计算教学中的“算理”与“算法”

□郑 霞 俞正强

近二十年来，计算教学越来越重视算理的教学，目的是让学生在“知其然”的基础上“知其所以然”。因此，在教学实践中，教师渐渐形成了这样一种认识：每一种运算算法背后都有一种算理。但在教学“分数乘除法”时，几乎所有教师都会产生这样的困惑：分数乘分数的算理要怎么讲呢？分数除以分数呢？对此，笔者试着从个人理解及教学实践出发谈一些看法。

一、算理与算法

首先，何为算理？何为算法？为了便于讨论，以“同分母分数加减法”为例进行说明。

接着进一步分析算理的基础。算理的基础包含数的意义与运算的意义。数的意义就是与所表示的意义，即“把一个整体平均分成8份，取其中的1份和2份”，结果分别是1个和2个；而作为加法运算，其运算的意义是把两个数合并成一个数的运算。据此形成得的理由，这个理由就称之为算理。依据同分母分数加法的算理，可以解决的计算问题，得到的正确结果为

那么算法呢？算法主要是指计算的法则，是简化了复杂的思维过程，添加了人为规定的程式化的操作步骤，解决如何算得方便、准确的问题。

综上所述，算理解决为什么这样算的问题，算法解决如何算得快的问题，计算教学的目标就是要算得又对又快。厘清了加法的算理与算法之后，可以用同样的方法厘清减法、乘法、除法的算理与算法，它们都是相同计数单位的合与分。

二、混合运算中的算理

在小学阶段，计算教学涉及加、减、乘、除四种运算，统称为四则运算。一个式题里，如果含有加、减、乘、除四种运算中任意两种或两种以上的运算，这个式题就称为四则混合运算式题。那么，四则混合运算有没有自己的算理呢？

计算：5+7+6。

算理：5个“一”与7个“一”合在一起，再与6个“一”合并，结果是18个“一”，就是18。

算法：从左到右依__次__计__算__。__

这样看来，这类运算算理的基础还是数的意义与运算的意义。那么算法呢？

计算：5+7×6。

算理：5个“一”与6个7（42个“一”）合并，结果是47个“一”，就是47。

算法：先乘除___后__加__减__。_

在这个四则混合运算中，包含运算的意义之间的一个“理”，即先特殊后一般。事实上，四则混合运算的四个运算的意义可以分为两组：加法与乘法为一组，减法与除法为一组。加法是统一计数单位的“合”，乘法则可以看作“合”中的一种特殊情况，乘法是一种连续合并，并且每次合并的计数单位个数一样多，即几个几相加，称之为“等合”。同理，减法是统一计数单位的“分”，除法可以看作“分”中的一种特殊情况，除法按照同样多的计数单位“分”，即多少里面有几个几，称之为“等分”。

学生可以通过对事理的理解来理解算理。概言之，如果四则运算中只有加减法或者只有乘除法时，学生应当依次进行计算；如果既有加减法又有乘除法时，则秉持“先特殊后一般”的顺序进行计算。那么，如果出现小括号、中括号等运算符号，学生应当如何处理呢？小括号和中括号是数学家发明出来，以解决特殊中出现更加特殊情况的方法。所以，当四则运算中出现括号时，学生可以依然遵循“先特殊后一般”的道理，先处理括号中的特殊情况，再依据先处理乘法或除法，再处理加法或减法的顺序依次进行计算。

三、分数乘除法的算理

在讨论分数乘除法的算理之前，首先要明确一点：学生对算理的理解是基于整数运算的条件形成的。乘法即等合，不断地按相同的计数单位进行合并，越合越多，所以乘法的运算总是使结果变大；除法即等分，不断地按相同的计数单位来分，所以除法的运算结果总是越分越少。

这种关于乘除法的运算观念，却在小数乘除法中第一次遇到挑战。因为实践中发现，当乘一个比1小的数时，结果越乘越小；当除以一个比1小的数时，结果却越除越大。学生在整数运算中形成的“积总是大，商总是小”的运算观念在小数运算中被颠覆。

因为小数的计数原则与整数相同，所以小数乘除法可以依照整数乘除法的法则进行计算，不同的是小数乘除法需要解决小数点的问题。因此，小数乘除法的算理并没有给师生带来困惑。然而，由于无法把分数当作整数，因而关于等合与等分的运算意义给学生带来了极大的困惑。下面结合分数的一些类型进行分析。

至此，关于分数乘除法的算理受到了挑战，教师感觉讲不清楚，于是带着学生画图。然而，教材中的画图只能说明计算结果是对的，并不能改变学生心中对乘法与除法的运算意义的理解。因此，画图不是在理解算理，只是说明运算结果对错的一种方式。

那么，如何讲清分数乘除法的算理呢？解决这个问题的关键在于理解“乘一个数等于除以这个数的倒数，或除以一个数等于乘这个数的倒数”这句话。这句话不是规律，也不是算法，它是理解运算意义的一个节点。而对算理的理解以对数的意义与运算意义的理解为基础。

在小学阶段，学生对运算意义的理解有两个十分关键的节点。其中一个节点在整数运算中，也就是乘是相同计数单位的合，即所谓的等合；除是相同计数单位的分，即所谓的等分。在这个阶段，乘是乘，除是除，是两种不同的运算。另一个节点便是在分数运算中。在这个节点中，分数本身是等分的结果，乘与除由此融合在了一起，即乘与除表达了同一个意思（如乘可以看作除以3，除以可以看作乘3）。因此，乘即除，除即乘；乘即等分，除即等合。

理解分数乘除法的运算的教学，不是每一种算法都讲一个算理，分数乘除法的算理始终是同一个，即等分与等合。因此，理解分数乘除法的算理的教学，关键不是通过画图来理解分数乘法或分数除法，而是让学生理解乘即除、除即乘的运算意义，从而理解分数乘除法的完整的运算意义。

对于同一个数学知识，小学数学教材中经常会编排初步认识与再认识两个内容（根据学生的年龄特征和认知规律，教材采用螺旋式的编排方式），如分数的初步认识与分数的意义。事实上，乘除法的运算意义也分为初步认识和再认识。即在整数运算中有乘除运算意义的初步认识，在分数运算中有乘除运算意义的再认识。那么，如何进行乘除运算意义的再认识呢？

对分数乘除法的运算意义的再认识需要从分数的意义入手，具体教学过程如下。

呈现材料：把1平均分成两份，每份是多少？

列式1：1÷2。

认识：除以一个数等于乘这个数的倒数。

进一步认识：在分数运算中，乘也可以表示等分，除也可以表示等合。

将这个分数乘除法运算中的认识，与整数乘除法运算中的运算意义叠加在一起，就形成了新的认识：在整数乘除法运算中，乘是等合，除是等分；在分数乘除法运算中，乘也是等分，除也是等合。

有了这样一个新的认识之后，学生理解分数乘除法的算理便会简单得多。如可以看作把平均分成5份可以看作5个是多少。这样，学生对分数运算算理的理解便没有任何障碍了，教师也不会困于算理模糊之中。

四、算理的“一”与算法的“万”

关于“理”与“法”有一句俗语，即“一理万法”，“理”与“理”之间莫不相通，终归于一，而“法”则可以因时因地而制宜。比如在整数加法、小数加法和分数加法中，就存在着算理的一致性和算法的多样性的情况（如图1）。

图1

从图1 中可以看出，整数加法、小数加法和分数加法的算理始终不变，一直是相同计数单位的合并，而算法却一直在变，由于数的不同而形成不同的算法。

从一年级学习整数运算，到三年级学习小数运算，最后到五年级学习分数运算，学生学习了很多不同运算的计算方法。透过这些不同运算的计算方法，学生发现：原来这些运算都遵循“相同计数单位相加”这个“理”。由此，学生产生豁然贯通之感。

同理，学生在学完分数乘除法之后，会形成如下认识：

形成这个认识之后，学生同样会产生豁然贯通之感。

当学生在六年的数学运算学习中有这样两次豁然贯通的感觉，就会深深地体会到一“理”与万“法”的关系和万变不离其宗的道理，这就是数学课程育人过程中非常深刻之处。