大单元背景下简单随机抽样的教学

摘要：本文中以大单元开展教学设计，采用问题导学模式推动课堂，使得数学抽象与逻辑推理素养得以落实.

关键词：简单随机抽样；大单元；问题导学

为推进广西普通高中数学学科课程基地建设，笔者在教研组的支持下，以建构大单元为愿景，在充分研读《普通高中教科书＼5数学＼5必修＼5第二册》（人教版）第九章“统计”内容后，依据课程标准，设计此课例，以落实核心素养、立德树人为课程目标.

1 单元解析

数据收集是统计的重要一环.本单元引导学生在明确调查目的的基础上，掌握并且学会合理选择数据收集的方法.一个大单元应以知识逻辑为主线设计为5～10课时[1].本单元的安排如表1所示.

2 学情分析

在初中阶段，学生学习了全面调查和抽样调查的概念，能对比出各自的优缺点.但是，如何选择有代表性的样本？如何保证每个个体被抽中的概率相等？如何选择合适的抽样方法？这些都是学生亟需了解的问题.

3 核心素养培育和课时目标

本节课重点培育数学抽象、逻辑推理核心素养.学生需经历完整的探究活动并且从中抽象出放回与不放回简单随机抽样的概念.本节课发展学生逻辑推理素养的环节有：比较不同抽样方式——放回与不放回的异同点，在真实情境下选择恰当的调查方式来收集数据，等等.

本课有如下两个课时目标：

（1）经历利用简单随机抽样解决实际问题的过程，概括两种简单随机抽样的定义，比较放回与不放回简单随机抽样的优缺点，发展数学抽象、逻辑推理核心素养；

（2）会用简单随机抽样解决简单实际问题，比较抽签法与随机数法的优缺点，体会样本代表性、样本量对缩小误差的意义，发展逻辑推理素养.

4 教学重难点

本节课的教学重点：

（1）能自我抽象概括出简单随机抽样的概念；

（2）能分析对比出放回与不放回简单随机抽样的优缺点；

（3）掌握抽签法和随机数法的基本步骤.

教学难点：在真实情境中，能运用简单随机抽样进行抽样.

5 本节课教学支持条件分析

在随机实验1中，教师组织学习小组对罐中蓝糖个数进行探究，并填写调查报告，进行展示.

教师准备好纸、笔和不透明的罐子，为学生归纳抽签法的步骤做好条件支持；而在随机数法教学中，教师运用Excel生成随机数.

6 本节课教学设计

6.1 新课引入

数据统计的一般流程是从实际问题出发，经历收集、整理、描述、分析数据后得出结论，指导现实，做出决策.这也是本章的学习思路.今天我们把目光放到收集数据上，来看下面两个经典案例.

案例1 全国第七次人口普查于2020年11月1日正式开始，历时半年调查结束.与2010年第六次普查比，我国少儿人口比重回升，生育政策调整取得了积极成效.同时，人口老龄化程度进一步加深，未来还将持续面临人口长期均衡发展的压力.

案例2 中国农业部每年都会进行生鲜乳抽检，数据显示2015年至今，国内生鲜乳蛋白质逐年升高（蛋白质含量≥3.3%），产业发展越来越好.

引导学生回顾全面调查与抽样调查的概念，并思考问题1.

问题1 为什么要采用抽样调查收集收据呢？

学生概括得出抽样调查的优点：（1）花费少、效率高；（2）可用于有破坏性的检查.抽样调查是基于样本估计总体，但样本与总体间有一定的误差.

设计意图：通过典型案例——全国第七次人口普查与生鲜乳蛋白抽检，帮助学生回顾抽样调查与全面调查的概念，并借助问题1的回答，让学生弄清楚抽样调查的特点、现实意义以及其适用范围.

问题2 如何降低误差，让抽取的样本能够较准确地反映出总体的情况呢？

检测生鲜乳蛋白质含量的过程或许能给我们启发.第一步将罐装生牛乳摇匀，第二步取样本30 ml倒入烧杯，第三步是用凯氏定氮法测蛋白含量.为什么要摇匀呢？

设计意图：对案例2进行延伸，科普我国食品卫生标准中生鲜乳蛋白质含量监测的基本步骤，渗透抽样“摇匀”的思想，为实验1做足认知准备.

6.2 概念形成

随机实验1 罐中有橙糖和蓝糖共50个.除颜色外，大小、质地完全相同.请8～9人组成学习小组，合作进行抽样调查，填写好调查报告，估计出罐中蓝糖个数并回答下列问题.

问题3

（1）如何抽取样本？

（2）每次抽取时每个个体被抽取的概率是否相等？如何保证？

（3）如何估算出蓝糖的个数？

教师选择两个小组进行展示，在展示的过程中，教师适时提问：为什么选择样本量大时的频率来估计蓝糖个数？估计的蓝糖个数19或者23均不等于实际个数20，是否意味着实验失败？

学生更加深刻地理解在抽样方式正确时，样本量越大，频率接近概率的可能性越大，即对于样本的代表性来说，样本量大的好于样本量小的.当样本量较小时，增加样本量可提高估计的效果.而当样本量等于总体个数时，抽样调查就变成了全面调查.

问题4 你能从上述抽样过程中概括出简单随机抽样的定义吗？

学生回顾上述过程，概括简单随机抽样的定义（如表2所示）.

问题5 放回与不放回的简单随机抽样有哪些异同点？

相同点有三个：①总体有限；②逐个抽样；③个体被抽取的概率相同.这也是简单随机抽样的特点.

不同点很明显，是放回与不放回.那这种不同会造成什么区别呢？教师呈现出一个极端抽样结果（如表3所示），让学生思考为什么会出现这种情况.

学生在分析后，发现原因有两个.一个原因可能是抽样前没有摇匀，第二个原因是在放回地实验中，同一个糖果可能被抽取多次，它只提供单一颜色信息.为了避免这一情况，可以采取不放回抽样.不放回简单随机抽样的效率更高，因此人们更多采用不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样.

设计意图：教师以学生的认知经验——可以用频率来估计概率为基础，设计随机实验1.学生自主选择随机抽样方式——放回与不放回，经历完整的简单随机抽样过程，从实际问题中感悟随机抽样的特点，抽象概括出简单随机抽样的定义，数学抽象素养得以提升.此时教师呈现出一个极端抽样案例，引导学生领悟简单随机抽样的核心是每一个个体被抽取的概率相同，并自然对比出放回与不放回两种抽样方式的优缺点，发展了逻辑推理素养.

6.3 概念深化

引导学生运用所学知识解读简单随机抽样中的泰坦尼克事件.

在1936年美国总统正式选举之前，著名杂志《文学文摘》组织民意测验.调查兰顿和罗斯福谁会成为下一届总统.为了解大众的意愿，调查者通过电话簿及车辆登记簿中的名单来发放调查表（在1936年电话和汽车仅有极少的富裕群体才可以拥有）.在分析回收数据后，表4显示兰顿欢迎度更高，因此杂志推测兰顿会选举获胜，然而选举获胜的人是罗斯福.要知道这次预测是基于240万份庞大的答卷作出的，却预测错误.

为什么会预测出错？

学生：因为抽取的样本仅代表极少数富人群体的意愿，样本的代表性差.

问题6 如果让你调查民意，你会如何抽样？

学生的热情被点燃，注意到关键：保证每个个体被抽取的概率相同.教师表扬学生，接着叙述完事件.

与此同时，一家不知名的调查机构盖洛普，在全美内多个社区随机发放并回收5 000份调查表，据表5所示，预测罗斯福将以56%的得票率获胜，误差仅为6%，预测成功，一战成名.

设计意图：借助历史经典的抽样案例，学生进一步明确样本必须具有代表性，否则调查结果可能与实际完全相反.教师借助问题6深化概念，点燃学生的学习积极性，激发学生运用所学知识解决实际问题的热情与自信心，提升应用意识[2].

6.4 应用探索

在问题6的铺垫下，教师及时开展随机实验2.

随机实验2 一家家具厂要为南宁三中高一年级制作课桌椅，他们想事先了解全体高一年级学生的平均身高，以便设定课桌椅的标准高度.已知高一年级有1 096名学生，如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，如何实现呢？

问题7 实现简单随机抽样的办法有哪些？

教师引导学生回归生活，从篮球赛抽签选择对手推广到运用抽签法解决问题，实现简单随机抽样.

问题8 如何用抽签法实现简单随机抽样？

教师现场准备好纸与笔，学生在抽签的过程中，比较完善、交流概括出抽签法的步骤：（1）编号；（2）制签；（3）摇匀；（4）不放回逐个抽样.

设计意图：学生在操作中总结抽签法的步骤，并思考其优缺点.优点是原理简单，步骤清晰；但总体容量较大时，抽签法费时费力，从而引出随机数法.

问题9 如何生成随机数？

教师介绍随机数的底层逻辑，并提出生成随机数的三种方法：（1）用随机实验生成随机数；（2）用信息技术生成随机数；（3）用R统计软件生成随机数.现场运用电子表格Excel生成随机数，抽取一位幸运同学，送出一盒糖果.学生深刻体会到抽签法与随机数法各自的特点.

问题10 抽签法与随机数法的特点是什么？

抽签法简单易行，适用于总体个数不多的情况.当总体个数庞大，随机数法方便快捷，更加适用.

设计意图：学生在学习抽签法与随机数法的过程中，感悟两种方式的底层逻辑相同，体会信息技术产生随机数的魅力，开拓眼界.

6.5 归纳总结

回顾本节课所学，完成下列任务.

任务1 概述简单随机抽样的基本特点.

任务2 请举例说明一个简单随机抽样的设计与抽取过程.

任务3 既然抽样调查有许多优点，那么它是否可以取代全面调查？说出你的看法.

设计意图：教师引导学生用自我语言叙述简单随机抽样的特点，明确重点的掌握情况；用任务2引导学生明确操作步骤与注意事项，也是考察学生解决问题、灵活迁移的能力.当学生掌握新知识与方法后，需要建构知识网络，体会其意义与作用，形成正确的数学观念[3].

6.6 课后思考

一个村有40户人家，为调查该村农户家庭年收入，抽取5户人家作样本.其中，养鸡户年收入80万，水果种植户年收入40万，其余3家年收入分别为12万，13万和15万，由此调查得到5户人家年均年收入为32万.村长向乡政府报告，本村农户年均收入为32万.对此，你有何感想？假如换了你，你会怎么做？为什么？

设计意图：学生在学习简单随机抽样后，需明确其使用范围与条件——适用于差异较小或无差异的个体抽样.而真实生活是复杂的，面对年收入差距较大的农户时，要保证抽取的样本具有代表性与随机性，必须寻求改良简单随机抽样的方式——分层随机抽样，从而学习新知识，解决问题[4].这体现出数学是解决现实问题的重要力量.

参考文献：

[1]卢明，蒋雅云.落实学科核心素养：单元学历案的设计与实践[J].全球教育展望，2022，51（4）：71-83.

[2]黄河清.高中数学“学科育人”的认识与实践[J].中国教师，2022（2）：50-54.

[3]卢明.从“教过”到“学会”：教学方案专业化的思考[J].中学教研（数学），2020（9）：1-4.

[4]赵夏丰.核心素养下的数学大单元教学策略[J].教师教育论坛，2020，33（4）：60-61.