有关二阶微分方程的研究

吴桐

（清华大学附属中学，北京 100028）

1 二阶微分方程

二阶微分方程在时间上大致与微积分同时产生。对于初学者来说，y′=f（x）这样的问题就是最简单的微分方程。二阶常系数线性微分方程的形式为y″+py′+qy=f（x）。与二阶常系数线性微分方程对应的二阶常系数齐次线性微分方程的形式为y″+py′+qy=0，其中p，q 是实常数。若函数y1和y2的比为一个常数，称和是线性相关的；若函数y1和y2之比不为一个常数，称y1和y2是线性无关的。二阶方程的几个例子（都可降阶求解）：单摆、悬链线、二体问题（都与引力有关）[1]。

考虑微分方程如下：

弹簧振动，单摆，行星在引力下运动都是这种形式的方程或方程组。令，以v 为新的变量，t 当作参数，则：。

式中：C1——任意常数。

方程（2）对于固定的C1是一阶微分方程：。它也是变量分离的。因此，又可以求出它的积分：

式中：C2——第二个任意常数。

方程（3）为方程（1）的通积分；通常由它可得到通解x=u（t，C1，C2）。在实际求解方程（3）时，求原函数G以及从方程（3）中反解得到x 都可能遇到很多困难。

但其实对于某些实际的问题，有时并不完全需要求出通解。假如只对运动的位移（x）和速度（v）之间的关系感兴趣，即运动的相（x，v）感兴趣，那么方程（2）就已经满足这种关系。实际上，对于一个固定的常数C1，方程式（2）在（x，v）相平面上确定几条名为轨线的曲线[2]。例如，当f（x）=-kx，k>0（简谐振动）时，利用方程（2），就得到方程：v2+kx2=-C1=C2。轨线是一个以原点为中心的椭圆。

所以，微分方程的求解在于引入新变量，从而方程（1）等价于：，。即。

这里可以降阶求解依赖于f 的特殊性，即它不显含t。如果微分方程不显含自变量，则称之为驻定（或自治）微分方程。可以对其进行降阶[3]。例如，考虑n 阶自治微分方程（当方程有x 平移不变性时会如此）。

然后，把方程（5）至方程（8）代入方程（4），就得到一个n-1 阶的微分方程（其中z 是未知函数，而y 是自变量）。

2 二阶常微分方程解法的应用

为了更好地体现特征方程法和常数变易法的区别，本文选取了一个比较简单的动力学方程来进行求解。通常，在对物理问题求解时，分为3 个步骤：第一步是对该问题进行彻底分析从而能做到对方程的初步建立并且对定解条件进行明确；第二步是对其解的性质进行探究或者求出方程来满足初始条件的特解；最后一步是定性分析对解，对原来的问题反过来进行解释，其中最为关键的步骤就是要将方程列出，而能列出方程的方法主要有两种，分别为微元分析法和瞬时变换法。但是在研究阻尼运动的过程中，求解运动方程一直是令人头疼的问题。接下来分别使用特征方程法和常数变易法来求解这个动力学方程[4]。

2.1 特征方程法

在要研究的弹簧振子系统中，测定物体的阻尼系数δ=10.0s-1，物体的质量为m=1.0kg，该弹簧所具备的劲度系数为k=75N·m-1，根据上述条件，假设质点由静止状态逐步开始运动，对弹簧振子的位移方程进行求解。

解：根据牛顿的第二运动定律可以得出：

或：

由于相对来说振动系统是在之前给定的，其中包含的常量为m，k，c，如果能够确定，c/m=2δ，方程（10）和方程（11）就可以转变为方程（12）。

那么将所得到的数据代入方程（12），可以得到：

通过对方程（10）至方程（12）的仔细观察和深入研究则可以得到对方程（13）进行求解能够使用特征值法，得出其特征方程可以表述为：λ2+20λ+75=0，并且在该特征方程当中包含有不同的两个根λ1=-15，λ2=-5，这样相对应的方程（13）的两个根分别为ξ1=e-5t，ξ2=e-15t。

通过方程（14），可以看出振子所保持的状态属于一个非振动状态，在这样的背景下，所要求的质点也只是在原先的不平衡位置逐渐恢复到平衡状态当中，该质点并不具有周期振动的特征。由于在δ<ω0情况下，质点会呈现出逐渐衰减的振动。然而由于会受到阻尼作用的影响，不能保持自由振动系统的长久运作，振动会逐渐衰减直至振动停止，如果要保持振动持续不停的状态的话，该质子就需要从外界获得运动必要的能量，在学术界，将受到外部持续的作用，产生振动的情况称之为强迫振动[5]。

假如在以上的振动系统当中振子由于受到某个外力F=100cos（30t）N 的作用，在该方程之中FA=100 表示的是该驱动力的幅度值，ω=30 表示的是该驱动力所具有的圆频率，f 即是该驱动力所保持的频率。

解：由于在质点振动系统当中会受到驱动力的作用，那么就可以得到关于系统振动的方程：

方程（15）还可以表示为方程（16）。

在这里可以假设方程（17）有着x1=Asin30t+Bcos30t这样的特解，将这个特解代入方程（17）并且将其简化最终得到：

-（33A+24B）sin30t+（24A-33B）cos30t=4cos30t。（18）

综上所述，题目中的条件决定A，B 的数值，之前的两项为该方程的瞬态解，瞬态项对这整个系统所进行的自由衰减振动能够进行有效的描述，然而只能在运动的开始阶段起作用，在经过长时间的运动之后，它起到的影响会随时间消逝并且在运动最后完全消失。而之后两项所代表的稳态解，描述的是强迫运动的状态，由于幅值条件的固定，所以称这样的状态为稳定状态。根据方程（19），外力作用在质点上的时候，整个系统的振动状态十分复杂，这时候的振动既包括了瞬态振动，也包括了稳定振动，而这样的振动状态对于在强迫振动之中逐步建立起稳态振动的过程进行有效的描述。在长时间的振动之后，瞬态振动终将消逝，这整个系统就会保持稳态振动的状态。

2.2 常数变易法

从上文的分析之中，可以了解到x=e-5t即是属于特征方程λ2+20λ+75=0 的实根，于是可以得到x=e-5t为λ2+20λ+75=0 当中的一个根，之后通过运用常数变易法设置x*=c（t）e-5t，在这一过程中也可以得到λ2+20λ+75=0 其中一个解为x*，将数值代入λ2+20λ+75=0 当中并且对其进行简化可以得到：

方程（20）属于c（t）的一阶线性微分方程，该方程当中一个特解为：c（t）=。

根据方程（20）可以得出的一个特解为（取c1=c2=0）：。

于是可得方程（20）的通解为：x（t）=Ae-5t+Be-15t+。

由上文的结论可知：

将2.1 中相关数据代入方程（21）中可以得到：

通过观察可以发现，在进行该类求解的过程中要使用常数变易法，首先就是要求出公式，而在前文的探索当中已经可以得到公式的特征方程为μ2+20μ+400=0。于是可以进一步的假设该特征方程的根为μ=-10±，那么即为公式的一个解。运用常数变易法可设为：x（*t）=c（t）e-10tsin。

这里套用2.1 中的解法，将x*（t）代入方程（22）并进行化简得：

由于x*是特解，所以积分常量可以为零。

3 结语

用特征方程法和常数变易法求解了弹簧振子的运动方程，以此来比较这两种方法的相同点与不同点。并且通过这个方程的解答，体现出了二阶常微分方程与生活息息相关的特性。由于篇幅及本人专业知识的限制，无法进行更深层次的探究，例如，求解二阶常微分方程还有一种幂级数解法，但是它的解题过程非常烦琐，对计算的要求很高，计算量比较大，还要考虑该函数是否解析以及幂级数在某个区间是否收敛等问题，所以在此不做讨论。二阶常微分方程研究的道路远不止此，在这个时代，二阶常微分方程被广泛应用于网络、军事、医学等各种高科技领域，对二阶常微分方程进行研究，有利于推进目前社会的发展。