代数一般观念指引让数学知识自然生长

摘" 要：探索一般观念指引下的高中数学教学是一个持续深入的过程. 先在“等式性质与不等式性质”的学习过程中感受代数一般观念的方法论作用，继而在“基本不等式”的学习中类比开展微探究，理解代数一般观念方法论的作用. 在该方法论的指引下，可以持续开展微探究. 为此，对教材中的相关内容进行了梳理.

关键词：一般观念；代数运算；不变性；微探究

中图分类号：G633.6" " "文献标识码：A" " "文章编号：1673-8284（2024）04-0010-06

引用格式：韩灵，蔡红瑞，薛志诚. 代数一般观念指引让数学知识自然生长［J］. 中国数学教育（高中版），2024（4）：10-14，35.

依据人教A版教材主编章建跃先生提出的一般观念，笔者尝试开展课堂教学研究，第一次选择的课题是“基本不等式”. 在一般观念指引下，做出教学设计，课堂教学以微探究的形式进行. 在问题驱动下，课堂上学生思维活跃，异常兴奋. 课后交流时，有教师感叹：“教了这么多年书，从来没有想到这节课还可以这样上！”第二天按照该教学设计在班级进行了实践，同样取得了令人欣喜的结果. 我们看到，学生在这样的课堂上思维活跃，能够积极思考. 这给大家带来了惊喜和欣慰.

教学观念的转变，使得师生对数学的情感态度发生了很大的变化. 既令人激动，更值得深思. 一般观念之“代数性质指什么”，在人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）必修第一册第40页的旁白中给出了回答：“运算中的不变性就是性质.”

下面就以此为例与大家分享在一般观念的指引下如何让数学知识自然生长，让师生享受数学思维之美.

一、学习“等式性质与不等式性质”，感受一般观念的方法论作用

教材必修第一册“2.1 等式性质与不等式性质”的内容结构是先给出实数大小的基本事实，继而梳理等式的基本性质，之后类比探究不等式的基本性质.

梳理等式的基本性质，目的在于抽象出研究的方法，为探索不等式的基本性质奠定基础. 先再现等式的性质，继而对5个性质的特点进行分析，抽象得出等式的性质包括两类：一类是相等关系自身的特性；另一类是从运算角度提出的，反映了等式在运算中的不变性. 这就是一般观念中“代数性质指什么”的具体表现. 类比研究不等式的基本性质，从类型上自然划分为两类：一类是不等关系自身的特性，即性质1和性质2；另一类是不等式在运算中的不变性，即性质3 ～ 性质7.

在探究环节将发挥一般观念的指引作用，让数学知识自然生长，因此类比等式的基本性质，确定探索不等式的基本性质的思路如下.

对于给定的不等式a gt; b，先讨论其自身具有的特性，不再赘述. 继而讨论其在运算过程中的不变性. 首先，确定对于不等式a gt; b可做的运算有加法、乘法、乘方、开方……，后续学习的代数运算，如指数运算、对数运算，依然可以进行类似的探究. 因此，对该不等式的探索是不局限于教材中所给的性质的. 教材之所以给出7个性质，是考虑到学生当时具有的数学基础，如上的探索思路是在一般观念指引下从数学本身的角度出发进行设计，目的是教给学生数学的思维方法.

确定了如上整体思路之后，接下来就进入具体的探究环节. 以加法运算为例，选定了加法运算，接下来要根据运算对象提出具体的问题：① 在不等式a gt; b两端加同一个数c，不等式还成立吗？② 在不等式a gt; b两端分别加一个数c，d，不等式还成立吗？对于②，需要基于c，d的大小关系进行分类讨论，具体可以分为c gt; d，c = d，c lt; d三类. 经过探索发现①是②的特殊情况，②是①的一般化. 在②中，当c lt; d时，对于c，d的不同取值，a + c，b + d的大小关系不确定，即此时对不等式a gt; b做加法运算不具有不变性. 经过探索，最终得到了不等式的性质3和性质5.

再以乘法运算为例. 已经有如上对加法运算的探究经验，类比可知，如果选定了乘法运算，接下来同样要根据运算对象进一步提出具体的问题进行探究：① 在不等式a gt; b两端乘同一个数c，进而分为c gt; 0，c = 0和c lt; 0三种情况探究；② 在不等式a gt; b两端分别乘c，d，此时还需要分为多种情况进行探究，进而总结出a gt; b gt; 0，c gt; d gt; 0时对应的运算结果是确定的，于是得到不等式的性质4和性质6. 之后还可以从特殊化的角度进一步提出问题，如将性质6特殊化，即当a = c，b = d时，可以得到：如果a gt; b gt; 0，那么a2 gt; b2. 进而一般化得到不等式的性质7. 对a2 gt; b2做开方运算，得到如果a gt; b gt; 0，那么[a]gt;[b]. 后续学习了指数，即可得到：如果a gt; b gt; 0，那么[an]gt;[bn]. 当然，学生还可以结合其他运算得到相关的关系，如取a gt; b的倒数，可以得到：如果a gt; 0 gt; b，那么[1a]gt;[1b]；如果a gt; b gt; 0，或b lt; a lt; 0，那么[1a]lt;[1b].

如上的探索过程，将教材必修第一册中不等式的性质，例2，练习第2题，习题2.1“综合运用”的第7题和第8题、“拓广探索”的第11题，统整到了一起. 由此可见，在一般观念指引下，数学知识的内在联系将自然地呈现出来.

经过这样的探索，学生可以具体感受“运算中的不变性就是性质”的方法论作用. 首先，选择运算类型；其次，选择运算对象，并依据具体情况进行必要的分类，在每一类中通过赋值进行运算观察结果，猜想其是否具有不变性；再次，针对猜想进行论证或者反驳；最后，将具有不变性的运算作为性质.

二、学习“基本不等式”，升华对一般观念的理解

在学习“2.1 等式性质与不等式性质”时，第一次领略了一般观念之“代数性质指什么”的方法论作用，接下来学习“2.2 基本不等式”，我们自然会考虑能否利用一般观念，通过对重要不等式作代数运算进行探索. 于是得到如下思路.

根据上一节课总结的方法，基于重要不等式a2 +b2 ≥ 2ab，从运算的角度有序提出系列问题，或者对重要不等式进行变形，得到若干猜想，获得系列不等式，进而对这些不等式进行论证、完善，最终得出基本不等式及相关不等式.

类比不等式性质的研究，采取如下步骤：第一步，选择运算的类型，如选择加法；第二步，选择运算对象，先在a2 + b2 ≥ 2ab的两边加相同的数，如两边同时加a2 + b2，2ab（或-2ab），b2，等等；第三步，对式子进行变形，如在两边同时加2ab可以得到[a+b2]≥ 4ab，经过化简，可以得到不等式ab ≤[a+b24]；第四步，依据学生上节课中推出的性质“若a gt; b gt; 0，则[a]gt;[b]”（即习题2.1的第11题），将ab ≤[a+b24]中a，b的取值范围限制为a gt; 0，b gt; 0，两端开方即可得到基本不等式[ab]≤[a+b2]. 其他的不等式类比可得.

同样地，第一步还可以选择乘法；第二步选择运算对象时，在a2 + b2 ≥ 2ab两边可以同乘[12]，[1ab]，[12ab]，等等. 若乘[12]，可以得到[a2+b22≥ab]；若乘[1ab]，根据不等式的性质4，通过讨论得到，如果ab gt; 0，那么[ba]+[ab]≥ 2，这是教材第46页练习的第2（1）题. 如上探索过程，可以用如图1所示的逻辑关系图表示.

观察图1，当a gt; 0，b gt; 0时，得到不等关系：[2aba+b]≤[ab]，[a2+b22]≥[ab]，[a+b2]≥[ab]，[a2+b22]≥[a+b2].于是得到[a2+b22]≥[a+b2]≥[ab]≥[2aba+b]. 这一串不等式将基本不等式、教材第46页练习第2题、第58页第10题的推广都联系了起来.

可见，本节课的研究方法与“2.1 等式性质与不等式性质”类似. 在一般观念的指引下，通过变化运算类型和运算对象，或者对不等式进行变形，可以提出系列猜想，让数学知识自然生长，将散落在教材不同位置的关系式统整在一起，展现了数学知识内在的联系性.

三、在后续学习中自觉运用一般观念，发挥其方法论作用

有了对一般观念之“代数性质是什么”的认识，在后续与代数有关的研究中即可自觉地运用，发挥其方法论作用，让数学知识自然地生长，让学生循序渐进、有条有理地展开思维. 接下来，对相关内容进行梳理.

1. 根式的性质

根式的性质本质上是n次方根定义的变式表达，依据定义可以直接推导出来，但是对于抽象能力较弱的学生来说理解起来有困难. 因此，可以借助运算中的不变性，引导学生在大量计算的基础上进行抽象概括，即先对n和a赋值，依据定义进行计算，观察运算中的不变性得到根式的性质，再用定义予以解释. 例如，可以先让学生完成如下计算，再归纳性质，之后再用定义予以解释.

计算：[52]= ______，[533]= ______，[-533]=

______，[644]= ______，[755]= _______，[-755]= _______.

观察以上各式，你能写出[ann]的值吗？之后再用定义解释.

n次方根定义形成的过程，教材中也采用了类似的方式.

2. 指数函数的定义

教材第111页给出了A，B两地景区的游客人次. 随着年份的变化，游客人次变化的规律是怎样的？我们可以借助代数运算进行研究. 正如教材第112页旁白中所述：“做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率.”代数运算是发现数据中蕴含的规律的一般方法，观察散点图、表格，通过减法、除法运算来发现，用代数运算发现规律是用函数关系表达规律的基础. 本节课构建函数模型的基础就是通过代数运算发现其中蕴含的规律.

具体而言，是通过做减法发现A地景区每一年比上一年增加的人次近似相等，这种变化规律近似符合一次函数模型，是我们在初中已经研究过的函数；通过除法运算，发现与上一年相比，B地景区每一年人次的增长率不变，我们尚未学习过刻画增长率或者衰减率不变的函数模型，因此需要构建一个新的函数，于是形成了指数函数的概念.

3. 三角恒等变换

利用圆的旋转对称性得到两角差的余弦公式之后，可以从代数运算的角度对公式进行变形，得到两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式；再对公式做除法，可以得到两角和与差的正切公式；将公式中的角特殊化，可以得到二倍角公式；对二倍角的余弦公式进行变形可以得到降幂公式、半角公式等；对两角和与差的正弦公式做加法可以得到积化和差公式，再变形可以得到和差化积公式. 可见，这些公式都是从Cα - β出发经过一系列代数运算得到的，与“2.2 基本不等式”一节的研究方法类似，其逻辑关系如图2所示.

4. 余弦定理、正弦定理

这一节是利用向量的数量积运算研究三角形的性质，研究对象是三角形，因此可以在代数一般观念的指引下进行. 依据向量方法解决平面几何问题的三个步骤，先将研究对象表达为向量形式. 如图3，△ABC可以表示为a + b + c = 0. 对于a + b + c = 0，依据基于代数一般观念形成的方法论，先选择运算类型，根据教材的要求，选择数量积运算；接下来选择运算对象，可以提出一系列问题：将a + b + c = 0两端进行平方，会得到怎样的关系？将a + b + c = 0变形为a + b = -c，再两端进行平方，会得到怎样的关系？在a + b = -c两端同乘a + b或c，会得到怎样的关系？在a + b = -c两端同乘边BC上的高对应的向量h、中线对应的向量r、∠BAC的角平分线对应的向量j，会得到怎样的关系？在a + b = -c两端同乘平面内的任意一个向量，即教材必修第三册第62页的第19题，会得到怎样的关系？

求解如上的系列问题，可以得到余弦定理、正弦定理、射影定理和更一般的结论.

下面以a + b = -c两端同乘边BC上的高对应的向量h为例展开探究：[a+b]·h = -c·h. 化简，得

-[b][h]sin C = -[c][h]sin B. 由[h]≠ 0，得[b]sin C =[c]sin B，即[b]sin C =[c]sin B，得到正弦定理. 在化简的过程中还能帮助学生理解教材中推导正弦定理时为什么要乘一个单位向量，感受数学的简洁美，并习得求解的经验.

上述不同的探索路径，以“数量积”一以贯之，只是运算对象在改变. 有了前序一般观念指引下的代数探究经验，此处教师再予以引导，学生是可以想到的. 这样设计的出发点是学生能提出什么问题，而不是能得到哪个定理. 这样的设计是发展思维的设计，这样做使得代数的一般观念前后贯通，不但能帮助学生形成对向量法的思维自觉，还能进一步理解一般观念的方法论意义.

教材必修第二册“6.4.3 余弦定理、正弦定理”选择的是数量积运算，运算对象的选择结合了几何研究的一般观念. 这节课事实上为“数学探究" 用向量法研究三角形的性质”奠定了方法论的基础，按照这样的思路，可以利用向量法对三角形进行更系统的研究.

5. 数列

数列的特点是用代数运算发现规律，用函数关系表达规律，因此学习数列必然要继续发挥代数一般观念的方法论作用，让学生有序地提出系列问题，让数学知识自然地生长.

以等差数列为例，定义的形成就是通过计算发现一个数列中前后两项之间都具有的一个不变性：从这个数列的第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，即an + 1 - an = d（n ∈ N*）. 接下来增加运算对象的数量，即3个数，于是得到等差中项. 继而增加项数，如等差数列中连续的4项、5项、6项、7项……，通过计算可以归纳出前n项和与中间项的关系. 将之一般化，就可以获得求数列前n项和的方法. 于是，自然破解等差数列求和问题思路难求的教学难点. 换一个视角，对连续4项求和问题，变换其下标的值，总结其中的规律性就可以得到：如果m + n = p + q，那么am + an = ap + aq（教材第17页例5）. 特殊化得到：如果m + n = 2p，那么am + an = 2ap. 继而还可以提出新的问题，如教材选择性必修第二册第18页第5题；或者将第21页例7、第24页第2题一般化；……

对一列数选择新的运算，如除法，通过运算寻找其中的规律，那么就可能发现等比数列. 之后按照代数的一般观念，类比等差数列的如上路径进行探索，可以让与等比数列相关的知识自然生长，不再赘述.

按照这样的思路，还可以研究前后项的其他运算关系，于是就形成了丰富的递推关系.

教材选择性必修第二册第10页“阅读与思考" 斐波那契数列”，对于表中的数据，从不同的角度选择数值进行运算，可以获得不同的代数关系. 这就是代数一般观念的威力.

6. 计数原理

排列数公式[Amn]=[n！n-m ！]、组合数性质[Cmn]=[Cn-mn]的发现都是在代数运算中寻找到的规律. 二项式系数的性质是在观察的基础上，通过代数运算论证并用代数式表达出来的.

教材选择性必修第三册第39页的“数学探究" 杨辉三角的性质与应用”通过数阵给出，基于数阵从不同视角观察可以得到很多代数关系. 二项式系数的基本性质都在这个数阵之中. 进一步观察，还可以发现更多，如对每一横行进行运算，可以得到[C0n+C1n+][C2n+ … +Cnn=2n]；观察图4中第三层斜行上的数，会发现它们都是三角形数，而且这列数构成二阶等差数列，对它们进行运算还会发现[C22+C23+C24+ … +C2n=C3n+1]；对图5中的斜行进行运算会发现每一斜行的和恰好组成一个斐波那契数列. 继续观察，并结合代数运算，还将会有更多有趣的发现.

数学是思维的体操. 学生的数学学习，从某种意上说就是学生数学思维的学习. 要培养学生的数学思维，就要先为学生搭建一个研究数学对象的整体框架. 如上所述就是在一般观念的引领下，通过运算中的不变性，搭建整体的框架.

在教学实践中，可以用微探究的方式进行. 教学设计要依据一般观念和学生学习的心理过程、为发展学生的思维而设计，彻底转变“为获得某个结论而设计”的想法. 在一般观念的指引下带领学生充分经历探索过程，并给予学生充分的时间和空间，让他们开展自主探究，感受发现的乐趣，体验发现的成就感，只有这样才能引发学生对数学的兴趣，促进学生对数学的思考，助力学生数学思维的发展，从而使学生真正爱上数学，学好数学，享受数学.

参考文献：

［1］章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021.

［2］章建跃. 教思维的几个关键（之一）［J］. 中小学数学（高中版），2023（6）：65.

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［4］薛红霞. 单元教学之魂：理解，显化：核心素养立意下一般观念指引的函数主题单元教学分析［J］. 中学数学教学参考（上旬），2022（7）：9-14.

［5］张永刚，赵婧一，常青. 项目学习：用向量发现三角形中的“美”：“用向量法研究三角形的性质”教学设计、实践与反思［J］. 中国数学教育（高中版），2022（6）：29-37，44.

［6］吴坚.“斐波那契数列与黄金分割”教学设计［J］. 中国数学教育（高中版），2023（5）：53-57.

［7］章建跃. 高中数学教科书教学设计与指导：必修第一册［M］. 上海：华东师范大学出版社，2022.