数学核心素养下“椭圆及其标准方程”的教学设计

数学课程目标集中体现在数学核心素养上，教师在教学时必须遵循课程标准要求，注重发展学生数学抽象等一系列核心素养，将数学核心素养相互联系、相互融合，成为一体化的组成部分.同时，在教学中不但要教授学生知识，还要培养学生的数学核心素养，帮助学生对世界以及人生形成正确的认识观念.

1 数学核心素养的培养原则

（1）培养学生数学抽象能力的原则

当学生缺乏数学抽象能力时，便会觉得数学很难，因此应加强对学生数学抽象能力的培养.而传统教学中，教师往往只告诉学生抽象出的结论，并不会让学生参与结论得来的过程，往往导致学生机械记忆.所以，教师应发挥其主导作用，由“灌输式”教学转变为“体验式”教学，让学生在教学中经历数学抽象过程，培养数学抽象能力.

（2）培养学生逻辑推理能力的原则

思考人类历史上的所有创新和发现，可以得知它们与归纳都有一定的关系.在数学教学中，教师应广泛地使用类比，在类比中引入人类重要的发明成果及逻辑推理中的数学关系，同时，逻辑推理能力的培养要求学生大胆地发现和提出问题，教师要让学生学会思考，了解逻辑推理的基本形式和推理规则，建立理论体系，并解决数学和生活问题.

（3）培养学生数学建模能力的原则

学生须自行发现并提问，运用脑海中已有的知识来构建模型、解决模型、测试结果和改进模型.通过数学建模，学生可以发展实际动手能力，理解知识，应用知识，将理论与实践结合起来.真切地感受到数学来自于生活，并又回归到生活中.

（4）培养学生直观想象能力的原则

对学生直观想象能力的培养需要通过实践.例如，在平面几何和立体几何的课堂教学方面，鼓励学生先自己建立模型，然后展示图形，并在探究中对几何图形有所了解，这样能避免教师的生硬传授.与此同时，学生要注意日常生活中的观察，多在脑海中塑造一些视觉模型，领略数学曲线之美.另外，也可以将数字和图形结合起来培养学生的想象力.

（5）培养学生数学运算能力的原则

这要求学生在运算的过程中理解算理并会设计算法.目前，许多大型数据的处理方案都运用到算法，识别这些运算所需的的能力很高.因此必须加强对学生数学运算能力的培养，这是时代的需要，也符合历史发展的要求.

（6）培养学生数据分析能力的原则

这要求学生有能力获取数据，分析数据并建立知识之间的联系.目前，我们生活在一个信息多样化的时代，它要求人类有能力处理信息和数据，以便使计算机技术更好地为人类服务.在教学过程中，教师应多引导学生专注于数据收集、整理和分类，进而提高学生的数据分析能力.

基于此，在数学核心素养的框架下，深入研讨数学课程标准，实现发展核心素养的目标.下面以“椭圆及其标准方程”为例进行探索，创设有利于培养学生核心素养的学习过程.

2 “椭圆及其标准方程”教学设计

2.1 教学目标

（1）用平面截取圆锥时，通过平面与圆锥的轴所成的不同角，能够认识到平面截圆锥可以得到圆、双曲线、椭圆和抛物线几种不同曲线.

（2）能认识椭圆上点的几何特征，通过动手操作绘制椭圆，给出椭圆的定义，并可以利用定义解决一些简单的问题，发展数学抽象核心素养.

（3）能够建立坐标系，并依据椭圆上的点满足的几何条件列出点的坐标满足的方程，化简所列出的方程，从而得到椭圆的标准方程，发展数学运算、直观想象素养.

2.2 教学重难点

教学重点：明确椭圆的定义、几何特征，并抽象出椭圆的标准方程.

教学难点：推导椭圆标准方程的过程.

2.3 教学过程

（1）问题引入、明确思路

结合以前所学知识，我们知道当用一个平面（垂直于圆锥的轴）去截圆锥时，得到的截口曲线是一个圆.大家思考一下，当改变圆锥的轴与平面所成的角时又会得到什么样的截口曲线呢？

师生活动：教师用几何软件展示（如图1）并讲授.用一个平面（不垂直于圆锥的轴）截圆锥时，学生通过观察不难发现可以得到不同的截口曲线，并且改变圆锥的轴与截面所成的角时，可以得到椭圆、抛物线、双曲线，它们统称为圆锥曲线.

问题1 类比已学过的直线和圆的方程的研究过程，思考我们接下来应怎样研究圆锥曲线呢？

师生活动：学生们自行思考或者与前后桌、小组同学交流，明确圆锥曲线的整个研究思路.

设计意图：通过教师用平面截圆锥的过程展示，学生可以认识到圆和圆锥曲线具有一些相关联的性质，进一步培养学生的直观想象核心素养.

（2）创设情境、构建定义

问题2 接下来先研究圆锥曲线中的椭圆.请大家探究以下问题：

选取一条长度确定的绳子，将它的两端固定在同一点，移动笔尖，这时笔尖可以看成是动点，它所形成的轨迹是一个圆.如果将绳子的两端拉开一定的距离（如图2所示），再移动笔尖，又会得到什么样的轨迹曲线？

师生活动：在探究过程中学生画图，教师观察学生整个画图过程并予以指导.

设计意图：这个“探究”非常容易实施.通过探索活动，学生可以亲历椭圆的形成过程.整个探究都侧重于椭圆的共同特性，强调在相同背景下获得不同的圆锥曲线，这些曲线对学生认识椭圆的几何要素非常有帮助，并为进一步探究椭圆的定义打下坚实基础.

追问1：在整个移动过程中，对于笔尖（动点）而言，需要满足什么样的几何条件？由此你能得知椭圆的几何要素是什么吗？

师生活动：教师带领学生进行探究，将固定的点F1，F2与“选一条长度确定的绳子”联系起来.通过分析可以得出，当笔尖（动点）到两定点F1，F2的距离变化时，但距离的和一直保持不变，都等于选取绳子的长度.因此得出椭圆的几何要素有：两个定点F1，F2，动点到F1，F2的距离之和为常数.

追问2：你能根据刚才探索得到的椭圆几何要素归纳出椭圆的精确定义吗？

师生活动：在交流中可能有学生会给出“与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆”的定义.此时教师可以不断地改变F1与F2之间的距离，让学生画出轨迹并观察曲线形状的变化.学生不难发现，所画出的椭圆受“常数”与|F1F2|大小关系的影响，所以在定义中需要加上限定条件“常数大于|F1F2|”，从而给出椭圆的准确定义，同时给出椭圆的焦点等其他相关概念.

设计意图：在操作过程中，通过问题引导学生观察、讨论，并在探究过程中抽象出椭圆概念，培养学生思维的严谨性，提高数学抽象素养能力.

（3）正确建系、探索方程

问题3 明确了椭圆的定义，下面来探究椭圆的标准方程.同学们可以通过观察椭圆的形状，思考如何建立能够使椭圆方程形式更加简洁的坐标系？

师生活动：通过师生、生生讨论得出椭圆为对称图形.因此，可以把x轴看作是两个焦点F1，F2 所在的直线，y轴是线段F1F2的垂直平分线所在的直线，建立平面直角坐标系xOy，此时的原点是椭圆的对称中心，如图3所示.观察可得，椭圆的方程应该与x2+y2=a2（圆的方程）非常相似.

追问1：接下来怎样得出椭圆的方程呢？大家可以根据以前学习直线与圆的方程的经验，思考一下.

师生活动 ：师生回顾以往直线、圆的方程的建立过程，让学生先独立完成椭圆方程的推导.在这一过程中，教师可以通过问题来引导学生思考推导过程是否有简化的方法.

设计意图：通过问题，引领学生思考每一步代数变形式所代表的数学意义，在精确得出椭圆标准方程的同时，又能深刻理解椭圆的性质，提高数学运算能力和数学建模能力.

设计意图：加深对椭圆及其标准方程的认识，通过师生探究，进一步提升学生数据分析能力，可以为其他圆锥曲线的学习积累经验.引导学生从具体到抽象思考问题，培养发现问题的能力.

（5）反思小结、构建网络

在本堂课的教学中，对椭圆定义及其标准方程的探究是在课标的基础之上有机整合教材，进行启发式教学，从而使教学环节自然、环环相扣.同时，教学设计建立在学生已有认知水平的基础之上，符合学生的认知水平，注重“教”向“学”的转移，发挥学生的主动性，让学生在学习过程中进行讨论交流，共同成长.

总之，提升学生对核心素养的认识是非常有必要的，基于此，高中数学的教学应贯彻核心素养理念，在课堂教学中促使数学核心素养的培养落地生根.本文中通过对椭圆及其标准方程进行教学设计，借助“以形助数”或“以数解形”，促使学生充分认识和表达自己的思考过程，真正能够理解所学知识，并不断提升数学能力和素养，这样的课堂教学效果应是我们想要追寻的.