中国“数学变式”研究20年的变迁

摘 要：变式及变式教学是中国数学教育教学的特征之一。基于中国知网（CNKI）数据库，借助CiteSpace软件，以中小学数学变式为主题，分别从发文作者、发文机构、关键词对该主题领域的研究主体、研究热点和趋势进行可视化分析。从研究主体来看，研究机构和研究人员之间的联系比较松散，建议加强主体合作，构建研究共同体。从研究热点和趋势来看，中小学数学变式以几何为主要变式内容，以教学为变式载体，以学生思维的提升为变式目的；研究内容走向多领域、多课型，应立足课堂教学，满足学生需要，同时深挖研究问题，突显数学本质；以核心素养为导向的变式教学是研究的一大趋势，应优化变式（教学）研究，发展核心素养。

关键词：数学变式；CiteSpace；文献综述；可视化图谱；中小学

中图分类号：G633.6;G521"" 文献标志码：A""" 文章编号：1673-5072（2024）05-0553-09

“题海战术”违背了数学教育的本质和规律，长期大量刷题，不仅未能使学生达到“熟能生巧”，反而使学生“熟能生厌”，为解决“题海战术”所带来的弊端，“数学变式”应运而生。数学变式可以理解为：从不同方面、不同层次、不同形式上变换数学对象的非本质特征，进而更好地突出其本质特征的教学形式和策略。变式是中国数学教育的重要特色［1］。顾泠沅在主持上海青浦实验的过程中，系统地开展了变式教学实验，并总结得到了具有中国特色的变式理论［2］。在对我国数学课堂教学进行变式分析以及对“中国学习者”悖论进行充分解读的基础上，我们可以认为，恰当地使用变式，会使数学课堂变得有意义；反之，就会使数学课堂变为被动灌输和机械训练［3］。变式可以将表象变深刻，将狭隘变宽广［4］。通过恰当的数学变式能够提高“三基”（数学基础知识、基本技能和基本思想方法）的落实水平［5］，同时能够加强思维的深度，拓宽思维的广度，提升思维的灵活度，使学生对数学问题的理解深入到本质层面。当前国内外对于数学变式综述的相关研究非常少，而数学变式只有基于已有的变式成果和变式经验并且紧密联系当下数学教育的时代背景，才能更加有效地促进数学变式继续向前发展，使数学变式更具时代意义。本文运用文献计量方法，对文献数据进行可视化分析，以探求近20年我国中小学数学变式的研究热点和未来的研究趋势，并给出一些结论与建议，为相关研究提供一定的参考。

1 数据来源与处理

1.1 数据来源

本文以中国知网（CNKI）为来源数据库，通过高级检索功能，以“数学变式”为主题，时间区间设定为2001—2021年进行文献检索，共检索到1134条相关期刊文献，再人工剔除与中小学教育无关的期刊文献，共得到966篇有效的期刊文献。

1.2 数据处理

首先将966篇文献以Refworks格式导出；再利用CiteSpace（6.1.R2）对导出数据进行转换；接着通过可分析数据建立新的项目（project），对发文作者、发文机构、关键词进行相关分析。

2 数据可视化及分析

2.1 作者共现分析

依据发文作者以及他们在同一篇文献中出现的合作关系，基于CiteSpace的作者共现分析，得到了该领域关于作者及相互之间合作关系的可视化网络图谱（图1）。图谱共有525个节点，79条连线，网络密度仅为0.0006，结构非常松散。大多数人都是单独研究，主要作者之间仅形成了以张奠宙和孙旭花为中心的合作群体，此外，李岚和姜珊珊以及马晓丹和张春莉之间有一定的合作，但是合作程度并不高。所以，目前该领域的作者合作关系呈现出“整体分散、局部联系、合作程度低”的特点。

发文量排名前5的作者如表1所示，发文量最大的是张奠宙（6篇），另外孙旭花发文4篇，均为核心期刊，且这两位作者有合作研究，形成了一定的研究群体，所以张奠宙和孙旭花可被认定为该领域较权威的作者。

2.2 机构共现分析

依据所检索文献发文作者所处的机构以及不同研究机构在同一篇文献中出现的合作关系，基于CiteSpace的研究机构共现分析，得到该领域关于研究机构及相互之间合作关系的可视化网络图谱（图2）。图谱共得到493个节点，68条连线，网络密度仅为0.0006，结构非常松散，说明该领域的研究机构非常分散，相互之间的联系不强。该领域的主要研究机构形成了以华东师范大学数学系为中心的研究群体，其他一些研究机构有一定的合作，但是合作的次数比较少，合作程度比较低。同时从总体来看，该领域的研究多集中在各大高校，中学也有一定的研究基础。

发文量排名前5的研究机构，如表2所示。在高校方面，华东师范大学数学系（9篇）、北京师范大学教育学部（6篇）和数学科学学院（6篇）的发文量较高；在中小学方面，延边第二中学（6篇）的发文频次较高。同时，从最早发文年份来看，高校对于数学变式的研究更早，有更加扎实的研究基础。

2.3 关键词分析

关键词是对文章的高度概括，它能反映一篇文章的主要内容。分别对文献关键词进行共现、聚类、突现3个方面的可视化分析，可揭示“中小学数学变式”这个领域的研究热点和研究导向。

2.3.1 关键词共现分析

依据所检索文献中出现的关键词以及不同关键词在一篇文献中共同出现产生的联系，基于CiteSpace的关键词共现分析，得到该领域关于主要关键词以及关键词之间相互联系的可视化的网络图谱。图谱共得到496个节点，622条连线，主要节点及连线如图3所示。

出现频次最高的20个关键词如表3所示，由高到低分别是：变式教学、数学教学、变式、数学、变式训练、初中数学、高中数学、培养、一题多变、数学概念、一题多解、教学、创新思维、核心素养、思维能力、发散思维、中学数学、小学数学、反思、创新意识。

关键词的中心性是量化关键词地位重要性的一个重要指标，一般来说，当关键词的中心性0.1时，可以将其视为核心关键词，表明这个关键词在该领域中处于比较重要的地位。通过数据分析发现，变式教学、数学教学、变式、数学、变式训练这5个关键词可视为核心关键词。

2.3.2 关键词聚类分析

在关键词共现分析的基础上，依据检索文献中关键词相互之间紧密联系的程度，基于CiteSpace的关键词聚类分析，得到该领域关于研究类块和结构特征的可视化的网络图谱，其中，每个聚类的标签是根据LLR（Log-likelihood Ratio）排序算法得出的排序最高的关键词，结果如图4所示。从聚类的结果中选择前12种聚类，分别是：#0变式训练、#1小学数学、#2变式教学、#3变式、#4数学教学、#5创新思维、#6一题多变、#7圆锥曲线、#8反思、#9数学、#10发散思维、#11学生自主。该图的参数聚类模块值（Q）=0.8365gt;0.3，说明关键词聚类结构显著，聚类平均轮廓值（S）=0.9589gt;0.7，说明聚类是令人信服的。所以，这12个聚类能够真实的反映该领域的主题分布情况。

2.3.3 研究热点分析

根据关键词共现和聚类以及相关文献的分析，对“中小学数学变式”领域的研究热点进行一定的归纳和总结。

1）以几何为内容的变式研究

几何领域的内容由于具有很强的抽象性，需要学生强大的空间想象能力，所以易成为教学难点。著名的上海青浦实验对于变式教学的研究也是来源于几何概念的教学。如果仅用标准图形进行教学，学生很难认识其本质，而通过一系列的变式图形可以将标准图形一般化，从而产生更好的学习效果，特别是对于复杂几何问题的解决效果尤为显著［6］。近些年对于几何领域的变式研究成果非常丰富，李健［7］以思维品质为落脚点，从情境、题型、解法和过程4个维度对教材中的一道立体几何问题进行了变式研究。朱建良［8］从一道几何作图题出发，对如何通过变式揭示作图的本质进行了研究。陈炳泉［9］通过将教材中的几道抛物线题目链接高考试题的方式，对教科书中题目的变式进行了研究。梁海艺和吴跃忠［10］从集合的观点出发，提出了一种颇有数学学科特点的几何变式问题的制作方法。

从学习几何概念来看，以几何为内容的变式应“加强联系，注重对比”。几何新概念应从学生已知的旧概念或已有经验变式而来，并且要注重几何概念和几何图形的对应与联系，对于概念和非概念示例、原型概念图形和非原型概念图形应注重比较。

从解决几何问题来看，以几何为内容的变式应立足教材，链接考题。教材和考题中的几何图形的变式应依图发挥，达到深度变式，培养学生的模型意识。对于简单的几何图形，通过“正向变式”增添或改变数学元素的方式，使简单图形走向复杂，使其变得更具数学味道和数学学习价值；对于复杂的几何图形，应该追根溯源，通过“逆向变式”将复杂图形一步步简单化、模型化，使变式的最终落脚点在基本图形或数学模型上；对于复杂程度一般的几何图形，通过双向变式，使变式既走向图形的“来路”，也走向图形的“去处”。通过变式学习，使学生形成对几何图形的模型化、结构化，进而提升学生解决新问题的能力。

从培养几何素养来看，以几何为内容的变式应兼顾可视化和操作化。可视化的几何变式是指通过试卷、课件、图片等直接向学生呈现可视化的变式内容。仅在这种几何变式下，学生只能被动地接受已有变式内容和变式经验。而操作化的几何变式强调学生自主探究变式的过程以及自我变式经验的获得。图形化交互资源整合了做的经验和看的经验，有利于学生几何内容的学习，同时也有利于培养学生的空间观念，提升学生的学习兴趣［11］。基于图形交互资源来展开几何变式，学生不仅能够获得直接的变式结果，而且能够体验整个变式过程，获得直接的变式经验，这样更有利于学生将几何知识和经验内化为潜在的几何素养。

2）以教学为载体的变式研究

变式教学是中小学数学变式研究的集中体现，且大多是围绕具体的数学问题来展开，例如：对一些教材的例题、习题的变式［12-14］，对典型的中高考题的变式［15-20］。对于数学问题的变式设计，要有利于形成一题多变、一题多解、多题一解，同时要注重对比性问题变式的设计［21］。

此外，在数学概念课中，通过运用正反两方面的变式，促进对数学概念的深度理解［22］；在拓展概念外延和构建概念体系的过程中，通过概念的变式，有利于牢固掌握概念，同时能够从“标准”和“非标准”两方面来理解概念［23］。在小学数学的概念课中，通过概念多元表征的变式，可以使学生深层次地理解概念的内涵和本质，同时促进学生抽象能力的发展［24］。从具体的数学内容出发，例如：以“基本不等式”为教学内容，设计变式情境、变式问题、解法变式、语言变式、图形变式等过程来展开变式教学［25］；以“概率与统计”为内容，从概念性变式、过程性变式、解题型变式3个角度来实施变式教学［26］。

变式教学可以理解为“变式的教”和“变式的学”两方面。当前的变式教学大多聚焦在“变式的教”，教师对中小学数学内容展开变式，在数学课堂中向学生呈现变式问题，学生再解决变式问题，通过教师“变式的教”，学生能够学会相关的变式内容。虽然变式教学的目的之一是要使学生学会具体的变式内容，但是学生变式思想的形成对于变式教学更为重要。变式思想的形成一定是在学生“变式的学”中潜移默化形成的，其有利于学生从“学变式”走向“会变式”。要想使学生在数学变式课堂教学中达到“变式的学”，“变式空间”的建立非常重要，“变式空间”是“变式的教”和“变式的学”中间的一个过渡区域，其为学生在变式教学中提供了思考变式的空间以及参与变式的机会，而教师是“变式空间”建立的主角，应学会为变式留白，这就需要教师注重教学法的变式以及具有变式留白特征的教学法的运用。

3）以思维为目的的变式研究

变式不仅是为了让学生更加熟练的掌握数学知识、技能和方法，更要促进学生思维能力的提升。过于标准的数学变式容易使学生的思维固化，而非标准的数学变式，能够发散学生的思维，摆脱固有思维的困境［27］。从不同的角度进行变式，可以促进思维整体性的发展。对问题情境、解题方法进行变式，能够有效提升学生的抽象思维和发散思维的能力［28］。对几何图形进行变式，在“变”中寻找“不变”的本质，促进形象思维的发展［29］。通过比较变式，促进逻辑思维能力的发展；通过正反变式，促进辩证思维能力的发展；通过递进变式，促进创新思维能力的发展［30］。

在当前大单元整体教学的背景下，中小学数学强调结构化课程内容和结构化数学思维。通过结构化课程内容的学习能够有效促进对学生结构化数学思维的培养，同时结构化数学思维的形成也有利于学生有结构地去理解数学知识。点状思维只停留在表面，很难深入到本质；线状思维只关注思维的纵向，不考虑横向联系［31］。这两种思维方式虽然能够使学生学会知识，但很难使学生达到对于知识的应用和迁移。而结构化思维是一种有序的网状思维，既从纵向深入到本质，又能从横向产生联系。在数学变式中需要通过形成结构化变式来培养学生的结构化思维。结构化变式需要形成有序的变式网，变式网的形成从纵向看需要有梯度，从横向看需要有维度，从整体看需要对变式进行结构化整合。

2.3.4 关键词突现分析

依据检索文献中关键词在某一时间段出现较大变化的情况，基于CiteSpace的关键词突现分析，得到该领域关于关键词拐点出现及其持续时间的可视化的图谱，如图5所示。该领域共出现11个突变强度较高的关键词，分别是：素质教育（4.25）、培养学生（3.24）、变式训练（3.14）、创新能力（3.37）、数学教学（3.97）、数学课堂（3.2）、课堂教学（4.11）、初中数学（9.46）、高中数学（9.29）、小学数学（4.33）、核心素养（9.38）。

2.3.5 研究导向分析

根据关键词突现及相关文献的分析，可知数学变式已经广泛地运用到中小学的数学课堂教学中，数学变式也从零散的变式训练向系统的变式教学转变，近20年数学变式有素质教育和核心素养2个导向。

1）以素质教育为导向的数学变式

2001年全国基础教育工作会议发布了《国务院关于基础教育改革与发展的决定》，明确提出了加快构建符合素质教育要求的基础教育课程体系。课堂教学是落实素质教育的主战场，而变式教学能够发展学生的

思维和能力，提高学生的综合素质，所以变式教学是实施素质教育的一个重要途径。同时创新能力的培养是素质教育必不可少的一部分，可以通过创设开放性的变式问题［32］，加强变式思维的训练［33］来培养学生的创新能力。

2）以核心素养为导向的数学变式

数学课程的基本理念指出“落实立德树人的根本任务，提升数学学科核心素养”。所以数学变式不能仅停留在知识的获得及技能的形成上，使学生的思维得到进阶，能力得到提升，促进学生核心素养的发展才是其真正意义所在。在实际的教育教学中，应该将发展数学学科核心素养做为数学变式的高阶目标［5］，变式应该成为核心素养视角下深度学习的重要环节［34］，同时核心素养背景下数学作业设计也需要注重变式［35］。

3 数学变式研究的特征与走向

3.1 研究的特征

3.1.1 研究内容从单一到丰富

变式在数学教学中的系统研究与运用首先出现在对数学几何概念的教学中，顾泠沅提出了概念性变式和过程性变式，概念性变式又可分为概念变式和非概念变式，通过概念性变式，使学生能够从多角度理解概念，从而深入的理解到概念的本质。过程性变式能够为学生提供概念形成的动态过程，有利于学生对知识的建构和活动经验的积累，进而有利于知识的运用和迁移。变式对于我国数学教育具有独特的优势，对它的研究也从理论层面逐渐走向实践层面，同时研究内容的广度也在不断的提升，不仅涉及了函数、代数、几何和概率统计等课程内容领域，对于初高中数学竞赛的变式研究与推广也更加深入与广泛。并且有学者从数学课型的视角，提出了不同课型的变式教学的基本范式［36］。所以，数学变式的研究内容从单一的几何概念变式，逐渐走向丰富的多领域、多课型的多元变式。

3.1.2 研究载体从解题到教学

数学变式经历了从变式训练向变式教学的转变。变式训练是一种解题训练方式，强调从怎样解题出发来展开变式，通过编制变式题组，使形成一题多解、多题一解等，但是机械的变式训练容易造成新的题海战术。而变式教学是一种教学方法，重在将数学变式融入到数学教学过程中。变式教学不仅可以丰富课堂教学，为课堂教学添彩增色［37］，而且有利于学生建立起对数学概念的多角度理解，增长数学活动经验，实现知识的融会贯通［38］。

3.1.3 研究目的从熟练做题到培养思维

以往强调通过变式训练培养学生解决问题的技能和技巧，使学生把握问题的本质，学到解题的通性通法，达到熟练做题的程度。但是这种传统的变式训练仅仅使学生的认知水平停留在操作与识别层面，未能达到数学思想的高度［39］。变式教学是从问题的本质特点出发，从不同的角度和方向抓住事物的特殊属性，进而概括出事物一般属性的思维方式的教学方法［40］。变式教学能够激发学生思维的活力，使学生把握思维的本质，理清思维的脉络，进而培养学生良好的思维品质［6］，同时巧妙的变式教学设计能够促进学生高效思维的自动化［41］。从不同的变式类型看，概念性变式有助于思维技能的准确把握，过程性变式是促进思维在不同情境间应用和迁移的有效手段［41］。

3.1.4 研究导向从素质教育到核心素养

素质教育是针对应试教育的弊端而提出的以提高国民素质为根本宗旨的教育，有利于培养人的创新精神和实践能力，促进人的全面发展。但是素质教育在实践的过程中还存在诸多的难题［42］，这严重制约着素质教育的全面发展。而核心素养是对素质教育的继承和超越，它更加重视对新时代人的素养的培养，更有利于全面把握人的素质结构［43］。所以，以核心素养为导向的数学变式研究更加具有时代特点，更有助于克服应试教育的弊端，促进素质教育的全面发展与实施，同时也更有助于落实核心素养，促进学生的全面发展。

3.2 研究的走向

3.2.1 加强主体合作，构建研究共同体

从研究主体看，该领域研究机构和人员之间的联系大多比较分散，相互之间的合作还有待加强，中小学一线数学教师应成为研究主力。事实上，由于数学学科的抽象性、应用性等特征，中小学一线教师长期与数学变式打交道，积累了丰富的数学变式及其教学经验。通过将一线中小学数学教师纳入研究共同体，将他们的经验聚沙为塔，进而上升为具有广泛实用性的模式、策略，这将极大地推动中国数学变式研究走向世界。

3.2.2 立足课堂教学，满足学生需要

随着数学课程改革的逐步深入，那种“头痛医头，脚痛医脚”的昙花一现的研究形式已经行不通了，数学变式研究的持续性和深度需要进一步提高。课堂教学是数学变式研究的主阵地，学生需要是数学变式研究的内驱力，只有立足课堂教学、针对学生需要的数学变式研究才具有生命力，才能够具有持续性，达到一定深度。

3.2.3 深挖研究问题，凸显数学本质

从研究热点和趋势看，中小学数学变式主要是以变式教学的方式来呈现，并且变式教学大多是从对问题的变式出发来展开的，同时也包括一些基本课型和具体教学内容的变式研究。但是当前的变式教学还存在诸多不足，这些不足应成为变式研究的问题。一是变式源选取的意义和价值不大。真正有价值的变式源需要蕴含着丰富的数学思想、方法和原理，一定要有利于学生数学思维的提升和数学能力的发展，同时也一定要有利于数学学科核心素养的落实。二是过于追求变式的数量和难度。这就导致变式问题“散、难、多”，进而使课堂目标不聚焦，同时忽视了学生的基本学情，使整个课堂效率低下，不利于多维课堂目标的整体达成。三是在变式教学课堂中学生的主体性需要加强。教师对问题进行变式、学生再解答变式问题的教学模式已不能完全满足实际的教学需要。学生只能知道问题“到哪里去”，很难了解到问题“从哪里来”，这实际上是形成了新的题海。学生的思维也被老师牵着鼻子走，这不利于学生持续性、整体性的发展。同时要从“双基”发展为“四基”，学生的变式经验是基本活动经验必不可少的一部分。

3.2.4 优化变式教学研究，发展核心素养

一要注重变式教学的针对性研究。所谓的针对性，是指变式教学需要对教学目标聚焦，并且针对教学目标进行有目的的阶梯式变式，从而实现目标的逐步达成。二要注重变式教学的整体性研究。所谓的整体性，是指变式教学需要预先的整体设计和规划，由不同类型的数学变式，不仅促进学生对知识、技能和方法的深入理解，更要有利于学生思维整体性的发展。三要注重变式教学的生主性研究。所谓的生主性，是指学生不仅要成为“解题”的主体，也应成为“变题”的主体，让学生自主去发现并提出变式问题，培养学生发现问题和提出问题的能力，学生自主提问的过程也是学生深入思考的过程，在这个过程中学生能够明白变式的来龙去脉，抓住变式的本质，同时学生变式的过程也是学生思维外化的过程，这将有利于教师充分了解学生，进而更好的对课堂进行宏观调控和微观调整。四要注重变式教学的高阶性研究。所谓的高阶性，是指通过变式教学使学生达到高阶学习，培养学生的高阶思维，从布卢姆教育目标分类学来看，培养高阶思维就是要使学生的数学学习不仅限于达到记忆、理解、应用的低阶水平维度，而需要更进一步达到分析、评价、创造的高阶水平维度。同时高阶的变式教学需要将促进学生数学学科核心素养的发展作为变式教学的高阶目标。

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Changes of Chinese “Mathematical Variation” Researchin the Past Two Decades：An Analysis Based on Visual Data

LUO Ke-yu，TANG Qiang

（School of Mathematics and Information，China West Normal University，Nanchong Sichuan 637009，China）

Abstract：Variation and its teaching are one of the characteristics of Chinese mathematics education and teaching.Taking the mathematical variation of primary and secondary schools as the theme，this paper visually analyzes the research subjects，hot spots and trends in this subject field from the perspective of authors，institutions and keywords，based on the database of China National Knowledge Infrastructure （CNKI） and with the help of the software Citespace.In terms of research subjects，the connection between research institutions and researchers is relatively loose，so it is necessary to strengthen the cooperation of subjects and build a research community.In the aspects of research hotspots and trends，the mathematical variation of primary and secondary schools takes geometry as its main content，teaching as its carrier，and the improvement of students’ thinking as its purpose.The research content is multi-field and multi-class，so it is necessary to rely on classroom teaching to meet the needs of students.At the same time，it is essential to dig deep into research problems and highlight the essence of mathematics.In addition，the core quality-oriented variation teaching is a major trend of research，and it is a must to strengthen the optimization of variation （teaching） research and development of core literacy.

Keywords：mathematical variation；CiteSpace；literature review；visualization map；primary and secondary schools