基于复频散曲线的周期排桩减振效应分析

彭东黎 ，王业顺，陈晓斌

(1. 中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410083；2. 湖南交通职业技术学院 路桥工程学院，湖南 长沙，410132；3. 中南大学 教育部重载铁路工程结构重点实验室，湖南 长沙，410083)

随着人类社会的发展，轨道交通得到了迅速发展，轨道交通运营引起的环境振动问题日益凸显，对人类生产生活造成的危害也越来越严重，已经被列为七大环境公害之一[1-2]。一方面，长期被迫振动会对建筑物特别是对于一些古建筑物和实验室里的精密仪器。另一方面，轨道交通引发的环境振动主频较多集中在0～30 Hz 的低频范围内[3-4]，与人身体某些器官的固有频率相当，两者极易产生共振行为，从而影响人的身体健康，因此，隔绝轨道交通运营引起的环境振动意义重大[5-7]。在隔振方面，传统隔振方法是通过改变建筑物材料的强度和刚度，或者改变结构的受力形式以提升建筑物自身的“硬扛”能力[8-9]。RICHART 等[10]利用新型圆孔桩来阻碍波的传播，并开展了相关理论探讨。WOODS等[11]提出用桩基础进行减振，通过原位测试研究了桩基截面半径对减振效果的影响。传统隔振方式无法重复发挥排桩隔振优势，隔振针对性较弱。近年来，随着声子晶体理论[11]的发展，学者们将排桩等效为声子晶体(如图1 所示)，对周期性排桩的隔振特性进行了研究[12-15]，该隔振措施将传统的“硬扛”方式转变为“软扛”。MARTÍNEZ-SALA等[16]通过实验证明了声子晶体中衰减域的存在，并提出了BRAGG 散射隔振机理。LIU 等[17]通过橡胶、铅球和树脂基体构造了一种三组元的周期性结构，发现结构中单元体局域共振亦能产生衰减域，从而提出了声子晶体的另一重要机理，即局域共振机理。随着理论的逐渐成熟，越来越多的学者开始将声子晶体技术用于桩基减振分析。ALAGOZ等[18]利用数值模拟分析了地震引起的表面波通过晶格长度达1 km 级的声子晶体后产生的衰减。BRÛLÉ 等[19]通过现场实验，验证了振动通过排桩后的衰减效应，并将排桩与桩周土体等效为声子晶体，对其原理进行了分析。YAN 等[20]基于声子晶体技术，设计了由混凝土-橡胶-铁块构成的具有低频带隙的建筑基础，随后，通过现场实验验证了此设计的有效性。HUANG等[21]设计了一种等效于一维声子晶体的周期性成层结构，研究了其对表面波传播的阻碍作用，并以铁路交通引起的振动为例进行了数值模拟分析。

图1 周期排桩隔振示意图Fig. 1 Schematic diagram of vibration isolation of pile barriers

基于声子晶体技术的周期排桩隔振方法具有特殊的隔振效果，已取得较多研究成果。然而，以往研究中较多依赖于频散曲线分析，而该方法并不能精确地揭示波在结构中的衰减规律[22]。其次，当前研究极少考虑阻尼对隔振性能的影响。本文针对低频轨道交通隔振危害，提出一种局域共振型多层桩结构，并在考虑材料阻尼属性基础上，通过提取复频散曲线中的最小虚部值来定量研究周期性多层桩隔振性能。

1 基本理论

1.1 复频散计算公式推导

假定材料是连续各向同性介质，具有完全线弹性，且无初始应力，可以借助声子晶体技术来研究排桩减振[23]，建立如下波动方程：

式中：uj(r)(j=x，y，z)为位移矢量；ρ(r)为材料密度；λ(r)和μ(r)为拉梅常数；∇为哈密顿算子；r为位置。假定弹性波为平面简谐波，振动方程可以表示为

根据Floquet-Bloch定理可得

在二维非均匀介质中，根据弹性波传播方式，解耦为平面混合模态和反平面剪切模态。以弹性波在正方晶格传播为例，其第一不可约布里渊区为三角形，如图2中ΓXM区域，a为晶格常数。平面混合模态位移矢量在x-y平面内，与z无关；反平面剪切模态位移矢量只与z有关。以平面混合模态为例开展研究(反平面剪切模态可以通过同样的方式展开研究)，的偏导数均为0，将式(4)代入式(3)，并分别在x和y方向展开，可得：

图2 第一不可约布里渊区Fig. 2 The first irreducible Brillouin zone

式中：Λ=-ik；θ为波矢k与x轴的夹角；λ=λ(r)；

据(5)和式(6)，当给定频率ω后，可以计算对应的特征波矢，进而获取k-ω之间的复频散关系。本文θ取0°，仅研究Γ-X方向的复频散曲线，其他方向复频散曲线可以通过调整θ进行求解。

1.2 PDE系数

选用有限元软件COMSOL 中PDE 模块计算式(5)和式(6)中的特征波矢。PDE模块控制方程为

其中：为需要求解的特征值；ea、da、c、α、γ、β和f为待定系数。

通过对比式(5)和式(6)，可求得COMSOL 中PDE控制方程非零系数如下：

1.3 数值验证

通过对比频散曲线和复频散曲线的差异性来验证复频散曲线计算方法的正确性，并创建了二维十字空腔模型，如图3(a)所示。十字空腔模型由均匀土体构成，晶格常数a=2 m，中间存在1个十字形空腔(b=0.6 m，c=0.4 m)。该类结构因容易产生较宽的带隙，也与工程中沟壑减振结构十分类似。本文通过计算十字空腔模型的频散曲线和复频散曲线，来验证复频散计算公式的可靠性和精确性。

图3 十字空腔模型及复频散曲线Fig. 3 Cross-cavity models and its complex band curves

在不考虑材料阻尼的情况下，即阻尼比为0，所得频散曲线如图3(b)所示。从图3(b)可见：在十字空腔的频散曲线图中，在46.1～71.0 Hz之间存在1个宽带隙，表明该带隙频率段的任何波均不能传播。然而，实际上，完全被衰减的现象是不存在的，这也是使用频散曲线分析的缺陷。

对于同样的模型，复频散曲线图如图3(c)和图3(d)所示，包括实部图和虚部图。其中，复频散曲线图的实部图与频散曲线图在Γ-X方向表现一致，可以证明复频散计算方法的正确性与可靠性。根据复频散曲线图特征，虚部图能反映波在结构中传播时的衰减特性，其中最小虚部值是衡量波在结构中传播时的衰减幅度指标。图3(d)中红线代表最小虚部值所构成的衰减曲线，带隙频率段46.1～71.0 Hz 对应的衰减曲线从46.1 Hz 逐渐增加，到70.0 Hz 时达到峰值，随后随之减小。因此，相对于频散曲线，复频散曲线更具有研究价值。

2 复频散分析

在实际工程中，岩土材料具有显著的阻尼性质。由于频散曲线不能考虑阻尼因素，因而，选择复频散曲线开展研究。利用阻尼比来衡量材料的阻尼，材料参数[24-25]取值如表1所示。

表1 材料参数Table 1 Material parameters

为考虑材料阻尼参数，本文弹性模量采用复模量形式[25]，如式(13)所示。

式中：E为材料弹性模量；ξ为阻尼比；i 为虚数；E′为阻尼材料的复模量。

由于复弹性模量本身并无实际物理意义，本文利用材料黏弹性与复弹性模量关系，来模拟材料的黏滞阻尼[26-27]。

2.1 纯土模型复频散分析

纯土的晶胞模型及其复频散曲线如图4(a)所示。当晶格常数a=2 m时，纯土模型的复频散曲线如图4(b)所示。对于纯土而言，它的衰减曲线呈线性增大的。这种线性增大纯粹是材料阻尼所致，但衰减值并不大，其主要原因是土的阻尼较小。所以，波在纯土中传播时，其衰减幅度会随着频率的增加而呈线性增加，但整体衰减值较小。

图4 纯土模型及其复频散曲线Fig. 4 Pure soil models and its complex band structure

2.2 实心桩模型复频散分析

常见的实心桩为圆柱形混凝土桩(如图5(a)所示)，模型几何参数为a=2 m，r=0.6 m。从图5(b)可见：衰减曲线在0～90 Hz时呈现缓慢的线性增大趋势；当频率在90 Hz 以上时，衰减曲线明显上升，并且在99.5 Hz 和122.0 Hz 时出现2 个频域段的峰值。从图5(c)可知：该结构的位移主要发生在土体中。由于波在结构中传播时，土桩界面会使其发生反射，使得波在土中发生干扰并产生衰减，这意味着周期性实心桩的衰减机理是Bragg散射机理。当发生Bragg散射时，波长一般大于模型的晶胞常数a，而波长越大，对应的衰减频域段也就越高。因此，实心桩很难对低频的地震和轨道交通振动有很好的衰减效果。

2.3 多层桩模型复频散分析

由于实心桩很难隔断低频振动，因此，本文基于局域共振机理，设计一种多层桩。多层桩复频散曲线如图6所示。从图6(a)可见，多层桩由内往外分别是混凝土、橡胶和钢。在混凝土桩和薄钢板中加入橡胶，橡胶和混凝土之间较大的材料属性差异更容易发生局域共振，同时，考虑到工程实际的应用，采用薄钢板对橡胶可以起到一定的支撑和固定作用。这种多层桩结构能在不影响桩基承载性能的前提下，通过提升桩基内部材料差异性，产生局域共振，从而实现低频减振效果。从图6(b)可知当频率为15.3 Hz 时，衰减曲线有明显的增大。从图6(c)可知，当频率为15.3 Hz 时，位移主要发生在桩基中，意味着波的能量主要在桩基中因局域共振而被耗散。这表明基于局域共振机理设计的多层桩结构不仅具有工程承载性能，而且兼具低频减振性能。

2.4 讨论与分析

提取不同结构复频散曲线中最小虚部曲线，如图7所示。从图7可知由材料阻尼引起的衰减在任何频率下存在，并且频率越高，材料阻尼引起的衰减越大，然而，相比于材料阻尼，模型因Bragg散射或局域共振引起的衰减要大得多。例如在120 Hz 时，实心桩的虚部为0.077 8，而纯土的虚部为0.017 0，说明实心桩由于Bragg散射引起的衰减率是纯土由于材料阻尼引起的衰减率的4.6倍；在峰值频率为15.3 Hz 时，纯土的虚部均大约为0.002 0，而多层桩的虚部为0.043 0，说明因为局域共振效应，多层桩衰减率是纯土结构的21.5倍。

不同结构的最小虚部随频率的变化曲线如图7所示。从图7可知：可以产生布拉格散射的实心桩的主要衰减频率约为100 Hz，而在低频范围内，实心桩的衰减性能与土壤的衰减性能无明显差异；对于可以引起局部共振的多层桩，主衰减频率可以低于20 Hz。通过调整多层桩的半径或材质，相应的衰减频率甚至可以达到10 Hz以下。

3 传输模型

建立1 个有限周期的传输模型，如图8 所示，模型在x方向设立了8排桩，同时，为减少不合实际的散射波，在模型的两端设置了完美匹配层。正弦波线振源设立于模型的左侧，其中x方向上的线振源模拟压缩波，y方向上的线振源模拟剪切波。本文采用x方向和y方向相等的振源幅值模拟压缩波和剪切波的混合传播形态。同时，不考虑波在y方向上的传播，在模型的上下两侧添加周期边界条件。

通过对比模型两侧计算的位移幅值，来判断波在传播中的衰减规律。衰减指标T定义式为[28]

式中：IA和IB分别是在监测线A和B的平均振幅。

由各结构传输模型计算得到的频域响应函数曲线如图9所示，其中，x轴为频率，y轴为波的衰减值。与晶胞模型计算的复频散曲线不同的是，这里的衰减值是通过2个区域振幅比值的对数来确定的，所以，衰减值为负数。衰减值越小表明波的衰减越大。各结构频域响应曲线如图9所示。从图9可见纯土仅靠材料阻尼对波的衰减是这3种结构中最不理想的；实心桩在120 Hz 左右的高频具有良好的减振性能；多层桩结构在15 Hz左右的低频具有良好的减振性能。对比图7和图9可知：复频散虚部曲线与频域响应曲线相似，验证了复频散理论的准确性，同时，其计算过程简易且能够揭示更多的模态，这是传输模型所不能达到的。

图9 各结构频域响应曲线Fig. 9 Frequency domain responses of each barriers

由于低频振动难以被隔断，因此，多层桩在实际隔振应用中的效果更好。不同排数多层桩的隔振响应曲线如图10 所示。可知，不同排数的传输模型均因局域共振而在15.3 Hz 产生了较大的衰减，该频率和复频散计算方法所得的衰减峰值频率极为接近，这表明无限周期模型的计算结果能很好地反映波在有限周期模型中的传播特征。随着多层桩排数量减少，15 Hz 左右的衰减明显减小，其他频率处衰减并不明显。因此，排数对因为结构本身引起的衰减域有很重要的影响。当排数为4排时，结构能够达到较好的衰减效果。

图10 不同排数多层桩的频域响应曲线Fig. 10 Frequency domain response curves of multi-layer piles with different rows

4 结论

1) 十字空腔结构的频散和传输模型分析结果验证了复频散曲线计算方法的准确性和可靠性。复频散计算方法中提取的衰减曲线能够精准地对波传播时的衰减特性进行量化。

2) 阻尼影响贯穿整个频域范围，频率越高，阻尼影响越大。在周期结构衰减域内，波与波之间散射与衍射是造成振动衰减的主要原因，在其余频率范围内，阻尼是造成振动衰减的重要原因。

3) 与周期性实心桩相比，周期性多层桩可获得很好的低频隔振性能。在实际工程应用中，要达到良好的衰减性能，建议排桩排数超过4排。