情境巧创设，概念妙凸现

1 教学分析

1.1 教材地位

“直线的倾斜角与斜率”是《普通高中教科书＼5数学＼5选择性必修第一册》（人教A版）第二章“直线和圆的方程”中“2.1直线的倾斜角与斜率”的第一小节内容，是平面解析几何的开篇之作，也是后续内容学习的基础.

1.2 学情分析

由于学生首次接触解析几何内容，对其研究方法感到很陌生，因此采用启发、引导、发现探究式教学法.设置小梯度，大密度的问题串，通过引导，启发学生逐一解决，循序渐进，使学生很自然、很容易达到本节课的学习目标，掌握平面解析几何的学习方法.通过几何画板软件的动态演示，激发学生对数学的学习兴趣和求知欲.

1.3 学习目标

（1）初步了解解析几何的产生及其意义，认识坐标法思想.

（2）体验直线的倾斜角和斜率所对应概念的抽象与形成过程，理解相应的概念.

（3）通过对直线斜率公式的推导，掌握直线的斜率公式，并会简单应用.

2 教学过程

2.1 情境引入，设问启思

问题1 我们学习过了函数图象，知道函数图象是函数的一种表示形式.若从集合的视角来看，函数的图象是由什么作为基本元素构成的集合呢？（可以选择性地结合实例中的函数图象加以分析，这里略.）

问题2 在平面直角坐标系xOy中，是如何表示点的？

师生活动：教师结合实例中的函数图象进行分析，并提问.学生回答，教师总结完善.

设计意图：通过回顾直角坐标系中最熟悉的内容——函数图象，引导学生理解坐标系中的图形都可以看成是点的集合.同时回顾如何在直角坐标系中确定一个点，向学生讲解直角坐标系的一个重要作用——它是一种定位工具.

问题3 在初中，我们是如何确定一条直线的？

问题4 初中我们学习过两点可以确定一条直线，那么这两个点的坐标能否反映直线的几何特征？用这两个点能否表示这条直线呢？

教师举例：已知直线经过A（1，2），B（-3，5），那么我们能知道该直线的什么特征？

设计意图：通过回顾两点确定一条直线，引导学生了解由两点坐标不能发现直线的几何特征，因此要刻画直线就需要找到确定直线的几何要素.

2.2 推陈出新，构建新知

问题5 我们一起从一个点出发，研究确定直线的几何特征.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P.那么：

（1）直线l的位置能确定吗？

（2）过点P的直线有多少条？

（3）问题（2）中所指的直线有什么区别？

（4）如果已知直线l经过点P，那么再加上什么样的几何条件，就能确定一条直线？

预设答案：（1）不能；（2）无数条；（3）倾斜角不同；（4）另一个点或直线的方向.

设计意图：通过几何画板的演示，帮助学生了解经过同一点的直线可以用直线的方向来区分，借此可引入直线的方向作为直线的几何要素.

教师展示：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴的正向与l向上方向之间的夹角α叫做直线的倾斜角.

设计意图：通过欧式几何用角度刻画两条直线的位置关系，引入角度来刻画直线的方向，从而得到了直线倾斜角的定义.同时类比任意角的定义，引导学生体会数学教材对倾斜角定义的简洁性与统一性.

教师强调倾斜角的范围.一条直线的倾斜角α的取值范围是0≤αlt;π.规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.

设计意图：引导学生在自主探索中进一步体会直线倾斜角的定义.在教学中，让学生结合直角坐标系探究特殊直线的倾斜角，强化学生对倾斜角范围的认识.

问题6 任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其对应的倾斜角一定不相同吗？

预设答案：都有；可以相同，可以不同.

设计意图：进一步强化概念与应用.由直线的倾斜角定义可知，任何一条直线都有对应的倾斜角；不同的直线其对应的倾斜角有可能相同，如相互平行的直线，其对应的倾斜角就是相同的.

2.3 构建模型，深化概念

问题7 我们知道，两点可以确定一条直线，那么这两个点的坐标与该直线的倾斜角之间存在怎样的关系呢？

教师活动：利用几何画板，画出两个点，并作出过两点的直线，以及对应直线的倾斜角.（对两点位置的多种情况加以数形直观.）

设计意图：通过数形直观以及对应的问题，逐步引导学生用直线上两点的坐标刻画直线的倾斜角.整个探究过程从具体到抽象，从特殊到一般，教师结合向量方法，引导学生得出直线的斜率公式，以此培养学生的严密逻辑性与分类讨论能力.

师生活动：学生在观察与分析中能发现斜率公式对垂直于x轴的直线不适用，其他都适用；并能在讨论交谈中认识到该公式是通过点的坐标刻画倾斜角，也就是直线的方向.这正是我们最希望得到的一个量——用点的坐标表示直线的方向，从而引出斜率的定义.

（2）请说一说，如何计算斜坡的坡度？

（3）斜坡的坡度与直线斜率的定义有什么联系和区别？

设计意图：与坡度的计算方法相比较，让学生理解这两种方法的差异，体会数学自身逻辑表达的完备性，感受数学内部的力量.

问题9 通过以上学习，你能发现一条直线的倾斜角α与其斜率k之间存在哪种关系吗？请填写表1.（表1中的第2和第3列留给学生自己填.）

设计意图：正确区分直线的倾斜角与斜率之间的联系与区别，进一步准确理解与掌握对应的概念，并为进一步的应用奠定基础.

2.4 新知应用，巩固内化

例1 判断下列说法是否正确：

①平面直角坐标系内的任意一条直线都有对应的斜率；

②一条直线的倾斜角越大，其对应的斜率也越大；

③若k是直线的斜率，那么k∈R；

④若一条直线的斜率存在，则一定有唯一确定的倾斜角与之对应；

⑤若一条直线的倾斜角存在，那么一定有唯一确定的斜率与之对应.

设计意图：辨析直线倾斜角与斜率的关系，加强对“直线的倾斜角为90°时，该直线的斜率不存在”的理解.

例2 （课本第54页例1）已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线AB，AC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

师生活动：由学生自己完成.请一位学生板书解答过程，然后教师点评.

设计意图：学生通过两点坐标计算直线的斜率，以及由斜率的大小判断倾斜角的范围，进一步强化对公式的记忆，加深对倾斜角与斜率关系的理解.

例3 己知点A（0，-1），B（-1，0），C（1，0），过点A的直线与线段BC相交，求直线倾斜角α与斜率k的取值范围.

师生活动：教师利用几何画板引导学生思考，并加以合理完善与求解.

设计意图：在例题教学中渗透数形结合的数学方法，让学生体会“数”与“形”的完美结合.

2.5 课堂小结，框架构建

问题10 通过本节“直线的倾斜角与斜率”的学习，你学到了哪些基本知识？尝试加以回忆与叙述.

问题11 通过本小节“倾斜角与斜率”的学习，你主要学到了哪些基本的数学思想方法？

预设答案：分类讨论思想以及数形结合思想等.

师生活动：教师提出问题，先由学生梳理，其他同学补充，师生再一起整理出本节课研究问题的基本流程框架.教师再结合研究思路，总结本节课蕴含的主要思想方法.

设计意图：通过对本节课所学知识，特别是研究过程的梳理，培养学生反思与整理的意识和习惯，让学生了解解析几何的起源与坐标法思想，对倾斜角、斜率两个概念的发现、探究的过程与方法有清晰的认识.

问题12 如何构建本节课的知识网络或思维导图？

预设答案如图2所示：

设计意图：总结本节课重点内容，深化数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养，让学生从数学思想方法层面体会本节课的学习内容及简单应用.

3 教学反思

3.1 设计理念，落实素养

新课程评价关注学生的全面发展以及数学核心素养的落实，不仅仅关注学生的知识和技能的获得情况，更关注学生学习的过程、思想方法的渗透以及相应的育人价值.所以本节课教学设计的定位是：从两点确定一条直线入手，明晰直线的几何要素，然后引入倾斜角以及斜率，最终回归到图形，从而实现了解析几何中数形结合以及坐标法的渗透.

3.2 合理优化，细节完善

本节课不足之处在于教师提问较多，学生思考需要时间，很容易导致课程内容完成不了.另外，从学生学习角度来看，本节课内容比较多且琐碎，如果教师讲解不够深入，不能够给学生充分的思考时间，或者是没有利用课堂小结对探究直线倾斜角、斜率的方法及时总结的话，学生很容易出现知识碎片化，不能把知识串联起来.