“圆的标准方程”教学设计点评

圆的标准方程正如其名，比较标准，既然标准就相对平常，这样的课相应就很难出彩，但王奎彩老师的名中有彩，这节课还是比较出彩.以下笔者谈些体会，不妥之处请同行批评.

1 这是一节数学生态课

所谓数学生态课堂是指数学课堂要尊重数学知识的发生、发展过程，尊重学生的认知规律，同时要把握好两个度：思想（哲学、数学思想）高度和文化厚度.构建生态课堂是落实核心素养的有效途径.数学生态课堂说白了就是把教书育人落到实处，“两个尊重”重在教书，“两个度”重在育人.

1.1 问题设计尊重知识发展规律

圆是日常生活中的常见图形，由此引入既尊重学生的认知规律也尊重知识的发生、发展规律，能提高学生的学习兴趣又能落实抽象素养.

新课从复习圆的定义、确定圆的要素到提出问题，步步深入，让学生体会到要求出A2B2的长，需要通过计算才能得到，这就需要确定圆的方程，怎么确定圆的方程——回到定义，在直角坐标系中求出圆的标准方程.在验证满足以方程的解为坐标的点都在圆上后，顺势指出点在圆上、圆内、圆外的判断方法，从外延上加深对圆的标准方程的理解.这一过程自然流畅，简捷明快.

在一个简单的练习之后回到开始提出的问题，体现学以致用，而且给出两种方法;接着求过圆心在原点的圆上一点的切线方程，也给出两种方法.这些都是尊重知识发生规律的体现.因为教材并没有给出两种方法.

问题3让学生设计适当的条件，使之可以求出圆的标准方程，具有开放性，这是在知识的最近发展区开展教学，从整体上把握教学内容（不囿于课本），展示知识间的相互联系;特别是问题4将问题推广到一般情况，有一定难度.这样从定义到标准方程，再到圆的切线方程（圆心在原点和不在原点，定点在圆上和圆外）的安排，知识结构清楚、层层递进，形成网络，有利于培养学生的思维能力，特别是为后面要学习的椭圆和双曲线提供可以类比的模型.因此，这节课较好地体现了大概念教学和深度学习.

1.2 课堂教学尊重学生认知规律

课堂教学的关键在于根据学生的情况以学定教.从教学来看，由于本课施教对象是上海市重点中学的实验班学生，因此教师在选题上自由度相对较大.尽管如此，在问题2后面的练一练中还是给出了2个基础题，这是非常必要的，毕竟万丈高楼平地起.

在解答上课开始提出的问题时运用两种不同的建系方法，一方面培养学生的发散思维，另一方面通过对比说明标准方程的优势，在解题过程中广开思路；求圆的切线方程也同样如此，向量法比设斜率要简单.通过这些解答对比，培养学生思维的灵活性和深刻性.

问题3是开放性问题，内容设计也是匠心独运.对借班上课的教师来说挑战性很大，王老师还是艺高人胆大.从展示的结果看，达到了预定目标.通过学生独立思考或者小组讨论，由确定圆的两个要素（圆心和半径）发散开来，充分发挥学生的想象力，利用平面几何知识得到答案，提高转化与化归的能力.

问题4要求较高.当点（x0，y0）在圆x2+y2=r2上时，求过该点的切线方程难度不大，但圆心不在原点对部分学生可能有困难，而过圆外一点（x0，y0）求圆的切线方程运用探究2的两种解法都比较困难，应该在设出直线方程的情况下，通过圆心到直线距离等于半径来求解，这是通法.对于点（x0，y0）在圆外，方程x0x+y0y=r2表示切点弦所在的直线方程.这些内容要在一节课讲完有难度，可以布置学生课外研究，为后面讲直线和圆的位置关系埋下伏笔.

1.3 思想文化的“两度”把握还需努力

一节高品位的数学课，除了要关注讲什么、怎么讲（这也是目前的教学现状），还要在育人方面有所体现.育人主要体现在思想（哲学或数学思想）高度和文化厚度方面.哲学思想往往隐含在教学内容之中，并不“显山露水”，通常体现在教学结构安排和例习题的选择上，数学思想相对显性.就本课而言，知识构建遵循由旧到新（利于新知识顺应原有知识），根据定义得到圆的标准方程，再由方程引出切线等；问题提出由易到难、由内（涵）及外（延），知识逻辑清晰;练习选取也比较符合教学与学生实际情况.教学结构遵循从特殊到一般（螺旋式上升）再回到特殊（解决具体问题及做适当延伸），尤其是延伸的内容最能体现哲学思想的指导——知识紧密联系且学生可接受.数学思想在教学中的体现这里无需多言.

顺便指出，本课延伸内容难度大，对于普通中学这样安排或许不太合适.他们第一课时安排圆的方程（含一般方程），把切线方程安排到直线和圆的位置关系一节讲授比较好.

数学文化在于让学生理解数学知识的同时感受到学习数学的乐趣.对王老师这节借班上课而言，开始需要“暖场”，可以和学生开开玩笑，比如说，初中我们学过圆，除了数学中的圆，我们还能想到生活中与圆有关的词语吗？学生会浮想联翩有各种答案，先给学生美的享受，拉进与学生的距离再切入正题，这样更能激发学生的学习热情.此外，为什么这个圆的方程称为标准方程？它有何特点？［定心定径，如果老师再追加一句：把心安定下来就能安静（与径谐音）学习了.］还有其他形式的方程吗？这些都是极具文化含量又紧密联系教学实际的问题，老师不提，学生嘴上不说心理也会存疑.在小结中也可以融入数学文化，加深学生对所学知识的理解，让数学文化滋润学生！

2 建议

2.1 教学目标内容准确、表述精炼

教学目标怎么写？主要写本节课要达成的基础知识、基本能力以及如何达成的方法，还有贯穿这一过程的育人价值.内容要精准、表述要精炼，不要冗长，更不要空话、大话.就本课而言，教学目标如下表述更恰当：

（1）掌握圆的标准方程并能简单应用；

（2）在曲线和方程思想指导下能推导圆的标准方程并检验；

（3）体会由特殊到一般，再由一般到特殊的研究问题的基本方法，感悟圆的几何之美.

（“由特殊到一般”指引入过程，“再由一般到特殊”指在推导圆标准方程是利用曲线和方程理论.这一过程就有方法论意义.）

2.2 课堂小结重知识技能、思想育人

小结怎么写？现在流行的做法是下课前老师问学生：这节课有什么收获？学生把这节课的内容复述一遍就下课.这是必要的，但还不够.小结包含三方面：知识技能、思想方法与育人.通过小结让学生对内容的理解更深刻，有一种登高望远的感觉.

圆的标准方程和过圆上一点的切线方程，运用数形结合、类比思想解决问题，感悟从特殊到一般的认识事物方式，感受圆的几何之美：

定点定距称标准，

遵守规则方圆满.

定动积和半径方，

类比其他得一串.

注：“定动积和半径方”指过圆x2+y2=r2上定点（x0，y0）的切线方程x0x+y0y=r2，其左边是定点横坐标与动点横坐标之积，与定点纵坐标与动点纵坐标之积的和，右边为半径的平方.