怎样用直线的参数方程解与直线有关的圆锥曲线题

陈荣海

圆锥曲线问题的显著特点是解题过程中的运算量较大.如何简化运算是同学们需重点思考的问题.事实上，对于一些与直线有关的圆锥曲线问题，可运用直线的参数方程来简化运算.

若直线l上任意两点AB所对应的参数分别为t1，t2，则A（x0+t1cosα，y0+t1sinα）、B（x0+t2cosα，y0+t2sinα）.由直线参数方程中参数t的几何意义可知，|t1|=|P0A|，|t2|=|P0B|，显然t1、t2、|t1|、|t2|的大小均由点P0与点A，B的相对位置决定，那么|P0A|±|P0B|=|t1|±|t2|，

下面结合实例，谈一谈如何运用直线的参数方程解答与直线有关的圆锥曲线问题.

解：（1）设直线AP的倾斜角为α，

所以直线l的斜率为-1.

（2）设α为锐角，由于直线AP，AQ的斜率之和为0，故直线AP，AQ的倾斜角互补，

所以2α+∠PAQ=π，即∠PAQ=π-2α.

我们先根据题意设出直线AP、AQ的参数方程；然后将其代入双曲线的方程中，构造出关于t的一元二次方程，即可将AP、AQ对应的参数t1、t2看作方程的两个根，根据韦达定理建立关于两根t1、t2的关系式；再根据t1、t2的关系，利用直线的斜率公式、三角形的面积公式進行求解即可.运用直线的方程来解答圆锥曲线问题，能有效地减少运算量，降低解题的难度.

（1）求椭圆E的方程；

（2）如图2，过点P（-2，1）作斜率为k的直线，与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.若|MN|=2，求k的值.

化简得-4sinαcosα=sin2α，且sinα≠0，

故tanα=-4.

所以k的值为-4.

先设出直线BC的参数方程，将其与椭圆的方程联立；然后构造出一元二次方程，并将AP、AQ所对应的参数t1、t2看作方程的两个根，即可根据韦达定理建立关于t1、t2的关系式；再用t1、t2表示出|MN|，便能将问题转化，快速获得问题的答案.

（2）设α为直线PN的倾斜角，

=1，

故N，H，A三点共线，所以直线HN过定点A.

我们利用直线的参数方程，根据韦达定理得到t1、t2的关系，即可将M、N、T三点的坐标用t1、t2以及三角函数表示出来.再根据向量的共线定理判定N、H、A三点共线，就能确定点A与直线HN的位置关系.

一般来说，对于一些动直线过定点问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题、与直线有关的图形面积问题、圆锥曲线中的距离问题，巧用直线的参数方程来求解，不仅能大大地减少运算量，还能化繁为简，达到事半功倍的效果.