的学时里不可能将公式、定理等内容面面俱到讲解.因此,授课教师需对教学内容进行主次划分,对于典型或常用算法需重点阐述,而非重点算法则侧重其构造思想、过程、关键参数以及应用范围,做到精讲与略讲结合,将课堂效益最大化.

(iii) 案例教学:与本科生数值分析课程不同,研究生已或多或少接触科研课题,因此脱离应用背景的例题较难激发学生思考兴趣.课前教师对学生学习背景、科研背景进行调研,挖掘学生兴趣所在,并制定专业化的案例题,搭建数学课堂与科研学术的桥梁,让学生体会到课程的“实用性”.

例如,提供实验测得应力-应变离散数据点,要求学生进行应力-应变曲线拟合(考察最小二乘拟合知识),并进一步计算应变能(考察数值积分知识)等.

2.2 “课程思政”与“角色互换”的启发式教学方法

(i) 课程思政:大部分学生对数学课程的学习充满了排斥与畏惧,无法体会数学的美感与“接地气”.将课程思政引入数学课程的教学[15-16],深度挖掘课程中蕴含的思政资源,融入爱国主义、马克思主义、传统文化、价值观、创造精神、美学教育等,增强学生学习兴趣、放松学生紧张情绪、展示严密逻辑的美感,努力实现润物细无声.

(ii) 角色互换:如图1所示,在章节授课内容结束后,采用随机抽查的方式,安排学生上台讲述其对本章节内容的感受,启发学生开展严密的逻辑思维,对课堂所授方法进行总结、对比、吸收,对学生所存疑惑进行及时解答、反馈.

2.3 N+1的“过程化-学术化”多元课程考核策略

(i) 过程化考核:如图1所示,在每章节授课结束后,要求学生上交上机作业.与本科生上机作业不同,要求研究生进行①文献检索与阅读,挖掘可用数据;②自拟题目,要求交代背景与目的;③编写Matlab代码并运行;④获得结果并展开讨论.教师对上机报告进行评阅,及时掌握学生掌握知识的情况;并取其精华,不断将优秀的作业共享给学生,敦促其不断改善作业质量.

(ii) 学术化考核:除N次过程化考核外(N不超过授课章节数),期末考试以撰写学术论文形式进行.要求论文具有专业性、学术性、科学性,倡导首选自己实测数据或与后续课题紧密相关的论文中的数据,采用尽可能多的数值分析方法,获得尽可能多的结果,并赋予结果一定的物理意义,讨论分析并获得结论.

平时成绩(包括角色互换考核以及N次过程化考核)占总成绩30%,期末成绩(学术论文)占总成绩70%.

3 教学成果

课程通过构建如图1所示的数值分析课程教学体系,强调综合改进教学模式、教学方法以及评价策略,以达到不断提高研究生创新能力的目的.笔者从问卷调查、综合成绩、作业情况以及课堂反馈等方面,多角度、深入地探讨了课程改革带来的教学成果.

3.1 问卷调查

通过超星学习通平台对2021～2022学年第1学期共185名学生进行课程问卷调查,共收到有效答卷146份,其中动力工程及工程热物理、能源动力、机械以及机械工程四个专业各28, 55, 38和25份.

问卷内容围绕第2节中的学情分析展开,结果见表1.总体来说,学生对课程满意率(包含“很满意”和“满意”两部分)在96%以上.

表1 机械学院146名研究生调查问卷结果

在教学模式方面:通过引入“问题驱动-理论讲授-案例分析”的层次化教学模式,超过78%的同学认为教师对新方法引入恰当,课程教学生动有趣,且能将理论与实际应用联系起来.

在教学方法方面:结合“课程思政”与“角色互换”的启发式教学方法,拉进数学与学生的距离,使得71.2%的同学非常认同可以通过课程学习体会到数学之美;笔者设计的角色互换环节,通过学生自主总结章节内容,促成形成课程脉络,75.3%的同学认为该模块有助于培养学生全局思维能力;71.9%的同学认为自己能在实际问题中合理使用数学方法.

在考核方式方面:课程采用N+1的“过程化-学术化”多元课程考核策略,摒弃了命题式考核方式,将作业100%交还给学生,学生结合专业自主命题,在掌握数学方法的同时能够加深对专业方向的应用与理解.由于班级人数多、专业多、研究方向多,因而作业具有多样性以及创新性,得到了大部分同学的认可.76%以上的同学认为改革后的考核方式提高了其文献阅读能力、培养了创造性思维并促进了从事科学研究的积极性.

3.2 综合成绩

图3为学生历年期末成绩,包括平均分和标准偏差.其中2018,2019两年采用了传统教学方式,取得的教学效果并不理想,平均分分别为79.50和78.83分,且2019年期末标准偏差高达7.95分,低分段学生占比较大.学生普遍反映教师教的难、考试考的难,填鸭式授课以及命题类考试无法提升学生学习兴趣并培养其创新思维能力.因此,笔者采用了上文提出的教学改革方式,对比表明2020,2021年学生期末成绩得到了明显的提升,标准偏差也逐渐减小,表明越来越多的学生成绩达到中等水平.

图3 历年期末考核成绩

3.3 作业与课堂反馈

3.3.1 筑牢“文献检索与阅读”的共同基础

学生在完成N+1的“过程化-学术化”多元课程考核任务时,需不断地进行中英文文献检索,锻炼文献泛读能力,不断加快“找对文献”的速度;进一步基于提取背景、数据的任务要求,打磨自身精读文献的水平,极大地促成“文献检索与阅读”共同基础的筑建,为研究生科研生涯打下重要基础.

3.3.2 夯实“逻辑思维”与“比较分析”的思维模式

教师授课环节中,通过引入“课程思政”的教学方法,将辩证法、量变引起质变等思政理念植入数值分析方法中;且数学课程具有固有的逻辑严密的特征,使得学生在听课过程中不断被动地进行逻辑思考.

学生考核过程中,包括“角色互换”中站在总-分的角度讲述和对比多种数值分析方法,还包括N+1的“过程化-学术化”多元课程考核任务中对数值分析结果的讨论分析等,都主动的锻炼了自身逻辑思维和比较分析能力.

图4为学生N+1的“过程化-学术化”多元课程考核报告的摘选,其中图4(a)表明学生运用逻辑思维对牛顿迭代法的编程思想进行了思考;图4(b),(c)和(e)分别为学生对多种插值、积分、拟合方法的对比分析,体现了学生通过多元考核展现的良好的比较分析思维能力.

图4 学生作业摘选

3.3.3 开拓“解决实际科研问题”的创新能力

教师授课环节中,通过“问题驱动”与“案例分析”教学模式,最大限度地将实际科研问题引入课堂教学中,激发学生学习热情,并启发学生将所学知识运用到后续课题中,开拓“解决实际科研问题”的创新能力;

学生考核过程中,根据N+1的“过程化-学术化”多元课程考核要求,需多次查阅文献,结合自身课题自拟题目,运动课堂所学理论方法解决问题.如图4(c),(d)和(e),分别为学生将所学的数值积分方法运用到计算Stefan-Boltzman常数、超声波入射/反射波能量,以及运用函数拟合方法揭示C12质量分数与相变温度的关系,体现了学生活学活用、“解决实际科研问题”的创新能力.

4 结 论

基于数值分析课程教学模式守成、教学方法刻板、考核方式局限等原因限制研究生创新能力发展的现状,对数值分析课程的教学体系改革做出了初步探讨,构建了“问题驱动-理论讲授-案例分析”的层次化教学模式、“课程思政”与“角色互换”的启发式教学方法以及“过程化-学术化”的多元考核策略.笔者从问卷调查、综合成绩、作业情况以及课堂反馈等方面,多角度、深入地探讨了课程改革带来的教学成果.结果表明,有超过96%的学生认可新的教学模式、教学方法以及考核策略;历年来学生综合测评成绩稳步提升;新的教学方式有助于筑牢学生“文献检索与阅读”的共同基础、夯实“逻辑思维”与“比较分析”的思维模式、开拓“解决实际科研问题”的创新能力.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.