具象-形象-抽象：基于CPA模型培育学生建模素养的实践探索

文 高冲

作为数学的一种基本思想，模型思想是连接数学和外部世界的桥梁，对数学科学以及学生的发展都具有重要意义。数学建模是一种人类认识和改造自然的方法论，是解决数据“爆炸”的有效手段之一。培养小学生的数学建模素养是义务教育阶段数学教学的内在要求，也是发展学生数学素养、实现学科育人的重要体现。新加坡数学倡导的CPA（concretpictorial-abstract，具象-形象-抽象）教学法为我们提供了思路和方法，从平面模型到立体建模，用模型赋能素养，在课程与素养之间架设了一座桥梁。

一、体验式感悟：CPA 模型图的应用价值

建模是新加坡数学CPA 教学法的核心。从一个具象的苹果到形象的图形再到抽象的数字1，学生可以用多种图形（可以是一条线段、一个方块，等等）来适应乃至学会形象化或符合化表达。在循序渐进的学习和训练中，逐渐形成和完善抽象的数学思维能力。

下面是一个用模型图法求解应用题的实例。

如图1，如果一把尺子和2 支铅笔共需140 分，而一把尺子价格又比一支铅笔多20 分，求一把尺子的价格是多少分？

从模型图中可以看出，3 个格子=140 分-20 分=120 分，1 个格子=120 分÷3=40 分。

所以一把尺子的价钱=40 分+20 分=60 分。

模型图法通过思维可视化的方式，更容易帮助学生快速找到实际问题中的数量关系，从而发现解决问题的正确思路（如图2）。

图2

模型图的实质其实就是数形结合的一个具体表现。概括起来说，CPA 模型图的应用价值体现在以下几个方面：

1. 图像化的方式对学生学数学很有帮助

从具象、形象再到抽象，符合学生的认知学习理论。

2. 画模型图能够帮助学生真正地理解题目，让思维可见

让学生改变思维方法，学会用图式法思维解决数学问题，培养学生数学思维的系统性。

3.平常解题时多用模型图，更利于理解和思考

解决问题时，尽量让学生坚持画模型图，一旦形象化思维变得自然而然的时候，就将内化为一种重要的思维方式，当熟练到即使不画图，头脑中也会产生类似的一种思考模型图，在遇到更高阶的抽象问题时，也会了然于胸。

4. 学好模型图可以为培养建模素养打下基础

模型图将数学拉回到现实生活，通过代数思想形象化，在真实情境中解决真实问题，为培育建模素养打好坚实的基础。

二、类型化明晰：CPA 模型图的常见样态

新加坡小学数学教材的一个主要特点是充满了“方格”图，被称为“模型图”，这种并不复杂的“模型图”是建立深层次的数学认知的生动手段。从教学内容设置到教材体现，“模型图”其实就是CPA 模型的最形象表达。

数学知识的具象-形象-抽象的发展模型，是需要着重强调的课程实施方式。如下图：

CPA 三角模型

小学低年级要尽量多提供一些动手操作活动发展学生的具体实践经历。小学中年级则要进一步发展学生的表象经历。而到了小学高年级，就要进一步发展学生的抽象概念。对于其中某个具体的数学知识的学习，也应该遵循从动手活动出发到逐渐发展表象经历，到最后逐渐抽象表达出数学概念的一般模式发展。

从数学概念的认识论出发，CPA 模型在对数学问题的理解中具备媒介的作用。数学概念的认识论指出，数字通过特定的信息体系来标识和编码信息。这些标志本身并没有任何价值，因为符号意义的形成必须要通过所感知的客观物体或者通过在适当的参照环境中形成一种媒介才能完成。而这种媒介又不完全是主观的或者任意的，为了把符号变成真正的数学符号，和参照对象相互之间联系的同时，又取决于数学知识在数学概念呈现时的认识环境。

数学概念的认识论模型

认识论的三角模型就代表着一种关系模型，其中，数学思想的价值并不能够仅仅由某个角“演绎”出来，而是需要在各个“角”间寻找一个平衡点。而符号与现实之间的思想一方面是由关系规则尽可能精确地界定；另一方面，对于现实的定义则又受社会协议影响。基于此，在符号与现实之间的思想建立也就受到了基于规则的概念与社会协商之间的作用。在思想形成过程中的意义创造，有客观的一面，也有主观的一面。如果说符号和现实之间形成了同一种数学思想，则必然是一种超越思想的处于符号和现实中间的产生式媒介。

CPA 模型正是数学概念教学中的良好认识工具，可以发挥超越思维，介于符号形式和实物中间的产生式媒介作用。它能潜在地构建数学概念建立所需要的基础理论。

“模型图”法是为了数学课堂教学中的问题解决，最直接体现CPA 模型的一种直观的教学方法。这一教学方法的实质在于充分利用CPA 模型中的“具体化”和“表征”作用来提高对抽象关系的理解能力，进而提高问题解决能力，这恰恰有利于解决小学低年级学生解答应用题困难的现实难题。小学低年级学生解应用题困难的主要原因是不容易把握题目中抽象的数量关系。而“模型图”教学法，通过数学思维可视化的方法，帮助学生更快地理解题目中的数量关系，从而找到问题解决的正确路径。

常见的“模型图”主要有三种类型，即“部分-整体模型”“比较模型”以及“变化模型（也叫之前-之后模型）”。

“部分-整体模型”是为了描述一个总体被分为若干个部分的情况，一般用下图表示：

如果各部分的数量是已知的，则可以用加法得到整个的数量;如果整体和某个部分的数量是已知的，可以用减法得到剩余部分的数量。

“比较模型”主要是为了说明两个或几个量多和少的情况，如下图所示，有A 和B 两个量，我们可以利用其中的差（加法的比较）或商（乘法的比较）来进行对比。反之，如果它们之间的差或商是已知的，通过一个已知量也可以算出另一个量。

“变化模型”是一种表示增加或减小后的量和原有数量间的关系，如下图，有两个量A 和B，从A 中减去C 并加入到B 中，这样跟原来数量相比，A 减少了C，而B 则增加了C。

这几种模型都可以用来解决与分数、百分数、比例等有关的实际问题。

“模型图”是在学生对部分-整体关系认识的基础上建立起来的。卡通式的“模型图”通常在一年级和二年级中使用，通过一些类似实物的图片，对算术应用题中的信息进行图形建模。后来，为了增加抽象程度，用一个矩形取代了图片。从三年级开始，他们就学会了用适当大小的矩形方格来表示问题中的具体信息。这一直观启发式的教学方法，一直围绕在小学五年级和六年级的分数百分数和比例应用题上，成为大多数学生解决稍复杂的实际问题不可或缺的方法。

三、支架式搭建：CPA 模型图的实施路径

画模型图的方法在解决具体情境中的真实问题时非常有用，借助模型图，更便于整理题目中的有效信息，通过让数量关系以数学思维可视化的方式使学生能够快速地抓住问题中的关联信息，从而发现解决问题的路径。

1.创设真实情境，初步感知数学建模思想

数学既来源于日常生活，也服务于日常生活，所以要把现实生活中发生的与数学知识相关的内容及时引入到课堂教学中，并把书本上的知识点和学生日常生活中熟悉的例子进行对接，用情境再现的方式呈现给学生，由此说明数学问题发生的背景。而情境的设计又应与社会的基本现实、社会热点问题、自然科学以及与数学问题密切相关的各种因素相结合，使学生觉得真实、新颖，以适应他们新奇、好动的心理特点，调动学生学习的积极性，激发已有的知识体验，让他们用积累的体验来体会其中蕴藏的数学现象，进而帮助他们把知识问题抽象为数理现象，认识数学模型的存在。

2.通过组织探究，抽象本质，自主完成模型的建立

通过生活经验向抽象数学模型有效转换，是现代数学教学的主要任务所在。但需要指出的是，具体生动的情境问题仅仅给学生数学模型的建立创造了机会，而一旦忽略由具体到抽象的研究过程的组织探究，那就不能称之为模型。

3.重视模型意识培养，优化方法，提炼建模的流程

数学教学中，不管是概念的形成、规律的发现还是问题的解决，核心问题都在于模型意识的培养，要在不断对比、感悟中，优化模型图的方法，提炼数学建模的流程，这也是CPA 模型实践操作的灵魂所在。

4.通过还原生活，变换场景，扩大模型的空间外延

人的认知过程，是由感性到理性再回到感性这样一个循环反复、螺旋向上的过程。真实情境中的问题，经过抽象提取后初步建立起具体化的模型，这不是学生认识的结束，还要让学生将已经建立的数学模型回归到实际生活中，通过变换生活场景，变化情境，使已形成的模型进一步得到拓展与提升。

CPA 模型图在数学课堂教学中的应用，是数形结合的一种体现，同时也是学生动手做数学的基本方法，对学生数学建模素养的培养起了关键的作用。