光学视角下的线段和最值问题解决策略研究

葛小东 丁永愿 冯润华

课题信息：本文系安徽省合肥市教育科学研究一般课题“初中数学几何思维可视化教学实践研究”（课题编号：HJG22055）的研究成果之一.

摘要：线段和的最值问题是初中数学的难点，为降低难度，许多师生按动点轨迹、式子类型等将该问题分为不同种类，这样使得问题的研究变得零散，运用物理中的费马原理和折射定律可使得该类型问题的解决具有统一性.

关键词：物理光学;最值问题;跨学科

1 问题提出

线段和的最值问题可以分为以下几类：将军饮马系列，胡不归系列，阿氏圆系列，费马点系列等.这些问题主要考查三角函数、相似三角形、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，渗透了对称、旋转、平移等图形变化，是初中几何问题中的难点.这几类问题的解答带有一定的特殊性，当问题推广到更一般的情况时又该如何解决呢？

问题  如图1，求mPA+nPB的最小值，其中m≠n，且m与n均为正常数.

2 问题解析

该问题可看作加权将军饮马问题，以学生目前掌握的最值模型是无法解决的.要解决这类问题，我们先了解光的两大原理.

费马原理：光在介质中传播总是选择耗时最少的路径.该原理也被称为“最小时间原理”.

折射定律：如图2，当光线从介质1中的点M照射到介质Ⅱ中的点N时，sin isin r=V1V2（i，r分别指入射角和折射角，V1，V2分别为光在入射介质与折射介质中的速度）.

根据费马原理和折射定律，可得当sin isin r=V1V2时，t=OMV1+ONV2有最小值.

如图3，作点B关于直线l的对称点B′，mPA+nPB=mPA+nPB′=PA1m+PB′1n，根据上述光学知识，在直线l上确定点P，使得sin αsin β=1m1n=nm，即当msin α=nsin β时，mPA+nPB有最小值.

结论1：如图3，动点P在直线l上运动时，在直线外有两定点A，B，过点P作直线l的垂线，当msin α=nsin β时，mPA+nPB有最小值.

特别指出，当α=β时，图3就是将军饮马模型；当α=90°时，图3就是胡不归模型.

3 推广论证

下面将结论1进行推广，将动点P的轨迹从直线推广至圆.

结论2：如图4，当动点P在圆O上运动时，在圆外有两定点A，B，作射线OP，可得当msin α=nsin β时，mPA+nPB有最小值.

下面将该结论继续推广至加权费马点问题：

在△ABC内找一點P，使得mPA+nPB+kPC最小.（这里m，n，k均为正常数.）

该问题可以通过旋转、相似来解决，这里方法不再展示.下面主要介绍运用结论2解决该问题的方法.

由于mPA+nPB+kPC=mPA+nmPB+km＼5PC，[JP3]因此该问题可看作PA的长度固定，研究nmPB+kmPC的最小值.如图5，以A为圆心，PA为半径作弧，则根据结论2可得，当nk=sin ∠CPDsin ∠BPD时，nmPB+kmPC有最小值.

同理，mPA+nPB+kPC=nmnPA+PB+knPC，可看作PB的长度固定，研究mnPA+knPC的最小值，如图6，根据结论2可得，当mk=sin ∠EPCsin ∠APE时，mnPA+knPC有最小值，即当sin ∠EPC∶sin ∠CPD∶sin ∠BPD=m∶n∶k时，mPA+nPB+kPC有最小值.

结论3：[JP3]如图7，在△ABC内存在一点P使得sin ∠BPC∶sin ∠APC∶sin ∠APB=m∶n∶k，则mPA+nPB+kPC有最小值.（其中m，n，k均为正常数.）

至此，初中常见的线段和的最值问题均运用光学定律完成证明.

4 结论的应用

例1  求y=2（x－1）2+4+（x－8）2+9的最小值.

解析：设P（x，0），A（1，－2），B（8，3），则y=2（x－1）2+4+（x－8）2+9=2PA

+PB=PA0.5+PB1，如图8.由结论1可得，当sin αsin β=0.51，即sin β=2sin α，亦即PNPB=2PMPN时，2PA+PB有最小值.

由8－x（8－x）2+9=2（x－1）（x－1）2+4，解得x=2，即当x=2时，2PA+PB的最小值为55.

故所求的最小值为55.

例2  已知A（4，0），B（0，4），点P在以O为圆心，2为半径的圆O上运动，求AP+PB的最小值.

解析：该问题是典型的古堡朝圣问题，如图9，作射线OP.由结论2可知，当∠BPM=∠APM时，PA+PB有最小值，此时∠POB=∠POA=45°，可得点P的坐标为

P（1，1），则PA+PB=210.因此AP+PB的最小值为210.

例3  P是等边三角形ABC内的一点，已知△ABC的边长为4，求PA+2PB+PC的最小值.

解析：根据结论3可得，当sin ∠BPC∶sin ∠APC∶sin ∠APB=1∶2∶1时，PA+2PB+PC有最小值.如图10，由∠BPC=

∠APB=135°，且∠APC=90°，易得AP=CP=22，PB=23－2.

故PA+2PB+PC的最小值为26+22.

5 结语

5.1 跨学科提高学生对知识的理解

本文中提到的折射定律严格意义上来说是以费马原理为依据，运用求导等数学方法论证得来的，但对于初中生来说，求导论证显然是超纲且困难的，但是将物理结论运用到数学解题中，使得学生对线段和最值的系列问题有了整体的认识.从数学和物理学的角度来说，物理离开了数学几乎寸步难行，而有时候将数学问题转化为物理情景赋予物理意义可轻松解决［1］. 线段和的最值问题也可以运用位能最小原理解决，线段比值问题可以运用杠杆原理解决，等等.跨学科促使学生建立学科间的联系，帮助学生把所学知识融会贯通，形成对知识的整体性和系统性的认知.提高学生的学习兴趣， 培养学生的创新意识和综合能力.

5.2 跨学科促进教师专业发展

在新课标的理念下，教师不能仅仅专注于数学知识的教学和研究，也要加强对数学学科交叉处综合性较强的知识的理解.跨学科教学可以促进教师不断去学习新的知识和新的教学技能，且能促进学科之间的交流和碰撞，拓展教师的教学视野，促进教师自身的专业发展和综合素质的不断提高.

参考文献：

［1］邹生书.一个几何最值的物理证法及应用［J］.中学数学杂志，2010（3）：35-37.