负相关随机变量密度小波估计的Lp-相合性*

郝 露,许俊莲

(宝鸡文理学院 数学与信息科学学院,陕西 宝鸡 721013)

1 预备知识

1993年,BOZORGNIA首次提出了负相关随机变量的概念[9]:

本文将用到下面几个ND样本的相关性质。

性质1[9]设X1,X2,…,Xn是ND随机变量,任给集合{1,2,…,n}的m个两两不相交的子集A1,A2,…,Am以及m个关于每个变元单调非降(非增)函数fi:R#(Ai)→R(1≤i≤m),其中#(Ai)表示集合Ai中元素的个数,则随机变量f1(Xi,i∈A1),f2(Xj,j∈A2),…,fm(Xk,k∈Am)仍然是ND的。

性质2[9]设X,Y是ND随机变量,则

E(XY)≤(EX)(EY)。

性质3[10]设X1,X2,…,Xn是ND随机变量,满足EXi=0和E|Xi|p<∞,则当p≥2时,有

设L2(R)是平方可积函数空间,该空间中的一列线性闭子空间{Vj}j∈Z是其多分辨率分析(Multiresolution Analysis, MRA)指满足[11]:

(ⅰ)单调性:Vj⊆Vj+1,∀j∈Z;

(ⅲ)伸缩性:f(x)∈V0⟺f(2jx)∈Vj,∀j∈Z;

(ⅳ)基的存在性:存在φ∈L2(R),使得{φ(x-k)}k∈Z为V0的标准正交基,其中φ称为该MRA对应的尺度函数。

(1)

其中,αJk=〈f,φJk〉,βjk=〈f,ψjk〉。

注意到,φ满足(θ)条件蕴含φ∈L1(R)∩L∞(R),从而φ∈Lp(R),1≤p≤∞。正交小波基的重要性在于它不仅是L2(R)中的标准正交基,而且在一定条件下也是Lp(R)(1

记Pj为L2(R)到尺度空间Vj上的正交投影算子,则对于f∈L2(R)及αjk=〈f,φjk〉,有

(2)

对于f∈Lp(R)也有类似于(1)式的展式。进一步当尺度函数φ满足(θ)条件时,(2)式仍然成立。

S条件可推出(θ)条件(见文献[12]引理8.5)。由文献[12]可知,在S条件下,有以下结论成立:

引理1设尺度函数φ满足S条件,则对f∈Lp(R)(1≤p<∞),

其中,Pj为尺度空间Vj上的正交投影算子。当函数f一致连续时,上式对p=∞仍然成立。

|K(x,y)|≤F(x-y)。

2 主要结论

(3)

(4)

在本文中,AB表示A≤CB,其中C为独立于变量A和B的正常数;AB等价于BA;用A～B表示AB和BA同时成立。

证明根据范数的三角不等式性质,

为了得到相应的结论只需说明

(5)

下面根据p的取值情况分3种情形说明:

(1)当p=1时,显然

(6)

以及

可得,

因为尺度函数φ满足S条件,根据引理2,有

|Kj(x,y)|≤2jF(2j(x-y))。

代入上式,经过简单变换可得:

(7)

其中,

(8)

另一方面,记Yi=Kj(x,Xi),则

因为选取的尺度函数φ是单调的,所以核函数K关于每个变元也是单调的。根据性质1可得随机变量Y1,Y2,…,Yn仍然是ND的。再由性质2有

利用Jensen不等式,

(9)

其中,

结合(7)式和(9)式,

(10)

另一方面,

min[B(x),Cn(x)]≤B(x)∈L(R)。

因此,由Lebesgue控制收敛定理可得

结合(8)式,(10)式和(6)式,(5)式成立。

(2)当p≥2时,由(4)式可知:

记Zi=Kj(x,Xi)-Pjf(x),则上式简化为

(11)

经过计算可得,

故EZi=EKj(x,Xi)-Pjf(x)=0。根据φ的选取以及性质1推出随机变量Z1,Z2,…,Zn仍然是ND的。由于|Pjf(x)|p=|EKj(x,Xi)|p≤E|Kj(x,Xi)|p,故

E|Zi|pE|Kj(x,Xi)|p=

(12)

利用性质3及Jensen不等式可知

代入(11)式可得:

(13)

又因为

而F∈L1(R)∩L∞(R)可推出F∈Lp(R)(1

综合(13)式可得:

(3)当1

由情形(1),(2)可知,(5)式在1

综上可得,对于1≤p<∞,都有

证毕。

下面给出p=∞时的相合性。

证明根据范数不等式,

(14)

由(3)式可得,

再根据φ的有界性,

(15)

由于Eφjk(Xi)=αjk,利用Jensen不等式及性质2,可知

(16)

又有

结合(15)式和(16)式,得

(17)

显然

(18)

(19)

根据已知条件f(x)≤ω(|x|),可得

(20)

将(20)式和(19)式代入(18)式,再结合(17)式有