二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法

陈霖

纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知識，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.

一、割补法

在平面直痛坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解;补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过 “转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.

例1  如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y = x2+2x-3交x轴于点A，B，在y轴上有一点E（0，1），连接AE.

（1）求直线AE的解析式；

（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值.

解：（1）∵y=x²+ 2x- 3 =（x + 3）（x-1），∴当 y = 0 时，x1=-3，x2=1，

∴点A的坐标为（-3，0），

设直线AE的解析式为y = kx + b，

二、铅垂法

如图2，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h）.我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值，往往可以转化为求铅垂高的最值，当铅垂高取得最大值时，三角形的面积最大.

例2已知：如图3，抛物线：y = ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点尸运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

解：

三、切线法

切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，将三角形的一边作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值. 将底边所在的直线平移，与抛物线只有一个交点，即相切时，两直线的距离即高的长度最大，然后将直线与抛物线的解析式联立方程组，求出切点的坐标，此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求川最值.

例3  如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B. 抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，且对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一交点为点C.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E 的坐标，及△ABE面积的最大值S.

解：⑴在y =-x-4中分别令x = 0，y = 0，可得点 A（-4，0），B（0，-4），

根据A，B坐标及对称轴为直线x=-1，

可得方程组

解方程组可得：

∴抛物线的函数表达式为;

（2）设点E的坐标为（m，+ m - 4），

当△ABE的面积最大时，点E在抛物线

上且距AB最远，

此时E点所在直线与AB平行，且与抛物线相切，只有一个交点，

设点E所在直线为l：y = -x + b，

联立得方程组：

消去 y，得：

据题意得，

解得b = -6，

∴直线l的解析式为y=-x-6，

联立方程，得

解得：

∴点 E（-2，-4），

过点E作y轴的平行线交直线AB于H，此时点 N（ -2，-2），EN=-2- （-4） =2，

∴S△ABE=

△ABE面积的最大值为4.

四、三角函数法

对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中，只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数，就可以用三角函数式表不出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式，求出三角形面积的解析式，利用二次函数的性质即可求得面积最值.

例4  如图5，已知抛物线y=-x2 + bx + c 经过点A（-1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C.（l）求抛物线的表达式；（2）设抛物线交 y轴于点C，在抛物线上的第一象限上是否存在一点P，使△PAC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PAC面积的最大值;若不存在，请说明理由.

解：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+ bx+c，

可得，解得，

∴抛物线的解析式为： y = -x² - 2x + 3 .

（2）如图5，作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，作PM⊥AC于点M.

设直线AC的解析式为y = mx + n ，

把B（-3，0）、C（0，3），

代入得，解得

故直线BC的解析式为y = x+ 3.

设点P的坐标为（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0），则点F的坐标为（x，x+3）.

由A、C坐标可知，AC = 3，

当

即

所以存在一点P，使△PAC的面积最大，最大值为，P点坐标为（）.

通过对以上四种方法的分析介绍，相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法，在二次函数的综合题中再出现求图形面积的最值问题，就能轻松应对了.