2020-2022年高考数学“三角函数”试题分析

1 研究设计

1.1 研究对象

本文中选取了2020—2022年全国数学新高考Ⅰ、Ⅱ卷6套试卷中“三角函数”内容涉及的试题，其中Ⅰ卷中涉及8道试题，Ⅱ卷中涉及6道试题.

1.2 研究工具

（1）综合难度模型

随着教育改革的推进，我国高考试卷呈现出从多样化发展到统一化回归的趋势.高考试卷受到了众多学者的关注，而试卷的难度是其中最受关注的问题之一.分析试卷难度的最重要工具就是综合难度系数模型，本文所用研究工具就是综合难度模型.2002年，鲍建生提出了影响数学试题综合难度的五个因素：背景因素、知识含量、运算水平、推理能力、认知水平.在此基础上，武小鹏等人对其进行了调整，增加了是否含参、思维方式两个因素.本文中根据武小鹏等人划分的试题难度因素形成新高考数学试题综合难度分析框架，如表1所示.

试题分析：由解题过程可以看出，此题中仅以纯数学知识为背景，故为无背景，编码为A1；该题未涉及字母因素，所以属于无参数，编码为B1；该题的运算涉及关系复杂的逻辑演绎，故为复杂数值运算，编码为C2；该题涉及到复杂关系的解析，故为复杂推理，编码为D2；该试题涉及到三角函数的二倍角公式、诱导公式等，有3个以上的知识点，编码为E3；思维方式上，对于各个知识点都是直接应用，属于顺向思维，故编码为F1；在认知水平方面，需要将二倍角公式、和差角公式等知识点运用到实际问题中，属于运用水平，编码为G2.

根据表1中的编码，对2020—2022年高考数学全国新高考Ⅰ、Ⅱ卷中“三角函数”内容涉及的试题进行编码、分析、计算，进一步得到表2.

2 研究结果

根据表1以及表2，对2020—2022年新高考Ⅰ，Ⅱ卷中试题进行难度分析，具体结果如图1所示.

（1）背景因素

这6套试卷中的“三角函数”试题较统一，都属于无背景因素，既未涉及实际生活背景，也未涉及其他学科，仅针对数学学科知识本身展开，只单纯地考查了数学知识本身.背景因素难度集中在A1，表明新高考“三角函数”试题主要以无背景为主.

（2）是否含参

是否含参是指试题中是否出现参数，问题是仅存在静态数据运算还是需要对参数进行分析、处于动态变化之中.从图1可以看出，新高考Ⅰ卷在是否含参方面2021年难度最低，2020年和2022年的难度持平；新高考Ⅱ卷2022年试题难度高于2021年，但低于2020年.由此可见，2022年不管是Ⅰ卷还是Ⅱ卷的难度都较2021年有所上升.横向对比发现，新高考Ⅰ卷要难于新高考Ⅱ卷.

（3）运算水平

从图1可以看出，2020年、2021年不管是新高考Ⅰ卷还是Ⅱ卷难度均相同，难度均低于2022年高考试题，2021年仅考查了一道三角函数的试题，属于复杂数值运算.整体来看，新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷都较少考查复杂符号运算，主要以数值运算为主，并且对学生运算能力的要求不是很高.

（4）推理能力

在推理能力方面，从图1可以看出，2021年和2022年新高考Ⅰ卷难度相同，均高于2020年新高考Ⅰ卷的难度.2020年新高考Ⅱ卷难度最低，2021年难度最大，2022年难度居中，稍易于2021年试题.整体对比来看，新高考Ⅱ卷在推理能力方面要略高于新高考Ⅰ卷.

（5）知识含量

在知识含量方面，2020年新高考Ⅰ卷知识含量难度最低，低于2021年新高考Ⅰ卷难度，2021年试题难度低于2022年试题难度，试题难度呈历年递增趋势；2020年新高考Ⅱ卷难度和Ⅰ卷难度相同，因为这两套试卷是一样的，2021年新高考Ⅱ卷难度高于2020年难度，高于2022年难度，仍是2020年难度最低.

三角函数试题的知识含量具有综合性，全国新高考Ⅰ、Ⅱ卷中多知识点试题都较多，有时会与向量、函数的奇偶性、单调性等知识联系起来，这也提高了对推理水平和运算水平的要求，知识的运用也更加灵活，需要学生更深入的学习.

（6）思维方式

从图1可知，2021年新高考Ⅰ卷难于2020年、2022年新高考Ⅰ卷，涉及到逆向思维，2020年和2022年新高考Ⅰ卷均为顺序思维.2020年新高考Ⅱ卷未涉及逆向思维，难度最低；2021年涉及逆向思维的试题最多，难度最高；2022年新高考Ⅱ卷难度低于2021年，高于2020年新高考Ⅱ卷难度.整体来看，新高考Ⅱ卷思维方式方面难于新高考Ⅰ卷.

这6套试卷考查逆向思维的都较少，大多数试题都是顺向思维，对学生的思维要求不是很高.学生只要掌握公式内容，利用公式进行边角之间的关系推理，就能得到试题结果.虽较少考查逆向思维，但有时也存在逆向思维试题，学生想要拿到高分，需锻炼自己的数学思维能力.

（7）认知水平

在认知水平方式方面，2020年新高考Ⅰ卷和2021年新高考Ⅰ卷难度相同，均低于2022年新高考Ⅰ卷；2021年新高考Ⅱ卷和2022年新高考Ⅱ卷难度相同，均高于2020年新高考Ⅱ卷.大多数试题只需要理解和运用就可以解决，少部分试题需要分析，困难程度并不是很高.

（8）综合难度分析

为了进一步探索2020—2022年高考数学全国新高考Ⅰ、Ⅱ卷中“三角函数”试题综合难度的主要因素，本文中对各因素的综合难度系数进行了数值平均，得到了试题的平均难度系数Xd，如表3所示.根据表3，又绘制了试题综合难度系数雷达图，如图2所示.

从试卷综合难度来看，关于“三角函数”试题，新高考Ⅰ、Ⅱ卷难度基本保持一致，只在是否含参方面差异较大，这说明我国高考试卷命题在综合难度上的标准较为一致.相对来说，针对“三角函数”试题，新高考Ⅱ卷要稍难于新高考Ⅰ卷，平均难度系数上高了0.02，但这只是一个理论难度，不同学生可能会存在不同的表现.

全国新高考Ⅰ、Ⅱ卷中\"三角函数\"试题难度具有相似性，通过观察图2的雷达图，除了是否含参方面差异较大，其余试题难度都基本相似.试题基本都是难题少，简单题相对较多，这6套试卷在各个难度因素分布情况大致相同，难度适宜.

3 教学建议

全国新高考Ⅰ、Ⅱ卷中“三角函数”试题难度具有相似性，通过观察图2中的雷达图，除了是否含参方面差异较大，其余方面难度都基本相似，雷达图的六边形形状比较相似.试题难度基本都是难题少，简单题相对较多，这六套试卷在各个难度因素分布情况大致相同，难度适宜.

试卷难度是反应试卷质量的非常重要的因素，适中的难度可以有效区分考生的能力，难度过高或过低都会影响试卷的区分度.笔者结合上述分析提出以下几点建议：

（1）在思维方式方面，应增加对学生逆向思维的考查.根据上述分析可知，2020-2022年全国新高考Ⅰ、Ⅱ卷的考查都是以顺向思维为主，逆向思维几乎很少考查.数学思维是个体思考问题和解决问题的一种思维方式，逆向思维就是与常规正向思维方向相反的思维过程，常表现为执果索因的推理顺序.故应多设置逆向思维试题，以增强学生的数学思维能力.

（2）增强试题背景因素的丰富性.2020-2022年新高考数学Ⅰ、Ⅱ卷都是无背景，未与实际生活背景或其他学科联系起来，应增强试题背景因素的丰富性，避免某一背景因素的缺失.

（3）应避免某一难度指标的过大变化，以维持试卷整体综合难度的稳定性，避免过难或过易.高考试题是面向所有考生的，所以应该难度适中，基本稳定试卷综合难度，避免出现较大偏差.