解答平面向量数量积问题的三种途径

程必赛

平面向量的数量积问题侧重于考查平面向量的数量积公式、向量的模的公式、數乘运算法则、加减法的几何意义、基本定理、共线定理的应用.解答这类问题常用的途径有利用坐标法、定义法、数形结合法.下面结合实例来进行介绍.

一、利用坐标法

解：以O为原点、OB为x轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.

二、采用定义法

例2.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）·（b-c）=0，求|c|的最大值.

解：因为|a|=|b|=1，a·b=0，

则（a-c）·（b-c）=-c·（a+b）+|c|2

=-|c||a+b|·cosθ+|c|2=0，其中θ为c与a+b的夹角，

解答本题主要运用了定义法.我们先通过向量的数乘运算、加法运算、减法运算，根据已知关系式，将问题转化为求向量的模的平方以及向量的数量积；然后根据向量的数量积公式将问题转化为求c与a+b的夹角的余弦值以及|a+b|的乘积的最值，根据基本不等式求解，即可解题.

解：如图2所示，延长A10A11、A2A1交于Q，

由题意可得A10A11⊥A2A1，

过A12分别作A1Q、A11Q的垂线，垂足分别为M、N，

解答本题，首先要根据正十二边形的特征和向量

三、数形结合

数形结合法是解答函数问题、向量问题的重要方法.在解题时，需先将向量的模看作线段的长，根据三角形法则、平行四边形法则构造几何图形，添加辅助线；然后将两个向量的夹角看作三角形、平行四边形的内角，利用三角形的性质、平行四边形的性质、圆的性质解题.

解：如图4所示，连接OP，

上述三种方法都是解答平面向量数量积问题的重要方法.其中坐标法、定义法较为简单，数形结合法具有较强的灵活性，需根据题意构造出合适的几何图形，并将问题与平面几何、解析几何知识关联起来.