依托直观想象，培养核心素养

王圆圆

直观想象是数学学科中的一个基本素养，主要是借助几何（平面几何或空间几何等）直观、空间想象等来感知事物或图形的形态与变化等，进而结合图形直观来数形结合，利用逻辑推理与数学运算来分析与解决问题．而在数学解题过程中，依托直观想象，通过数形结合，可以直接用来解决一些相应的直观数学问题，“以形助形”；也可以用来解决一些特殊的抽象数学问题，“以数成形”．结合函数图象或几何图形的直观，达到“以形助数”.本文通过数例予以说明.

点评：借助中国古代数学中的天文计算设置复杂的立体几何情景，并借助立体几何图形的直观来设置创新信息问题．借助复杂的立体几何图形直观，通过直观想象，合理挖掘立体几何图形的内涵与本质，为进一步的逻辑推理与数学运算提供更加广泛的空间，也是相关图形直观的应用本质所在．

分析：破解此类大小比较问题，技巧方法比较法．而借助函数图象的本源，数形结合来直观想象处理，更加直接有效．通过观察各代数式的结构特征与形式，合理构建函数，结合函数图象的构建，并通过同一变量所对应的函数值的比较，数形结合直观判断，也是解决问题的基本方法．

點评：通过合理挖掘三个代数式的结构特征，引入参数并合理构建函数，利用函数的图象来直观判断，直观巧妙．这里函数的图象涉及指数函数、对数函数以及一次函数，只要大体的草图即可得以确定．数形结合法可以更加直观形象地处理函数的图象与性质问题，关键就是函数图象的大体确定与应用．

分析：依据题意条件，随着动点A在x轴正半轴上的运动，合理“串联”起点P的位置与点Q的位置，由此带动相关的图形特征．抓住动点A在变化过程中的“瞬间”场景，“动”中取“静”，以点A与B重合的“静”态场景来特殊化分析与处理问题，是解决该问题时直观想象的一种“巧技妙法”．

点评：借助圆锥曲线中综合应用问题的创新场景，利用动点的变化情况加以动静结合来分析与处理问题．解决此类图形直观问题的运动情况问题时，经常借助极端思维与特殊位置（或特殊值等方法），通过问题本质的理解与掌握，合理直观想象，数形直观，水到渠成．特殊与一般思维，动静结合思维等，都是直观想象核心素养的深刻理解与提升，取决于学生对此类问题的内涵与本质的深入挖掘与应用．

分析：利用题设条件中的关系式恒等变形，结合对应关系式的结构特征，合理联想到余弦定理中关系式的结构特征，从三角形的性质与基本不等式的应用等视角来分析与处理，合理数形结合，结合逻辑推理与数学运算来综合应用．

点评：在处理一些相关的数学问题中，其实质不具有图象或图形的形式，而借助公式的结论特征、定义的几何内涵等，合理直观想象，数形结合，有效进行巧妙的数学建模，利用构建与之对应的图象或几何图形，从几何层面数形结合，从代数场面数学运算，无中生有，综合应用，充分体现“数”“形”的和谐统一与完美配合．