贴着儿童行走：小学“做数学”学习素材的特征与开发策略

江苏省南京市建邺区教师发展中心 范韦莉

“做数学”是数学学习的重要方式，在学生的认知心理与抽象的数学知识之间搭建了桥梁。在实施“做数学”的过程中，教师是否能设计概括出概念和为发现性质所需的学习素材、提供丰富且真实的应用问题，显得尤为重要。这些是学生能否理解数学本质的重要基础。

一、“做数学”的基本内涵

美国匹兹堡大学在QUASAR研究项目成果中提到，“做数学”是高认知水平层次的任务，它要求学生探索和理解数学观念、过程和关系的本质，在多种表达形式之间建立联系，教师至少在一开始时不会介入，需要学生独立分析任务并找出对问题解决策略可能起限制作用的因素。

董林伟认为，“做数学”是学生运用材料和工具，在动手、动脑相协同的过程中，通过操作体验、数学实验、综合实践等活动，理解数学知识、探究数学规律、解决数学问题的一种数学学习方式，是发展学生数学核心素养、实现数学学科育人的一种范式。

结合教学实践，笔者认为，“做数学”在小学数学学习中是一种在实际操作过程中发现式与探究式的学习方式，其本身是学生认识数学事实、发现数学规律的方法和手段，也是渗透数学思想、积累数学活动经验的重要载体。“做数学”分为两个层次：一是学生在教师创设的问题情境下调动各种感官参与数学认知活动，通过观察、操作、实验、猜想、计算、推理、归纳、迁移等活动获得抽象的数学概念和数学原理的直接体验，在大脑里产生直觉、形成逻辑链；二是在掌握了足够多的知识后，学生能主动探索未知的数学世界，并能运用数学工具和掌握的数学方法发现新的数学事实或关联，从而创造性地解决问题。

“做数学”在小学阶段有很多任务类别，包含数据收集、方案设计、定期观察、动手制作、实验操作、数学游戏、探索规律等。需要指出的是，无论哪种类型，“做数学”绝不仅仅是对实物进行操作，而是发展学生手脑协同、做思共生、融创一体的建构活动，尤其在那些看上去简单但处于基础地位的核心概念、原理的学习上，更要强调学生通过动手“做”获得亲身感悟，形成数学知识“是什么”的本体论认知，产生数学知识“为什么是这样”的方法论感悟，获得对数学知识“可以向哪儿去”的精神追求。更为重要的是，学生能够在通过“做数学”主动参与数学学习的过程中获得理性精神、创新意识及实践能力的持续发展。

二、小学“做数学”学习素材的特征

澳大利亚墨尔本大学教授约翰·哈蒂曾对138项教学因素按照影响力进行综合分析，得出一个重要的结论：影响学生学业成就最重要的一个因素就是一定要让学生产生对自己的挑战性期望。的确，学生所投入的思维水平决定了他们将会学到什么，若提供的学习素材较为熟悉或简单，学生就能以常规的方式完成一个熟记于心的程序任务，长此以往，学习则缺失了一种思维的高峰体验。这与新课标所倡导的学生应具备在真实情境下解决复杂问题的能力的理念背道而驰。

因此，提供给学生的“做数学”学习素材往往具备一定的挑战性。起初，学生可能会产生担心或者焦虑的心态，因为这样的学习素材并没有提供一条明显的解决问题的途径，也就是没有一个可以直接得到答案的步骤可以用于解决整个问题。学生无法直接套用现有的知识，而是需要用算法化的复杂思维。这类学习素材要求学生能深层次地探索和理解概念，其重点在于学生能够独立或者在教师适当的指导下找到内隐的数学结构，在历尽“千辛万苦”后才能到达成功的彼岸。

三、小学“做数学”学习素材的开发原则

反观目前的小学数学学习，教师衡量学生成功与否的标准主要是测试的分数，而对学生的学习兴趣、学习能力、学习动机、学习信念等关注不够，由此造成了教学形式单一、学习过程乏味等问题。要打破这一常态，教师可以依托“做数学”，开发与课程内容相契合且符合学生发展规律的学习素材，以此丰富学生的学习历程。考虑到教材的逻辑结构、学生的数学现状以及不同年龄段学生的思维特点，笔者总结了以下开发策略。

（一）既“有趣”又“烧脑”

形式要“有趣”。保护好学生的好奇心是教师的首要责任。因此，素材的选取首先要考虑的就是素材本身要简明易懂，学生不需要花大量的时间在阅读和理解题意上；其次要新颖有趣，能极大地激发学生学习的兴趣、引发学习的好奇、调动学习的热情，使学生以一种积极的态度浸入“做数学”的多重活动中。

内容要“烧脑”。由“迷惑”到“顿悟”有时只在一念之间，“做数学”学习素材在这一念之间提供了更完整的学习过程，学生在想象性的尝试中不断重构认知。教师可以设计层层递进的数学问题，引导学生用一种放慢了的节奏去体味数学，通过操作将外部活动转化成思维活动和心智活动，引领学生在“求而不得、迷雾缭绕”中发展高阶思维。需要指出的是，“做数学”学习素材与一般的综合实践素材要有所区别，应突出对数学知识本质的理解。

例如，在学习完苏教版数学六年级上册第一单元“长方体和正方体”之后，教师通过创设“包装多米诺骨牌”的情境，设计了“怎样包装，表面积最小”的“做数学”素材：一块多米诺骨牌长3cm、宽1cm、高5cm，小致想送三块多米诺骨牌给小远，可以怎样包装呢？这样的活动既有较强的实践性，又有一定的趣味性。学生通过实物操作和数据分析，初步感知包装的表面积与重叠面的大小有关。

接着研究：如果小致送四块多米诺骨牌给小远，可以怎样包装呢？这样的活动可以为学生发现内隐的数学结构积累经验，同时促使学生感受包装方法的多样性。（如图1）

图1

通过观察，学生发现：重叠面越大，表面积越小。要想接着往下研究，必然要深入数学的内核。然而，由形到数的分析非常“烧脑”，需要教师引导学生有序地将这些图形的表面积按从大到小的顺序排一排。学生在数据分析中提出猜想：在体积一定的前提下，长、宽、高越接近，表面积越小。

（二）既“合力”又“合智”

“做数学”是一种共同合作、共同协商的活动，它强调了“做”的主体多元性与形式多样性的特点。

首先，“做数学”学习素材要有利于学生采用分组的方式探究，构建“伙伴式”学习共同体，推动学生通过合作、会话、协商等多维度交互的方式共同参与“做数学”活动。

其次，“做数学”学习素材要能适合不同学习风格的学生，使其能够最大限度地发挥长处和优势，建立学习自信。

最后，“做数学”学习素材要为学生创设交流与共享的平台，允许学生的观点在和其他学生以及教师共同建立的社会协商环境中受到质疑与评论，讨论的结果有可能使原来确定的、与当前认知有关的属性增加或减少，在汲取众人智慧后使复杂局面逐渐明朗一致起来。

例如，在上述“怎样包装，表面积最小”一课中，对“如果小致想送六块多米诺骨牌给小远，要想用的包装纸最少，你推荐他用哪种？”展开了探究。教师提供了八种方案（如图2）。有的学生计算每种图形的表面积，通过比较得出结论；有的学生基于已有经验，将目光聚焦于其中的几种；还有的学生凭借数学直觉，直接探寻方法7和方法8。然而，交流中出现了争议，有的学生觉得方法7所拼的图形表面积最小，有的学生则认为方法8的图形表面积最小。由此，学生自发组建学习共同体，在协同性探究中进一步寻找使用包装纸最少的情况。经过计算与比较、拼搭与推理，学生发现方法7与方法8都是使用包装纸最少的情况。学生还通过希沃白板的克隆功能进一步验证，在分析拼摆的过程中，学生发现两种方法都重叠了相同个数的“3×5”的面，再次说明两种方法都是表面积最小的情况。学生通过“合力”“合智”，从数与形两个方面对探究活动做出了解释与说明。

图2

（三）既“成功”又“成长”

“做数学”的最终目的不只是满足于完成某一项任务或获取某些事实性的科学原理，还应该更注重培养学生学习与应用数学的各种能力、认识现实世界的一般方法以及随之而来的对数学价值的体悟和积极的态度与热情等。具体表现为以下两点：

1.在步步推进中实现意义建构。“做数学”可以让学生体会操作材料的价值。这就要求教师设计的学习素材，应符合不同思维水平的学生，使其在获得成就感的同时，能感受到自我知识的局限性，产生进一步研究的欲望，实现在数学学习中的“个性化”发展，最终完成对研究问题的意义建构。

2.在完善认知中增强数学情感。“做数学”学习素材还应帮助学生从由教师指导下进行学习转向更自觉的学习，并有可能在数学学习中获得一些积极良好的情感体验，在共享集体思维成果的基础上对当前所学形成较为全面、正确的理解，在徐徐展开的过程洗礼下获得精神的成长与人格的提升。

上述课例中，学生经历了一系列的“做数学”活动，最终得出了结论：体积一定时，重叠的面越大，拼成长方体的长、宽、高越接近，表面积就越小。然而，教学不能只停留在操作层面，更要帮助学生根据所接受的准则关注解决问题的一般化策略，促使学生对现有知识的学习走向“思维中的具体”。

学生体会到若增加小长方体的个数，不能每次都摆一摆，这样太麻烦了，由此自发产生“在体积一定的前提下，想找出长、宽、高最接近的情况，有没有什么更好的方法？”的诉求。以“包装六块多米诺骨牌最少需要90cm2”为例，构建90＝（ ）×（ ）×（ ）这样简洁的表达方式。学生将五年级学习的分解质因数迁移至此，通过先拆数再组合，最终找到90可以拆成3、5、6这三个比较接近的数的乘积。具备了这样的解决问题的策略，无论包装多少块多米诺骨牌，学生都可以在不动手操作的情况下快速找到表面积最小的情况，真正地实现了“做”是为了“不做”。此环节更强调方法的习得和科学精神的养成，使学生形成锲而不舍的钻研精神和探究能力。

总之，“做数学”学习素材应该为学生提供现实的、有意义的、富有挑战性的数学学习过程，为学生形成数学的思维方式提供有效载体。在今后的实践中，笔者也将根据“做数学”和问题解决之间的循环反复过程统整开发学习素材。在此，笔者也呼吁广大一线教师能够关注到“做数学”，助力“做数学”真正成为课堂教学的常态。