开孔功能梯度板的自由振动

彭丹华,随岁寒,杨三序

(商丘工学院 机械工程学院,河南 商丘 476000)

机械工程中常用的钢材具备良好的强度和刚度以及机械加工性能,缺陷在于导热系数和膨胀系数过大,因而不适合在温度变化较大以及极端温度环境中工作.陶瓷具备良好的热性能,但机械性能不佳.为充分发挥钢和陶瓷的优势,可将两种材料复合,按照设计需求将两种材料的体积分数连续改变,即实现从陶瓷到钢的软过渡.功能梯度材料自20世纪80年代问世以来,受到众多学者的关注,尤其是功能梯度板[1-14].板的弯曲和屈曲性能与板的静态工作极限载荷密切相关,Kim和Noda[1]采用格林函数法分析了功能梯度板的挠度和瞬态温度载荷的关系.Vafakhah和Neya[3]利用位移势函数,提出了功能梯度厚板弯曲的精确解.Lanhe[4]讨论了板宽比、相对厚度、梯度指数和横向剪切对屈曲温差的影响.另一方面,自由振动作为最基本的动力学问题,对其研究具有重要工程价值.功能梯度板的振动问题受到诸多因素影响,主要包括材料的压电属性[5]、地基因素[6,7]、纳米结构非局部效应[8]、轴向直线运动[9]、材料非线性[10]、结构裂纹[11]、材料的复合方向[12]、旋转运动[13]、边界局部支承[14].典型地,如Ebrahimi和Rastgo[5]研究了一种基于经典薄板理论的功能梯度加压电层合圆板的自由振动问题.Wang和Zu[10]分析了由镍和不锈钢复合而成的功能梯度板的非线性动力学行为.韩振南[14]等研究了功能梯度方形板4个边界上分别局部支承条件下的自由振动特性.

据作者所知,目前还没有学者考虑板开孔这一条件,在工程应用中常常需要对板作开孔处理以便安装.同时,为了提高开孔附近的过大挠度,一般要在开孔采用弹簧支承.本文研究由陶瓷和钢复合而成的功能梯度开孔板的动力学行为,在方形开孔的4个角点上采用弹性支承,该支承仅限制板的横向挠度,不约束板的转角.应用虚功原理建立系统动力学有限元方程,板四边固支,通过与ANSYS解的对比来验证本文所建模型,随后探讨了材料梯度指数和弹性支承刚度对前两阶固有频率的影响.

1 控制方程

如图1所示,功能梯度板长和宽分别为a和b,厚度为h,板中心处有一长宽分别为c和d的方孔.孔的4个角点有4个刚度为k的弹簧支承,支承方向沿板面法向.板的上下表面分别为陶瓷和钢,两种材料体积分数按照幂指数形式分布.板的弹性模量E和密度ρ分别为

(1)

其中λ(λ≥ 0)表示梯度指数,下标中的c和s分别表示陶瓷和钢.

采用4节点四边形单元,每个节点包含横向挠度w以及x和y两个方向的转角,单元的广义坐标为

(2)

采用广义坐标可将单元的横向位移可表达为[15]

w=N{d}

(3)

这里N代表形函数.

根据Kirchhoff薄板理论,功能梯度板的位移场为

(4)

其中w表示板中面上的横向位移.从而,惯性力虚功为

(5)

功能梯度板的几何方程为

(6)

根据式(3)可以将几何方程整理成矩阵形式

ε=[B]{d}

(7)

功能梯度板的物理方程为

(8)

其中μ为泊松比,通常取值为0.3.

可以将式(8)简化为

σ=[D]ε

(9)

根据式(7)与式(9),功能梯度板的虚应变能表达式可以写成

(10)

将式(5)和式(10)代入如下虚功原理表达式

δU=δW

(11)

从而可以得到开孔功能梯度板的有限元方程

(12)

其中

开孔处的弹性支承具有储能作用,其势能属于结构整体势能.弹性势能变分可表达为

δUs={d}Tdiag(ann){d}

(13)

其中ann为支承刚度矩阵对角线上唯一的非零值,下标代表第n行第n列,且aii=k.从而开孔板在弹性支承条件下的整体刚度矩阵为

D=K+diag(ann)

(14)

将(12)式的Κ替换为D,得到受弹簧支承条件下功能梯度板自由振动的有限元方程

(15)

2 数值算例

式(12)结合四边固支边界条件可以解得前两阶固有频率,为进行数值分析,功能梯度板的材料性能参数与几何参数为:钢弹性模量Es=210 GPa;陶瓷的弹性模量Ec=390 GPa;钢的密度ρs=7850 kg/m3;陶瓷的密度ρs=3960 kg/m3;板长a=1 m;板宽b=1 m;板厚h=0.02 m;孔长c=0.2 m;孔宽d=0.2 m;孔距e=0.4 m;孔距f=0.4 m.

由于ANSYS软件不支持功能梯度材料建模,因此忽略弹性支承且在纯质材料条件下可解得前两阶固有频率以及对应的模态,如图2给出了钢板前两阶固有频率及其模态,图3给出了陶瓷板的前两阶固有频率及其模态.模态图中采用颜色来区别开孔板上各点的相对幅值大小,其中红色代表最大幅值,蓝色代表最小幅值.在自由振动中,通常弹性模量越大则振动频率越高,相应的模态幅值则越小.由于本文研究的是功能梯度板的小挠度自由振动,因此不讨论弹性模量变化时模态的幅值大小.需要指出的是,模态图中FREQ是指固有频率,其量纲为Hz.应用ANYS将开孔板划分为9600个SHELL181单元,该单元为四边形单元,包含8个节点,每个节点6个自由度.本文采用图1(b)所示的单元划分,即将开孔板划分为384个单元,每个单元4个节点,每个节点3个自由度.表1对比了本文解与ANSYS解,可以发现,陶瓷板和钢板有一致的规律,即第一阶频率误差3.01%,第二阶频率误差2.22%,第一阶频率受开孔影响较大.由于本文采用单元数量较少,因此计算效率高,所得结果仍能满足工程计算需求.

表1 固支前两阶固有频率对比

图2 纯钢板前两阶振动模态

图3 纯陶瓷板前两阶振动模态

弹性支承条件下,功能梯度开孔板的自由振动受到材料属性和弹性刚度的影响.材料属性的变化体现为梯度指数的变化,梯度指数从零增大到无穷大表示板从陶瓷板过渡到钢板,因而各阶频率逐渐减小.但频率对梯度指数的导数逐渐减小,即曲线斜率的绝对值随梯度指数的增大而减小,如图4(a)所示,这里弹性支承刚度设定为20 N·m-1.无开孔四边支承板的第一阶自由振动模态在板中心处幅值达到最大.板开孔后使得板的弯曲刚度增大,但不影响板第一阶模态的整体趋势.算例中功能梯度板在几何中心处开孔,因而开孔处的弹性支承会对板的第一阶振动产生更大影响.由图4(b)可以看出,支承刚度从零增大到40 N·m-1时,第一阶频率增幅较大约为84%,第二阶频率增幅约为16%.随着刚度的增大,支承刚度收敛于刚性支承,因而随着刚度的增大,前两阶频率的增幅逐渐减小.

图4 固支板(a)前两阶频率与梯度指数的关系 (b)前两阶频率与支承刚度的关系

3 结 论

研究揭示了开孔功能梯度板在弹性支承条件下的自由振动特性.四边固支条件下将本文方法所得结果与ANSYS结果对比证实了本文方法的准确性,随后重点分析了梯度指数和支承刚度对前两阶固有频率的影响.结果显示,随着梯度指数的增大,各阶频率不断降低,且频率对梯度指数的斜率绝对值逐渐减小.开孔位置对低阶模态影响较大,因而开孔处的弹簧支承刚度变化时,第一阶频率的变化量远大于第二阶频率.