“圆的标准方程”教学设计

摘要：本文中呈现了“圆的标准方程”的教学设计，并对教学实践中的具体过程和问题进行总结和反思，针对教学环节的目标和设计方法进行详细阐述，同时在多次设计学生提出问题的环节，初步尝试学生提出问题的教学方式.

关键词：教学设计；圆的标准方程；问题提出

1 单元整体分析

解析几何的本质是利用代数的方法研究几何图形的性质，体现数形结合的思想.基于“平面直角坐标系中的直线”

的学习，体会了平面直角坐标系中直线方程的意义和求法，进一步通过直线方程研究了直线有关性质以及直线与直线的位置关系，初步了解了平面直角坐标系中曲线方程的意义.圆作为本单元的第二课时，起着承上启下的作用.而本节课立足于学生的“最近发展区”，通过探究圆的标准方程，实现研究曲线与方程方法的延伸，并初步体验用代数方法研究曲线的相关内容，构建研究方法，形成解析几何的基本研究框架并用于解决相关问题，进而为后续椭圆、双曲线和抛物线等的研究方法奠定基础.

2 教学内容分析

圆作为平面内相对比较简单的曲线，能充分体现解析几何研究的两大问题.在本节课中进一步体会求曲线方程的本质是寻求曲线上动点的横、纵坐标所满足的关系式；用代数的方法研究圆的性质时，形成用代数方法研究几何性质的思维模式，提高发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，为后续研究直线与圆及其他二次曲线的位置关系和性质提供方法和思路.因此，本节课有着承上启下、展示研究思路、渗透研究方法的作用，能够提升学生的数学抽象、数学运算及数学建模等核心素养.

3 教学目标

（1）通过回顾圆的定义，探求并掌握圆的标准方程，进一步巩固求曲线方程的方法，并会用代数方程刻画圆的圆心和半径；

（2）通过探究过圆上一点的圆的切线方程，体会解析几何的研究思路和方法，形成用代数方法研究几何问题的基本思想，渗透转化的观念；

（3）通过用圆的标准方程解决实际问题，增强数学的应用意识，渗透数形结合思想，认识到数学从实际生活中来，到实际生活中去，增强数学研究和应用意识，提高数学学习兴趣.

教学重点：圆的标准方程及其推导过程.

教学难点：圆的标准方程的应用.

4 学情分析

本节课是在上海市某重点中学的高二实验班借班上课，学生的数学基础较好.在学习本节课之前，学生已经有了一定的知识和方法储备：如初中学习过圆的定义以及圆的一些简单性质；上一章学习了直线方程的求法（直接法和待定系数法）；前一节学习了曲线与方程的概念，知道曲线上的点的坐标与方程的解之间的关系，知道求曲线方程的基本方法和步骤；初步体会了用代数的手段研究曲线性质的方法.因此，可以引导学生自主完成圆的标准方程的推导.

在初中平面几何中，学生已经学习过圆的定义及简单的几何性质.如：圆内一点到圆心的距离小于圆的半径，圆的切线垂直于过切点的半径，垂径定理，等等.本节课之前还学习了向量及直线方程的有关知识.因此，学生可以在教师的引导下解决过圆上一点求圆的切线方程的问题.[BP）]

4 教学过程

4.1 导入新课

我们先来回顾一下圆的定义.

（1）圆的定义

定义：平面内到一个定点的距离等于定长（大于零）的点的轨迹就是圆，这个定点就是圆心，定长就是半径.

（2）圆的几何要素

问题1 确定一个圆的条件有哪些？

学生思考：圆心定位置，半径定大小.得到圆的两个几何要素：圆心、半径.

设计意图：通过初中圆的定义回顾及问题1，强化对圆的几何要素的认识，为研究圆的标准方程作铺垫.

欣赏四张形状各异、大小不同的圆拱形吊桥图片，拱桥造型优美，曲线圆润，富有动态感.通过图片发现拱形桥需要立柱支撑，请同学们思考：在已知圆拱桥的一些条件下，如何知道每根立柱的高度？

提出问题 圆拱桥的圆拱如图1所示，该圆拱的跨度AB=20 m，拱高CP=4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求出支柱A2B2的长度（精确到0.01 m）.

设计意图：通过情境引导学生体会数学来源于实际生活，是具体事物的抽象与概括；利用图片展示提出问题，进而抽象出数学问题，引发学生思考如何借助代数方法研究圆的问题，激发学习兴趣，引出本节课的基本内容，提升学生的数学抽象和逻辑思维素养.

4.2 自主探究推导

4.2.1 圆的标准方程

5 教学体会

本节课通过具体的实例引出学习圆的方程的必要性，在学生已有曲线和方程的知识和方法储备的条件下，引导学生自主探究圆的标准方程，并自然过渡到利用方程判断点与圆的位置关系，通过具体的实例进一步体会用代数的手段研究曲线性质的方法.由于教材中本节内容相对简单，教学方法又比较单一，因此在设计过程中思考怎样才能使这节课简单而又不平凡，所以突出了学生在课堂中的主体作用，让问题提出贯穿于整节课堂.

课堂中，通过特殊问题的解决，多次引导学生提出一般性问题并对问题进行归纳、猜测及证明，将教师提出的问题与学生的问题提出进行融合，既能丰富课堂形式，又能调动学生积极性，引导学生深入思考不同的问题，了解和发现学生对概念的理解深度，在交流、讨论及教师引导和辨析过程中完善所提问题，共同提高.

由于问题提出的发散性，因此本节课对教师和学生都带来了极大的挑战.同时，本节课知识容量大，同时利用标准方程研究了点与圆、直线与圆，对于多数学生来讲，在一节内充分理解和吸收这些内容确实存在困难.这也为不同的学生提供了课后拓展和延伸的问题，使学生的学习不仅仅停留在课堂上，课后也能够延续.