以图促教，以图促学：“一图一课”的教学案例

蔡勇

本研究尝试一节课选取一个图形，以这个图形为起点，通过层层剖析前后知识的联系，不断丰富知识的建构，达到训练某一类题型或者学习某一项知识者某一项数学方法的目的.这样的课型条理清晰，在抽丝剥茧的深入挖掘中，学生的思维能得到深度锻炼，提升对数学本质的认识.下面将几个不同课型的教学案例与大家分享.

1 发展内涵型课例

这类课型是以图形为起点展开教学的，图形是该课知识的主干，在此主干的基础上不断地丰富和完善“枝叶”，让知识之树“枝繁叶茂”.这样的教学方式通常有利于体现知识之间的联系，由一个知识点向外延伸，也能不断挖掘知识的深度，强化学生思维的深刻性.

案例1  复习直角三角形

（1）猜一猜：如图1，在△ABC中，∠C是直角，你能想到哪些结论？

（2）试一试：如图1，在△ABC中，∠C是直角，AB的长度是10，你能计算出△ABC的面积吗？

（3）编一编：如图1，在△ABC中，∠C是直角，AB的长度是10，添加一个条件，并计算△ABC的面积.

回头望：①你是怎样想到添加这个条件的？

②选择一道其他同学添加条件的题，并评价这道题.

（4）想一想：如图2，在△ABC中，∠C是直角，AB的长度是10，BC的长度是6，若AB边上有一个动点D，你有什么想法呢？

（5）如图2，在△ABC中，∠C是直角，AB的长度是10，BC的长度是6，若AB边上有一个动点D，那么你能计算线段CD的取值范围吗？

①你认为解决这道题的突破点在哪里？

②应该用什么方法进行突破呢？

③猜一猜老师的命题意图是什么？

（6）进一步猜想：我们还可以研究动点D的哪些特殊位置？

感悟升华：在问题的引导下，学生从数学知识、思想、方法等方面进行总结.

思路评析：问题串的设计层层递进、环环相扣，题目内涵多样丰富，使学生在动静结合、自主解题与开放编题中思维不断深化，拓宽了思维的宽度，刺激学生从多角度进行思考.

2 阶梯型课例

在教学设计中通常从学生已有的知识经验入手，由易到难，由浅入深，增强学生学习的信心，通过层层递进，最后理解问题的本质和内涵，这类课型可以概括为阶梯型.

案例2  从日历中学知识

（1）初步了解

能说一说你对日历的了解嗎？你知道日历中有哪些知识吗？

（2）研究日历

第一层次规律：横向、纵向和斜向之间的相邻数之间有什么规律吗？相邻两个数的和最大是多少？

第二层次规律：日历中相邻的三个数之间有什么规律？（如图3，横向、纵向和斜向.）相邻的三个数的和与42之间有数量关系吗？与15呢？

第三层次规律：日历中相邻的四个数之间有什么规律？（横向、纵向和斜向.）相邻的四个数的和与42之间有数量关系吗？与15呢？

第四层次规律：在日历中用方框框中的四个数的和可以等于41或者42吗？请说明你的理由；如果不能，你能举出一个例子吗？

用正方形框框出9个数，如图4.

①图4中框出的9个数的和有什么规律吗？（试着寻找与方框中间的数之间的关系.）

②这样的关系具有普遍性吗？思考一下其他地方这样的方框是否也有同样的规律？试着用代数关系式来表示.

③这个关系是否对每一个月的日历都成立？

④请你用代数式表示其他这样的方框中9个数之间的关系？

⑤这样的9个数的和又有怎样的规律呢？能不能等于42或99？

第五层次规律：其他类型图案（如图5）.

（3）小组讨论

小组合作：在日历表中设计方框，寻找规律.

（4）知识应用

①根据规律思考：若今天周一，那么再过90天是周几？

②根据上述寻找日历表中规律的方法，你还能找到其他规律吗？

（5）小结：顺口溜

说起日历表，规律随便找；横向相差一，纵向差个七；标记可代替，关系莫忘记；虽然变化多，其实有统一.

思路评析：课堂教学要避免“打一枪换一个地方”，到处留有问题，但是都没有深入解决，导致学生摸不清思路.建议以一个问题为起点，进行深度挖掘，夯实学生的知识建构.

3 基础图形抽离识别型课例

几何图形千变万化，但是万变不离其宗.一些复杂的图形都是在基本图形的基础上变化而来的，这些基本图形构成了综合性问题的基础，使知识之间进行有效的链接.因此识别出基本图形是突破综合性几何问题的关键，体现数学化归思想.

案例3  认识基本数学模型

（1）基本图形的辨别：如图6，已知∠BAC的角平分线是AD，AD上有一点E，EF平行于AC，并与AB相交于点F，请问你可以得到什么结论？

（2）矩形ABCD中通过翻折得到如图7所示的图形，你能从中得到哪些结论？

（3）试一试，做一做，编一编：从图8～14的复杂图形中识别出基本图形，并通过添加条件进行证明或者解答.

（4）课后拓展：从图15与图16中选择一个基本图形进行拓展研究.

思路评析：基本图形是构成复杂图形的基础，也是解题的关键.通过识别基本图形的训练，帮助学生找到解决复杂问题的路径，使学生学会思考证明题的方法，进而提高解题效率.

2 以图形为中心的课型的教学策略

2.1 注重平时的收集和整理

以图形为中心的课程教学要呈现出知识之间的相互联系和交融，这样才能在课堂教学中体现出以重点知识为主干进行的教学设计.这就要求教师注意素材的积累，注意对知识关联性的收集和整理，以利于在教学设计时能有丰富的资源加以使用.

2.2 不断尝试，充分准备

以图形为中心的教学设计除了素材的准备还需要不断的实践，在实践中积累活动经验，这样才能使课堂目标越来越精准，教学环节更加流畅自然，所设计的教学活动也能体现出教学目标，实现教学重难点的突破.通过不断尝试，教师可以根据具体情况不断调整和优化，使教学活动的设计更加符合学情，也更加有针对性，实现学生认识的不断深入，帮助学生吃透知识、抓住本质[3].

2.3 付出更多的努力

以图形为中心的课型需要教师具备较强的基本功和专业素质，能够把握知识的内涵，又能将教学环节逐层推进，吸引学生的注意力.由于积累的素材少，缺少统筹整合的经验或是对知识的理解还不够深刻，都会影响到课堂教学的效果，因此在初期备课时需要付出更多的努力，花费更大的精力.通过一段时间的尝试和调整，设计过程会变得越来越轻松，设计视野也会更加开阔，设计立意也会有新的高度，学生的思维也将得到更有深度的培养.

为了提高课堂教学的效率，教师不仅自身要不断提升，还要对学生进行专题的辅导和训练，通过问题组的设计，让学生体会知识之间的相互联系，培养学生迅速找出问题本质的能力，提高学习效率.在教学活动过程中要注意题型设计的难度是否适中，让学生体会挑战难题的成就感，也要让不同层次的学生都能有所收获.

综上，以图形为中心的课型设计虽然不适用于所有课型，但是对于单元复习或者阶段性关联知识的学习可以起到非常好的推进作用.教师平时要注意用心积累、钻研教学，不断提高自己的能力，这样才能在课堂设计中发挥出更多的潜力和智慧，促进高效课堂的实现.