低灵敏度空间引力波望远镜光学系统设计

余 苗，李建聪，林宏安，黄耀樟，罗佳雄，伍雁雄,3 ，王 智

（1.佛山科学技术学院 物理与光电工程学院,广东 佛山 528000；2.中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,吉林 长春 130033；3.季华实验室,广东 佛山 528000；4.国科大杭州高等研究院 基础物理与数学科学学院,浙江 杭州 310024）

1 引言

空间引力波探测是人类研究宇宙早期形成与演化过程的不可或缺的途径。目前，对引力波的探测主要分为两种方式：一种是地基干涉测量系统；另一种是空间干涉测量系统。空间干涉测量系统相较于地基干涉测量系统可以避免地震波、重力梯度、人为噪声的影响[1]，并且可以探测到频率范围在中低频10-4Hz～1 Hz 波段的引力波，有效补充了地基干涉测量系统缺少的波段。其中，中低频段的引力波信息具有丰富的天体物理来源，是研究宇宙早期结构形成及历时不可缺少的依据。

针对空间干涉系统测量在中低频段探测的优势，欧洲航天局（European Space Agency，ESA)和美国国家航空航天局（NASA）提出了Laser Interferometer Space Antenna (LISA)计划，中国科学院提出了太极计划[2～4]。LISA 项目主要是探测和研究频段在10-4Hz～10-1Hz 的引力波，而太极计划探测和研究的引力波频段在10-4Hz～1 Hz[5～6]。因此，太极计划的波段将覆盖欧空局LISA 计划的探测频段，并且在重点探测频段（10-2Hz～1 Hz）具有比LISA 更高的探测灵敏度[6]。空间干涉测量系统由3 个相同的航天器构成，每个航天器上有两个相同的光学望远镜作为信号的接收和发射装置。由于望远镜在收发信号过程中会受到各种噪声的影响。这些噪声将直接影响收发信号的强度信息和相位信息，从而影响引力波信号的解析精度[7]。对收发信号影响最大的两种噪声分别是波前误差与抖动光程 (TTL) 耦合噪声和散粒噪声[8]，为了减少这两大噪声带来的影响，要求望远镜具有非常好的波前质量[6]。

基于太极计划的牵引，ZHAO Y 和李建聪等人已完成了基于原理样机的空间引力波望远镜设计，其望远镜的入瞳直径达200 mm，放大倍率达40 倍[8～9]。接下来，本文将根据中国科学院太极计划项目披露的当前空间引力波望远镜设计指标[3]进行设计，要求望远镜的入瞳直径达400 mm，放大倍率达80 倍。在现有的空间引力波望远镜系统的设计指标中，望远镜的口径和倍率有所增大。口径的增大会使远场航天器接收到的激光光强增强，两航天器间能量的传输效率提高，从而减小散粒噪声对干涉信号提取的影响[10]。但是，相较于200 mm 口径，400 mm 口径的空间引力波望远镜光学系统的球差和慧差控制难度会变大。更重要的是，在加工误差和装调误差相同的情况下，大口径望远镜系统的波前误差变化更加剧烈。这意味着大口径和高倍率系统的灵敏度会更高，相应地设计难度也会更大[11]。此外，在“太极”计划空间引力波望远镜的实际研发过程中发现，空间引力波望远镜在轨时会受到温度的变化以及重力释放的影响，由此导致结构变形，反射镜特别是次镜的空间位置会产生一定的偏移，导致望远镜系统的波前质量下降。因此，若实现低灵敏度，则望远镜在轨后仍然能维持高质量波前，这对于保证空间引力波望远镜的在轨稳定性能是至关重要的，也是关键难题。

针对上述难题，本文首先分析现有的空间引力波望远镜系统的结构特点，发现空间引力波望远镜结构中次镜灵敏度高，难以满足更大口径的空间引力波望远镜对制造装调公差的要求，特别是对在轨稳定性公差要求。因此，提出一种新型望远镜光学系统结构，利用三镜分担次镜的光焦度、中间像面设置于三四镜之间并降低次镜放大倍率，从而减小次镜的灵敏度；再结合高斯光学理论方法，分析计算望远镜的初始结构参数。其次，根据获得的初始结构参数，对科学视场内的望远镜初始结构进行波像差优化，获得满足设计要求的望远镜系统。最后，通过建立望远镜系统的灵敏度评价公差分配表，对新型望远镜结构和现有望远镜结构进行蒙特卡罗分析预测光学系统性能，并通过灵敏度分析得到误差源导致的系统波前变化的累计概率。对新型望远镜结构和现有望远镜结构的灵敏度结果进行对比分析，验证新型望远镜光学结构的低灵敏度优势。本文研究可为太极计划的望远镜设计提供可靠的参考方案。

2 望远镜光学系统初始结构设计与优化

2.1 望远镜系统的技术要求

太极计划中的望远镜作为空间激光干涉测距系统的重要组成部分，需要实现相距三百万公里的两卫星间的激光接收和发射，对其光程稳定性有着严格要求。本文根据太极计划的技术指标要求[3]，设置望远镜的关键技术指标，如表1 所示。望远镜的工作波长选用频率和相位稳定性极好的1 064 nm 波长。考虑到望远镜系统中的光学元件难以避免地存在加工误差和系统装调误差，故要求全视场RMS 波前退化量小于λ/30（λ=1 064 nm）的概率达到80%以上。

表1 望远镜系统的技术指标Tab.1 Specifications of telescope system

2.2 望远镜初始结构分析

目前，空间引力波探测任务采用的望远镜结构是离轴四反无焦系统。根据目前披露的望远镜结构形式[6～9,12]，望远镜的中间像面普遍在次三镜之间，可视为由两个独立的双反射结构共同构成。该离轴四反无焦系统的光焦度主要由主次镜承担，导致主次镜的公差过于敏感。在装调时一般会将主镜固定，作为基准，避免主镜偏移造成的装调误差[7]。在剩余的3 个反射镜中次镜灵敏度最高，对系统成像质量影响最大。因此，如何降低次镜的灵敏度是引力波望远镜光学系统设计的主要难点。为解决该难点，本文提出一种新型望远镜架构，通过将望远镜的中间像面调整到三四镜之间，三镜分担次镜的部分光焦度，并降低次镜的放大倍率，从而起到降低次镜公差灵敏度的效果。新型望远镜结构可视为由一个三反射镜系统和一个单反射镜系统共同构成，分别称为望远镜的前组和后组，望远镜的初始结构如图1 所示。

设α2为次镜对主镜的遮光比；α3为三镜对次镜的遮光比；α4为四镜对三镜的遮光比；β2、β3分别为次镜和三镜的放大率；f为望远镜前组的焦距。引力波望远镜的光学系统作为一个无焦系统，其主镜物距为l1=∞，物方孔径角u1=0。对系统进行归一化处理，则主镜半口径h1=1，前组系统焦距f=1。同时对于反射式光学系统，折射率可以表示为：根据图1，结合高斯光学理论，该同轴四反系统[13～15]的结构参数可由式（1）、式（2）表示。

同轴四反系统各镜的曲率半径R1、R2、R3、R4的表达式如式（3）所示，主次镜间隔d1、次三镜间隔d2、三四镜间隔d3的表达式如式（4）表示。

根据式（3）、式（4）可知，引力波望远镜光学系统的具体结构由α2、α3、α4决定。结合式（1）～式（4），并根据望远镜系统的放大倍率τ=1/α2α3α4=80，经推导，本文的望远镜系统结构参数如表2所示。

表2 本文提出光学系统的结构参数Tab.2 Structural parameters of the proposed optical system

2.3 光学系统的优化设计与分析

离轴四反光学系统是在同轴四反光学系统初始结构的基础上，对孔径光阑离轴后优化得到的。优化过程中，需要在Zemax 中建立科学视场内的波前误差一致性优化函数，调整望远镜系统的结构布局，控制主次镜之间的距离为700 mm，次镜口径大小为55 mm，主镜y向偏心量为270 mm。除此之外，望远镜系统需要协调光路的折叠方式、中间像面位置和出瞳位置，保证合理的装调空间。考虑到望远镜系统中次镜会产生后向散射杂散光，本设计在中间像面处预留了放置视场光阑的合理空间，从而抑制杂散光的产生。优化后的光学系统结构如图2 所示。光学系统镜头数据如表3 所示。望远镜主镜面型采用抛物面，次镜面型采用双曲面，三镜和四镜面型采用球面。

图2 优化后的新型望远镜结构Fig.2 Optimized new telescope structure

表3 优化后的光学系统镜头数据Tab.3 Lens parameters of optimized optical system

各视场的波前误差情况如图3（彩图见期刊电子版）所示，波前误差的RMS 值和PV 值如表4所示。在科学视场范围内，望远镜出瞳处的波前误差RMS 值为0.006 3λ，PV 值为0.034 9λ～0.035 2λ。结果表明望远镜系统的各视场波前质量一致性好，望远镜系统的全视场都具有高质量波前。

图3 出瞳处不同视场的波前图Fig.3 Wavefront diagrams of different fields of view at the exit pupil

表4 出瞳处的波前误差Tab.4 Wavefront errors at the exit pupil

3 验证分析

3.1 现有望远镜结构设计

为了验证新型引力波望远镜光学系统在大口径、高倍率的情况下具有低灵敏度的优势，依据表1 的设计指标，在相同的尺寸包络下，设计了一款典型的离轴四反望远镜光学系统进行对比分析。在结构尺寸相同的情况下，新型望远镜结构的波前误差RMS(λ=1 064 nm)为0.006 3λ，次镜的放大倍率为9.7，现有望远镜结构的波前误差RMS(λ=1 064 nm)为0.006 2λ，次镜的放大倍率为12.8。具体结构形式如图4 所示，波前分析如图5（彩图见期刊电子版）所示。

图4 优化后的现有望远镜结构Fig.4 Optimized existing telescope structure

图5 现有望远镜结构经优化后的波前误差图Fig.5 Wavefront error diagram of existing telescope structure

3.2 公差的对比分析

由于实际生产中难以避免会存在加工误差以及装调误差。空间引力波望远镜的加工误差包括反射镜的曲率半径公差、二次曲面系数公差、面型公差。装调误差包括反射镜绕x，y，z轴3 个方向的倾斜和反射镜在x，y，z轴方向上的位移，一般称x、y轴方向上的位移为x、y向偏心。由于主镜在装调时一般会固定作为基准，所以公差分析时，主镜只需要分析加工误差。综合考虑望远镜光学系统由于加工误差、装调误差导致的望远镜系统变化后，设计公差分配方案，具体公差分配如表5 所示。

按照表5 的公差分配情况，在Zemax 中，分别对新型和现有的望远镜结构进行蒙特卡罗分析及预测光学系统性能，并在灵敏度分析中得到了误差源导致系统波前变化的累计概率，具体如表6、7 所示。为了检验公差分析结果是否满足探测要求，本文分别提取了新型和现有望远镜结构的500 个公差文件的波前误差数据进行分析，公差文件对应的分析结果如图6 所示。新型望远镜结构全视场RMS 波前退化量小于λ/30（λ=1 064 nm）的概率为82.4%，现有望远镜结构全视场RMS 波前退化量小于λ/30（λ=1 064 nm）的概率为63.2%。经计算，新型望远镜结构的灵敏度相较于现有望远镜结构的灵敏度降低了30.4%，证明了新型结构形式不仅满足设计指标要求，而且具有更加宽松的公差条件。

图6 公差分析结果Fig.6 Tolerance analysis results

表6 新型望远镜结构波前误差累计概率Tab.6 Cumulative probability of wavefront error of the proposed telescope structure

表7 现有望远镜结构波前误差累计概率Tab.7 Cumulative probability of wavefront error in existing telescope structures

另外，由于在所有可能的公差范围内，灵敏度分析结果数据量多达56 组，因此，通过Zemax 的灵敏度分析文件分别导出了新型和现有望远镜结构中最灵敏的10 项公差项，在表8 和表9 中以递减的方式呈现。表8、表9 中的影响量用于预测光学系统的性能。影响量数值越大代表该公差项对波前质量影响越大，该类型的公差项越灵敏。通过观测表8 和表9 的影响量，发现相较于现有望远镜结构，新型望远镜结构的主要优势是降低了望远镜次镜偏心变化导致的高灵敏度。为了进一步验证该发现的准确性，本文分析两种望远镜的次镜偏心变化对系统波前质量的影响，获得望远镜光学系统的波前退化数据。因此，本文根据公差分配条件，分别分析了两种望远镜关于次镜x向或y向偏心变化引起的波前质量退化，具体分析结果如图7、8所示。

图7 新型和现有望远镜结构的次镜X 向偏心与波前关系Fig.7 Relationships between X-eccentricities and wavefronts of the secondary mirror in the new and existing telescope structures

表8 新型望远镜结构中最灵敏的10 项公差项Tab.8 The 10 most sensitive tolerance terms in new telescope structure

表9 现有望远镜结构中最灵敏的10 项公差项Tab.9 The 10 most sensitive tolerance terms in existing telescope structures

由图7、图8 可知，新型望远镜结构的次镜在±18 μm 的x、y向偏心变化范围内的波前退化量明显小于现有望远镜结构。随着偏心量由0 至18 μm 或由0 至-18 μm 逐渐偏移望远镜的初始偏心设计参数时，新型望远镜结构和现有望远镜结构的RMS 波前退化量相差数值逐渐增大。例如，在次镜的Y向偏心变化为18 μm 时，两种系统的RMS 波前退化量相差数值达到了最大，新型望远镜结构相较于现有望远镜结构的RMS 波前退化量减少了λ/100（λ=1 064 nm），而望远镜系统的全视场RMS 波前退化量要求仅是小于λ/30（λ=1 064 nm）。以上具体数据验证了新型望远镜结构可有效减少由次镜偏心变化引起的RMS 波前退化量，具有低灵敏度优势。可有效解决空间引力波望远镜光学系统大口径、高倍率和低灵敏度的难点。

图8 新型和现有望远镜结构的次镜Y 向偏心与波前关系Fig.8 Relationships between Y-eccentricities and wavefronts of the secondary mirror in the new and existing telescope structures

4 结论

本文针对引力波探测对望远镜的大口径、高倍率、低灵敏度的需求，首先分析了现有空间引力波望远镜的光学系统特性，提出了一种降低次镜放大倍率且中间像面在三四镜之间的新型望远镜结构，从而降低望远镜系统的灵敏度。结合高斯光学公式，计算获得了望远镜初始结构数据。其次，通过在Zemax 中建立各视场波前误差的一致性优化函数，对望远镜初始结构进行优化，得到了离轴望远镜系统，其入瞳直径达400 mm，放大倍率达80 倍，并且在±8 μrad 的科学视场内，波前误差RMS 值优于0.006 3λ。最后，根据望远镜系统的公差分配条件，利用Zemax 的灵敏度分析结果，得到了误差源导致系统波前变化的累计概率。结果表明：由系统的加工误差和装调误差引起的波前退化量有82.4%以上的概率优于λ/30（λ=1 064 nm）。对比现有望远镜结构与新型望远镜结构的灵敏度分析结果，新型望远镜结构的灵敏度较现有望远镜结构高30.4%。新型望远镜结构的主要优势是降低了望远镜次镜偏心变化导致的高灵敏度。结果表明，本文提出的新型望远镜结构具有低灵敏度优势，而且降低了由次镜偏心变化导致的高灵敏度，为空间引力波探测的望远镜系统设计提供了一种优选方案。