透析试题本质，用问题驱动提升学习力

刘欣

摘要：对基于圆的基本图形的试题生成过程进行分析，可以有效寻找解题思路和途径；教学中把试题变成一个一个问题，并巧妙呈现提问方式，让学生在不断生成的问题中展开探究，可以培养数学思维，提升数学学习力.

关键词：试题生成分析；问题驱动；学习力

由圆外一点引圆的两条切线所构成的图形是一个轴对称图形，具有轴对称图形的特殊性质，提炼这个基本图形及变式图形所隐含的特殊结论，并运用于解决新问题，是提升数学综合能力的有效方式.笔者研究武汉市近年来的各类考题，探索含此基本图形的试题的本质特征，运用这些结论解题都可以让问题迎刃而解.因此，透析试题本质，寻找问题与基本图形之间的联系，可以轻松找到解决问题的途径.《义务教育数学课程标准（2022年版）》强化了“如何教”的具体指导，要促进学生深度参与教学，必须在精心设计问题的同时，巧妙呈现提出问题的方式，让学习探究在不断生成的问题解决中逐步展开，这样才能有效促进学生数学学习力的提升.

1 试题背景

如图1，过圆外一点P作⊙O的两条切线PM，PN，切點分别为A，B.连接OA，OB，则∠APB+∠AOB＝180°.

在图1的基础上，连接OP，AB，AB交OP于点Q，如图2，分别从角与角、线段与线段、三角形与三角形的关系分析，可以得到如下结论：

（1）∠APO＝∠BPO＝∠OAB＝∠OBA.

（2）PA＝PB，AQ＝BQ，PO⊥AB.

（3）△OAP≌△OBP，△APQ≌△BPQ；△OAQ∽△APQ∽△OPA等.

延长AO交⊙O于点C，交PN于点D，连接BC，如图3，又可以得到以下结论：

（4）∠ACB＝∠AOP＝∠PAB，BC∥PO；

（5）△DBC∽△DAB；

（6）△ABC∽△PAO∽△AQO∽△PQA等.

2 试题演变及解析

上面的三个图形和相关结论，经常被各地用于命制各类试题，研究近几年武汉市的调考和中考试题，可以发现它们之间的联系和变式生成过程.

2.1 取圆上一点，构造圆周角，运用角的关系求角

例1 （2022年武汉元月调考）如图4，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上异于A，B的一点，连接AC，BC.若∠P＝58°，则∠ACB的大小是[CD#3].

故填答案：61°或119°.

2.2 取圆上一点，添加角和线段，求半径

分析及解：如图7，连接OA，OP，AB，作BD⊥AC于点D.

构造直角三角形，把已知线段和角转移到直角三角形中

例3 （2016年武汉四月调考）如图8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在BC上，以点O为圆心，OC为半径的⊙O刚好与AB相切，交OB于点D.若BD＝1，tan∠AOC＝2，则⊙O的面积是（）.

分析及解：设⊙O的半径为r，AB与⊙O相切于点E，连接DE，则DE∥OA.

2.4 已知过圆外一点的一条切线，画出另外一条切线，再证明判断并赋值求解新问题

例4 （2011年武汉中考）如图9，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.

（1）求证：PB为⊙O的切线；

分析及解：（1）如图10，连接OA.

由△OAP≌△OBP，得∠OBP=∠OAP=90°.

所以PB是⊙O的切线.

2.5 构造等腰直角三角形，运用特殊结构，建立特殊情况下的比值问题

例5 （2020年武汉元月调考）如图11，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，AC是⊙O的直径，AC＝AP，连接OP交AB于点D，连接PC交⊙O于点E，连接DE.

（1）求证：△ABC≌△PDA；

分析及解：（1）由∠PDA＝∠ABC＝90°，∠PAD＝∠ACB，PA=AC，得△ABC≌△PDA.

（2）连接AE，BE.由△ABC≌△PDA，得BC=DA.

由AC是⊙O的直径，得AE⊥CP.

又AC＝AP，

所以CE=PE=AE.

又∠BCE＝∠DAE，所以

△BCE≌△DAE.

3 关于“如何教”的思考

对于试题解析教学“怎么教？”的问题，既要分析试题之间的联系和试题的本质，还要有好的教学呈现方式，把试题化为一个个问题，不断变式，逐级推进，带动学生参与到解决问题的过程中，让学生经历观察、思考、表达、概括归纳、迁移运用的学习过程，促进数学素养的形成与发展.

3.1 画基本图形，探索一般结论

问题1 过圆外一点P作⊙O

的两条切线PM，PN，切点分别为点A，B.如图12，连接OA，OB，你能发现∠APB与∠AOB有什么关系？

问题2 在图12的基础上再连接OP，AB，AB交OP于点Q，如图13，你能发现图中角与角、线段与线段，三角形与三角形有什么关系？

问题3 在图13的基础上延长AO交⊙O于点C，交PN于点D，连BC，如图14，你又可发现哪些新结论？

教学说明：设置这3个问题，从具体的问题1到开放的问题2、问题3，教学时先不给出图形，让学生通过对问题的文字和符号语言的理解自己画图，感受图形生成过程，再研究图形的几何特征进而发现结论.

3.2 变换基本图形，呈现试题生成过程

（Ⅰ）基于问题1，给出∠P的度数，求圆周角.

问题4 在问题1的基础上，在⊙O上取一点C（异于点A，B），连接AC，BC.若∠P＝58°，能求出∠ACB的度数吗？

（Ⅱ）基于问题1，给出角和线段的值，求半径.

问题5 基于问题1，在⊙O上

取一点C，连接AC，BC，如图15.

若∠P＝60°，∠MAC＝75°，

AC＝3+1，求⊙O的半径.

（Ⅲ）由问题3演变，设置条件，求⊙O的面积.

问题6 在上述问题3的基础上，若CD＝1，tan∠AOP＝2，你能求出⊙O的面积吗？

（Ⅳ）改变问题1的条件，已知圆的一条切线，呈现另外一条切线的作图过程，再判断切线，并添加已知条件设置新问题.

问题7 如图16，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.

（1）求证：PB为⊙O的切线；

（Ⅴ）保留PA，PB与⊙O相切，添加条件构造等腰直角三角形，生成新问题.

问题8 如图17，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，AC是⊙O的直径，且AC＝AP，连接OP交AB于点D，连接PC交⊙O于点E，连接DE.

（1）求证：△ABC≌△PDA；

教学说明：用以上问题4～8把前面的5个例题串联了起来，通过从圆外一点引圆的两条切线所构成的基本图形，添加线段，增设条件，形成新问题，让学生既能感受到试题生成的过程，又能在一个个问题的带动下参与探究解决问题的过程.教学时注意问题要一个一个呈现，让学生在解决前一个问题后，再观察教师添线画图、设置条件、生成新问题的过程，让学生的思维参与到图形的生成、问题的变式过程中，感受到问题的不断生长，这样才能激发学生的学习动力，驱动学生深度参与探究学习，培养数学能力和素养.

4 结语

《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求我们要整体把握教学内容之间的关联，注重情境设计与问题提出，在真实情境中提出引发学生思考的问题，从而促进学生积极探究［1］.因此，在试题解析教学中，不能简单地呈现试题直接让学生求解，要注意把试题问题化，在分析试题之间的联系与本质之后，教学时用问题把試题串起来，通过在基本图形背景基础上，添加图形条件，设计一个个螺旋上升不断变式的问题，引导学生具体画图观察、自主探究解题途径、亲身经历试题变式过程，从而透析问题本质，揭示试题之间的联系，有效提升数学学习力，促进数学核心素养的发展.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.