不等式恒成立 参数取值范围

摘" 要：含参函数对应的不等式恒成立问题是高考中创新设置的综合应用问题.破解此类问题，可以从函数视角切入，也可以从不等式视角切入，结合不同的思维视角来转化与应用，实现问题的解决，总结解题规律，归纳技巧策略，引领并指导解题研究与复习备考.

关键词：函数；不等式；恒成立；同构；导数

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）16-0028-03

收稿日期：2024-03-05

作者简介：何晨霞（1981.10—），女，河北省盐山县人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

含参函数对应的不等式恒成立的综合应用问题，是函数与不等式知识交汇与融合的一个重要知识.借助不等式的合理转化与恒等变形，借助不等式的基本性质或函数的基本性质等来合理转化与应用，或利用不等式思维，或利用函数思维，或利用导数思维等来分析与解决相应的数学问题.1" 问题呈现

问题" （2022年11月中学生标准学术能力诊断性数学测试卷）已知函数f（x）=ex+n，g（x）=ln（x-n），若对x∈（n，+∞），都有f（x）gt;g（x）恒成立，则实数n的取值范围为.

2" 问题剖析

本题是以两个含参函数为载体，借助含参函数的不等式恒成立创新设置，进而确定对应参数的取值范围问题.

此类问题常用以下策略与方法来分析与求解：（1）参变分离，合理构造函数，利用导数求解最值，有时还涉及隐零点的相关问题；（2）构造函数，利用函数重要不等式ex≥x+1（当且仅当x=0时等号成立），lnx≤x-1（当且仅当x=1时等号成立）进行合理放缩，进而求解最值；（3）利用同构，结合含参函数的不等式恒成立的恒等变形与转化，通过同构函数，研究函数的单调性并求解最值.

当然还可以借助反函数思维等来分析与处理该问题，主要是反函数思维在新教材中已经有所淡化，只是作为部分学生提升与课外阅读的材料.

3" 问题破解

3.1" 导数思维

解法1" 对x∈（n，+∞），都有f（x）gt;g（x）恒成立.

则有对x∈（n，+∞），都有f（x）-g（x）=

ex+n-ln（x-n）gt;0恒成立.

构造函数h（x）=ex+n-ln（x-n），x∈

（n，+∞），

求导有h′（x）=ex-1x-n.

显然函数h′（x）在（n，+∞）上单调递增.

所以当x→n时，h′（x）→-∞；当x→+∞时，

h′（x）→+∞.

所以

Symbold@@ x0∈（n，+∞），使得h′（x0）=0，且当x∈（n，x0），h′（x）lt;0，此时函数h（x）在（n，x0）上单调递减；

当x∈（x0，+∞），h′（x）gt;0，此时函数h（x）在（x0，+∞）上单调递增.

所以利用基本不等式，可得

h（x）≥h（x0）=ex0+n-ln（x0-n）=1x0-n+n+

x0=1x0-n+（x0-n）+2n≥21x0-n×（x0-n）+2n=2+2ngt;0.

则知ngt;-1.

即实数n的取值范围为（-1，+∞）［1］.

3.2" 放缩思维

解法2" 对

Symbolb@@ x∈（n，+∞），都有f（x）gt;g（x）恒成立，则有对

Symbolb@@ x∈（n，+∞），都有h（x）=f（x）-g（x）gt;0恒成立.

结合重要不等式，可知

h（x）=f（x）-g（x）=ex+n-ln（x-n）≥x+

1+n-（x-n）+1=2n+2gt;0，

当且仅当x=0且x-n=1时等号成立.

则知ngt;-1.

即实数n的取值范围为（-1，+∞）.

3.3" 函数同构思维

解法3" 由f（x）gt;g（x）

Symbol解法4" 由f（x）gt;g（x）

Symbol3.4" 反函数思维

解法5" 令y=f（x）=ex+n，则ex=y-n.

即x=ln（y-n）.

则知函数f（x）与g（x）互为反函数.

结合互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，

所以当ex+ngt;x恒成立时，都有f（x）gt;g（x）恒成立.

结合重要不等式，可知ex≥x+1（当且仅当x=0时等号成立），则有

ngt;（x-ex）max=x-（x+1）=-1.

则知ngt;-1.

即实数n的取值范围为（-1，+∞）.

4" 变式拓展

根据以上问题的“一题多解”，进一步加以发散思维，开拓方法，巩固相关的基础知识与基本方法，进行“一题多变”.

变式1" 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-32.对任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）都恒成立，则实数a的取值范围为.

解析" 对x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）可化为2xlnx≥-x2+ax-3.

故a≤2lnx+x+3x.

构建函数F（x）=2lnx+x+3x，求导有

F′（x）=x2+2x-3x2=（x+3）（x-1）x2.

故F（x）=2lnx+x+3x在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.

故F（x）≥F（1）=1+3=4.

故对x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立可化为a≤4.

即实数a的取值范围为a≤4.

变式2" 已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=axex，a∈R.若对任意的x∈［0，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，则实数a的取值范围为.

解析" 对任意x∈［0，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立

Symbol构建函数F（x）=ln（x+1）-axex（x≥0），求导有

F′（x）=1x+1-a（x+1）ex=1-a（x+1）2exx+1.

①当a≤0时，F′（x）＞0，故F（x）在［0，+∞）上单调递增.

又F（0）=0，故当x≥0时，F（x）≥0，不符合题意.

②当a＞0时，

（1）当a≥1时，由于x≥0，可得a（x+1）2ex≥1.

则F′（x）=1-a（x+1）2exx+1≤0.

故F（x）在［0，+∞）上单调递减.

故当x≥0时，F（x）≤F（0）=0，符合题意.

（2）当0＜a＜1时，构建函数

φ（x）=1-a（x+1）2ex（x≥0），

求导有φ′（x）=-a（x+1）（x+3）ex.

显然φ′（x）＜0，φ（x）在［0，+∞）上单调递减.

又φ（0）=1-a＞0，φ（1a-1）=1-e1a-1＜0，

故存在唯一的x0∈（0，1a-1），使得φ（x0）=0.

故当0≤x＜x0时，φ（x）＞φ（x0）=0，则

F′（x）=1-a（x+1）2exx+1＞0.

故F（x）在［0，x0）上单调递增.

则当0≤x＜x0时，F（x）≥F（0）=0，不符合题意.

综上分析，可得a≥1.

即实数a的取值范围是［1，+∞）.

5" 结束语

解决此类涉及含参函数的不等式恒成立的综合应用问题，可以从不同的思维视角切入，或构建函数利用导数思维来处理，或同构函数利用函数性质来处理，或合理放缩利用不等式思维来处理等，进而合理巧妙转化，得以确定代数式或参数的大小关系、代数式的最值、参数的取值范围等应用问题［2］.

在破解数学综合应用问题时，必须合理构建数学知识网络，借助我们的慧眼去识别相关问题中结构的同型或共性.通过不断感知、抽象、认同、同构、建模等过程，合理链接熟知事物与相关数学知识的密切联系，正确数学建模.应用共性解题，增强创新意识、同构意识与创新应用，数学知识交汇，数学思维飞跃，形成数学能力，培养数学核心素养.

参考文献：

［1］

侯有岐.绝对值不等式中求参数范围问题常见题型分类解析［J］.高中数理化，2023（05）：1-4.

［2］ 胡定跃.对数函数中的参数问题变式探究［J］.高中数理化，2023（15）：23-24.

［责任编辑：李" 璟］