求解双资产欧式看跌期权定价问题的差分方法

齐祥悦

(东北大学 理学院,辽宁 沈阳 110004)

在过去的几十年里,期权成为了最受欢迎的金融衍生品之一.自从Fischer Black和Myron Scholes在1973年提出Black-Scholes期权定价模型之后,期权定价理论取得了巨大的发展.[7,12]

期权理论最重要的问题就是期权定价问题,二叉树方法由于其简单易行最早受到了人们的欢迎,但是这种方法有收敛速度慢,计算量大等缺点[6,8].近些年来,基于偏微分方程数值解理论的方法受到了国内外专家学者的关注[5,10,13].例如Pradip Roul& Prasad Goura (2020)利用高阶紧致有限差分格式求解欧式看涨期权定价问题[9];张铁(2002)利用有限元法求解美式期权定价问题[1];甘小艇和殷俊峰(2015)利用二次有限体积法对美式期权进行了求解[2]等.

随着经济的不断发展,单资产期权已经不足以满足市场的需求,多资产期权逐渐发展了起来.本文主要对双资产欧式看跌期权进行研究,对于看涨期权可以进行相同的处理.

1 双资产欧式期权定价模型

考虑双资产期权定价问题,设S1和S2是风险资产的价格,在这里不妨假设它们为股票,设U是基于两个风险资产的期权价格,它是关于S1,S2和时间t的函数[3,11].假设在市场不存在套利机会的情况下,利用Δ对冲原理,得到双资产欧式期权定价问题的Black-Scholes方程

(1)

其中,r为无风险利率,d1和d2分别为股票S1和S2的红利率,σ1和σ2分别为股票S1和S2的波动率,ρ为S1和S2的相关系数,T为期权执行日期.

考虑极大看跌期权,它在期权到期时的收益为:

U(S1,S2,T)=min{(K1-S1)+,(K2-S2)+} (S1,S2)∈(0,∞)×(0,∞)

(2)

方程(1)(2)构成了极大看跌期权定价模型.方程(1)(2)为变系数偏微分方程的终值问题,为了将变系数偏微分方程化为常系数偏微分方程,并将终值问题化为初值问题,引入如下变换:

τ=T-tx=lnS1y=lnS2

利用此变换,方程(1)(2)变为:

(3)

(4)

由于看跌期权价格为敲定价格与资产实时价格之差,因此得到如下边界条件:

U(x,y,τ)=min{(K1-ex)+,(K2-ey)+}τ=(0,T] (x,y)∈∂Ω

(5)

至此,我们就将双资产欧式极大看跌期权定价模型(1)～(2)变成了具有初边值条件的常系数偏微分方程(4)(5).

2 模型问题的差分逼近

现在建立模型问题(4)(5)的差分近似.首先对时间区域[0,T]离散:取时间步长Δτ=T/N,用Un表示τn时刻的期权价格,其中τn=nΔτ,n=0,1,…,N.

(6)

对于初值条件有

(7)

相应的边值条件为

Un(x,y)=min{(K1-ex)+,(K2-ey)+}n=1,2,…,N

(8)

方程(6)可以表示为:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

相应的初值条件有

边界条件有

将差分格式(11)～(15)代入(9)得

(16)

其中

(17)

为差分算子.

设u为问题(4)(5)的精准解,那么有

(18)

(19)

其中

3 差分方程的稳定性和收敛性分析

(20)

证明 根据条件有

定理2差分方程(20)的解在L∝模意义下是绝对收敛的,即

‖Un+1‖∝≤‖Un‖∝,n=0,1,…,N-1

证明 由式(19)可得

αi-1η+βiη+χi+1η=0

(21)

所以有

其中η=(1,1,1)T.

从而有

设矩阵

为对称矩阵.由定理1给出的条件有

所以矩阵K为正定矩阵,那么矩阵rI-V是正定的,则

((rI-V)x,x)≥0,∀x∈RN2

‖en‖h≤C((Δτ)2+h2)

其中C为常数.

证明 根据式(10)和式(18)有

(22)

式(20)与式(22)做差得

(23)

将式(23)与en做内积得

(24)

这样有

(25)

因此有

‖en‖≤‖en-1‖+Δτ‖εn-1‖

(26)

由式(26)得到

‖en‖h≤‖en-1‖h+Δτ‖εn-1‖h,n=1,2,…,N

由于e0=1,因此有

取xmax-xmin=ymax-ymin=Mh=H,可以得到

从而定理得证.

4 数值实验

考虑一个欧式双资产期权定价问题,假设无风险利率r=0.2,股票的红利率d1=d2=0.1,波动率σ1=σ2=0.5,相关系数ρ=0.4.考虑股票价格的变化范围相同的情况下,敲定价格K取1时,期权价格U的数值解.计算结果见图1和图2.图1为h=0.1时期权价格U的数值解,图2为h=0.05时期权价格U的数值解.从计算结果可以看出数值解并未出现数值震荡现象,因此本文构造的数值方法是可行的.

图1 h=0.1时期权价格U的数值解

图2 h=0.05时期权价格U的数值解