高中数学新教材“小结”的整体性

摘要：以平面向量章节为例，从研究路径、知识内容、数学思想方法与数学思维三方面对比了2003年与2019年人教A版高中数学教材“小结”中的整体性，并为复习教学提出了部分参考建议，力求引起广大教师对教材“小结”教学的重视，夯实学生基础，贯彻落实核心素养的培育，促进学生全面发展.

关键词：数学的整体性；小结；新教材；教学建议

1 对数学整体性的理解

数学的整体性不仅蕴含在数学的知识内容上，还体现在数学逻辑的连贯性、数学思想方法的一致性、数学思维的系统性上［1］.

在知识内容上，主要表现为进一步优化知识内部的系统结构，将碎片化的知识更好地统筹为一个整体.同时，更加注重不同学科之间的联系以及与实际生活的联系.例如，2019年新人教A版高中数学教材（以下简称新教材）调整了2003年人教A版高中数学教材（以下简称旧教材）中部分内容的顺序，按照函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四大主题来呈现教学内容，并突出各个主题之间的联系，将具有内在联系的不同内容整合起来，从总体框架上体现了数学的整体性.

在数学思想方法与数学思维上，主要表现为研究数学知识时所蕴含的数学思想、方法以及所形成的数学思维，它们都具有内在一致性.例如有些知识点虽各不相同，但其研究路径大致相同.这些都是高于知识层面数学整体性的体现.

2 基于数学整体性的 “小结”具体内容分析

新旧教材中对于每章末“小结”的编写都分为两部分：第一部分是本章知识结构，第二部分是回顾与思考.与旧教材相比，新教材以落实学生核心素养的发展为导向，对具体的主题内容等进行了适当的调整与修改，进一步强调了数学的整体性.

2.1 本章知识结构

“小结”的第一部分是本章的知识结构，它是对本章全部知识内容的一个整体呈现，从结构上简单地表达出各部分知识之间的联系.图1、图2分别是新教材与旧教材的“小结”知识结构框架图.对比新旧教材的知识结构，显然，新教材的知识结构框架图更为简洁明了，更加强调对数学整体性的认识和感受［2］.

通过详细对比新教材与旧教材中的“小结”知识结构框架图，不难发现：

（1）新教材切合实际，按照传统的研究脉络“背景-概念-运算（及几何意义）-性质-运用”进行结构框架图的绘制，其所呈现的平面向量的研究思路也更加清晰，这也使其与同一主题的其他内容的研究路径保持一致，更加突出了同一主题内容在研究方法上的通用性和数学思维的一致性，由外而内地展现出数学的整体性.相较之下，旧教材的知识结构框架图（图2）不论是从外观还是结构层次方面，均稍显杂乱，对数学整体性的表达较为隐晦.

（2）新教材更加强调知识内部的整体性.从其结构图中可明显看出，新教材将平面向量基本定理与坐标表示进行整合，并以“运算”为统领将向量的线性运算和向量的数量积统筹为向量的运算，使得向量的数量积和向量的加、减、数乘运算形成一个联系紧密的整体，强调了平面向量知识内部的系统性.

（3）新教材通过改善框架图的绘制细节，使数学内容在思想方法上的整体性得以外显化.对比图1与图2，显而易见，二者均遵循自上而下的编排顺序.然而，相较图2中的各个标题，除“实际背景”和“向量的应用”外，图1在每个标题的开头中均增加了“向量”的字眼，并将“向量的应用”更换为“平面向量的应用”.新教材将“向量”一词贯彻框架始终，通过此微小细节的改变，增强了学生对于“向量”“几何”“代数”三个不同主题之间存在密切联系的感受，同时也为“向量”和“运算”两大统筹方向的更换奠定基础，使得数学在思想、方法上的整体性进一步得以突出显现.

2.2 回顾与思考

继第一部分“本章知识结构”之后，“回顾与思考”是对本章知识进行更加详细、深度地回顾、梳理、再思考和再建构的环节.通过对比新旧教材，不难发现，在“回顾与思考”部分二者之间存在非常明显的差异.旧教材主要通过设置一系列富有弹性的问题，以提问的方式对学习过的数学知识、思想方法等进行回忆、复习，引起学生的思考，偏向于学生对重点知识的掌握.而新教材则站在全局的角度，以数学的整体性为统领，将“回顾与思考”分为“陈述”和“提问”两部分，其中“陈述”在前，“提问”在后.同时，新教材主要通过新增的“陈述”环节，来影响学生对于整体或局部知识的再理解与再建构过程，增强学生对数学整体性的感受，进而优化对数学知识整体的理解与建构.以平面向量章节为例，新教材“回顾与思考”的具体表现为：

2.2.1 突出研究路径的整体性

对于平面向量的研究学习，新教材“回顾与思考”的编写最大的特色之一就是站在全局的角度，将平面向量视作一个一般的数学研究对象，通过陈述，对其整体的研究过程进行了详细的回顾.首先，从“类比数的运算”即研究方法入手，简要回顾平面向量的整体研究内容.其次，依照向量的“实际背景-概念-运算（及其几何意义）-性质-应用”分别展开，呈现具体的研究思路.同时，在整个过程中，以连贯的逻辑和诸如“明确数学对象的内涵及表示是定义一个数学对象的基本要求”等客观的解释，增强了对研究对象和研究方法不同，但研究路径和思路保持一致的数学思维整体性的认识.

2.2.2 加强研究内容的整体性

基于数学的整体性，新教材“小结”注重优化平面向量知识内部的结构，将具有内在联系的同一主题和不同主题的内容、其他学科的内容整合在一起，以此加强学生内化知识时的结构意识和整体意识.例如：在旧教材中，“平面向量”与“解三角形”处于两个不同的单元，然而在新教材平面向量的知识结尾，教材设置了用平面向量的方法研究三角形的边角关系即正弦定理和余弦定理，并在“小结”中进行简单回顾［3］.此外，“小结”将平面向量与空间向量、实数、力等相关知识的联系以思维导图的形式呈现出来，并将其放置在“陈述”环节的最后，恰到好处地衔接“提问”环节，以此来进一步强化对知识整体的认知与内化.总体来说，新教材“小结”不仅将新旧知识内容进行了实质性整合，突出了各个部分的重点知识、结论，同时还兼顾知识的延展性，增强了对知识的整体性认识和感受.

2.2.3 突出数学思维、数学思想方法上的整体性

新教材“小结”中的“陈述”环节对每一小节知识的学习过程均进行了简明扼要的陈述，以此很好地打开了学生的数学思维，进而使学生可以清晰地感知数学知识与学习所带来的数学思维的一致性.此外，向量是一种数学工具，新教材“回顾与思考”主要借助向量与几何、代数之间的联系来渗透平面向量研究中所蕴含的数学思想方法.例如：“类比数a的整数倍na是n个a相加的总和……”“向量运算与实数运算既有差别又有共性，在定义向量的运算法则，探索其相应的运算律时，我们总是类比数及其运算来发现和提出问题……”，以此来突出代数、几何、向量之间的相互融合，同时也总结出向量问题所涉及的类比和转化思想，加强对不同的思想、方法之间以及思想方法与知识之间存在着内部联系的整体性认识.

3 基于数学整体性的“小结”教学

复习课的教学并不是对知识的简单回顾，更不能盲目地搞题海战术，教师应深度钻研教材、读懂教材，加强对数学整体性的认识，这样才能发挥出教材“小结”最大的教育价值，做好小结教学，提高复习课的课堂效果.以下是从数学的整体性出发，合理利用教材“小结”的一些教学建议.

3.1 提高“小结”的使用意识

通过查阅文献和对实际情况的调查发现，大部分教师对高中数学教材“小结”的使用情况不容乐观.高中学习节奏快、效率高，大部分教师为追求高效率，通常在章末小结时会选择以填空的方式对知识进行简单的回顾，并针对典型例题以及重点知识进行练习，以此来帮助学生掌握知识、归纳解题方法［4］.如此，不仅忽略了教材“小结”的教育价值，同时也对学生的整体性学习策略造成不利影响.从“小结”的作用来看，基于数学的整体性“小结”不仅是对知识的回顾，更起到了促进学生整体内化知识、检测知识掌握情况的重要作用.同时，其内容也对教师的复习教学有着非常重要的参考价值.因此，广大教师必须提高对新教材“小结”的认识水平与重视程度.

3.2 自主与引导相结合，多次构建框架

首先，在进行具体的知识复习之前，教师应合理利用“小结”的第一部分——本章知识结构框架，使学生先从整体上对本章知识结构有一定的认识，即积极鼓励学生脱离课本，独立构建本章内容的知识结构框架.在学生初步了解了自身的知识掌握情况和系统构建能力之后，再给学生留下适当思考时间，使其结合课本“小结”的知识结构框架进行自主完善.其次，借助“小结”中“回顾与思考”部分的“陈述”素材，带领学生以整体性视角再度理解所学知识，通过对本章知识内容的整体性梳理，引导学生共同对本章知识结构框架进行再建构，得到“整体性结构框架图”，即处于“陈述”环节末尾位置的框架图.通过多次构建和完善知识框架图，逐渐深化学生对数学整体性的感知，帮助学生从整体上掌握知识［5］.

3.3 会用“提问”小结

为保证复习的效率和效果，使学生真正掌握数学内容，教师应有意识使用或补充 “小结”中覆盖本章全部内容的问题链，并通过循序渐进的提问，促使学生能够主动回忆起知识，从而在潜移默化中渗透数学整体性思想的同时使学生能够真正内化所学的知识.最后，在结合教材“小结”设计或使用问题串时，教师需注意以下几点：（1）设计的问题要能够体现出本章数学内容的整体性、逻辑性；（2）对于具有拓展联系性的问题，要在学生的最近发展区内，不能一味为了整合而忽略学生的感知能力；（3）问题的提出要以知识的产生与发展顺序为主线，不能太过跳脱.

3.4 设计“综合与实践”类整合性练习

秉承理论与实践相结合的理念，在“小结”教学中，必须辅以适当的练习题进行检验.“综合与实践”类习题是将知识与操作相结合，并融合学科内部与学科之间以及现实生活为一体的整合性极强的一类习题，同时情境性与开放性也尤为突出，这对渗透数学的整体性思想和优化“小结”教学起到了很好的推动作用［6］.因此，教师应根据本章的中心内容，通过查找资料等途径，[JP+1]设计出与本章数学知识、思想方法、数学技能等相匹配的“综合与实践”类习题.比如，以阅读理解的形式变相检验学生的知识应用能力，设计“拓展应用”以建立起新知识与旧知识之间的联系，等等.这样不仅可以进一步夯实学生的基础，还能够使学生在实践活动中真切地感受到数学的综合性、整体性与趣味性.

4 总结

从落实核心素养角度出发，新教材中的“小结”强化了数学的整体性且主要表现在数学知识的呈现方式、内容的设置以及数学思想方法与思维三方面上.教师应及时更新教育理念，提高基于数学的整体性反复钻研教材的意识与能力.通过教材“小结”的整体性分析与教学，提高学生整合和内化知识的能力，深化学生对数学整体性的理解，同时适当结合 “综合与实践”类整合性练习题，及时检验学生的知识掌握情况和联系整合能力，将学生的核心素养发展落到实处.

参考文献：

[1]章建跃.数学学科核心素养导向的“单元—课时”教学设计[J].中学数学教学参考，2020（13）：5-12.

[2]张爽.高中数学教材“小结”栏目的教学研究——以人教A版教材为例[D].福州：福建师范大学，2018.

[3]章建跃.核心素养导向的高中数学教材变革——《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写[J].中学数学教学参考，2019（16）：6-10.

[4]杨小玉，陈捷.高中数学新教材“小结”的调查与分析[J].数学通报，2010，49（6）：31-35.

[5]郭君.高中数学复习课教学中培养学生整体性学习策略的探究与实践[D].济南：山东师范大学，2018.

[6]陈美娟.高中师生对数学教材小结的认识与分析[D].长沙：湖南师范大学，2016.