抽象函数不“抽象”

冼虹雁

引例：（2023年高考全国Ⅰ卷第11题）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）=y2f（x）+x2f（y），则（）

A．f（0）=0B．f（1）=0

C．f（x）是偶函数 D．x=0为f（x）的极小值点

分析：本题题干简洁，但内涵丰富．主要考查了抽象函数的值及性质，要求考生在理解抽象函数概念的背景下，探析问题的本质，会通过化归转化思想、方程与函数思想运算求解，对数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养都有较高的要求．注意到本题中的x，y具有任意性，结合选项对变量x，y赋特殊值0，1，-1等即可．

解析：由f（xy）=y2f（x）+x2f（y），

令x=y=0，f（0）=0f（0）+0f（0）=0，故A正确．

令x=y=1，f（1）=1f（1）+1f（1），则f（1）=0，故B正确．

令x=y=-1，f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1），则f（-1）=0，

再令y=-1，f（-x）=f（x）+x2f（-1）=f（x），

又函数f（x）的定义域为R，所以f（x）为偶函数，故C正确．

对于D，不妨令f（x）=0，显然符合题设条件，此时f（x）无极值，故D错误．故选ABC．

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足条件的函数，如函数的定义域、递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等．它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点．由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解起来比较困难，所以求解抽象函数的问题需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力．抽象函数的试题在近几年的高考中均有不同的形式出现．以下是笔者总结的探究抽象函数问题的常见方法策略，以期抛砖引玉．

一、赋值策略

赋值策略是指根据题目所给条件，通过观察、分析、类比、联想等思维活动，对变量赋予特殊值或特殊式，从而使问题解决，并具有一定的规律性．这种策略在解决抽象函数问题时具有独特的功效，它简单方便，是探求抽象函数问题的一种常用的思维策略．

二、整体策略

这类问题只要紧紧抓住：将函数f［g（x）］中的g（x）看作一个整体，相当于f（x）中的x这一特性，问题就会迎刃而解．

例2．已知函数f（-x2+4x-1）的定义域为［0，m］，则可求得函数f（2x-1）的定义域为［0，2］，求实数m的取值范围．

解析：∵函数f（2x-1）的定义域为［0，2］，即0≤x≤2，∴-1≤2x-1≤3，

∴函数f（x）的定义域为［-1，3］．

令t=-x2+4x-1，则-1≤t≤3，由题意知，当x∈［0，m］时，t∈［-1，3］，作出函数t=-x2+4x-1的图像.

由图可得，当2≤m≤4时t∈［-1，3］，∴实数m的取值范围是2≤m≤4．

点评：本题中f（-x2+4x-1）、f（x）、f（2x-1）中的x不是同一个量，当f（x）的定义域为［-1，3］时，f（-x2+4x-1）和f（2x-1）分别是-x2+4x-1和2x-1的函数． 解答的

三、“定义”策略

（1）求证f（x）是奇函数；

（2）求f（x）在区间［-3，3］上的最大值和最小值．

解析：（1）证明：令x=0，y=0可得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．

令y=-x可得f（-x）+f（x）=f（0）=0，所以f（-x）=-f（x）．

函数定义域为R，所以f（x）是奇函数．

（2）先证明函数的单调性，证明过程如下：

任取x10．

因为f（x+y）=f（x）+f（y），

所以f（x1）-f（x2）=f［（x1-x2）+x2］-f（x2）=f（x1-x2）+f（x2）-f（x2）

=f（x1-x2）>0，即f（x1）>f（x2），所以f（x）在R上单调递减．

所以f（x）min=f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=3f（1）=-1，

f（x）max=f（-3）=-f（3）=1．

点评：本题考查了抽象函数奇偶性、单调性的综合应用，解题的关键紧扣定义、精巧赋值，请特别留意在证明奇偶性、单调性的赋值技巧．

四、“穿脱”策略

加上函数符号“f”即为“穿”，去掉函数符号“f”即为“脱”．对于有些抽象函数，可根据函数值相等或函数的单调性，实现对函数符号“f”的“穿脱”，以达到简化解题的目的．

（1）证明：f（x）在定义域上为增函数；

（2）若f（2a+1）>f（4a），求a的取值范围．

点评：本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及解抽象函数不等式．根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函數的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成如f［g（x）］>f［h（x）］后再利用单调性和定义域列不等式（组）．

五、数形结合策略

遇到有关抽象函数问题，一定要有数形结合的思想意识，其关键是画图、用图．一般来说，抽象函数无图像，但可根据题设中所给的抽象函数性质，画出符合题意的草图，通过观察、对比，运用数形结合思想全面判断，并做定量分析，可使抽象函数形象化、具体化、直观化，从而减少推理、计算量．

例5．已知定义在R上的函数f（x）在（-∞，-4）上是减函数，若g（x）=f（x-4）是奇函数，且g（4）=0，则不等式f（x）≤0的解集是（）

A．（-∞，-8］∪（-4，0］

B．［-8，-4）∪［0，+∞）

C．［-8，-4］∪［0，+∞）

D．［-8，0］

解析：∵g（x）=f（x-4）图像的对称中心为（0，0），

∴函数f（x）图像的对称中心为（-4，0）．

又函数f（x）在（-∞，-4）上是减函数，

∴函数f（x）在（-4，+∞）上为减函数，且f（-4）=g（0）=0．

∵g（4）=f（0）=0，∴f（-8）=0．

画出函数f（x）图像的草图（如图）．

结合图像可得f（x）≤0的解集是［-8，-4］∪［0，+∞）．故选C．

点评：本题考查抽象函数的性质及利用数形结合求不等式的解集．解题时要从函数f（x）的性质入手，同时也要把函数g（x）=f（x-4）的性质转化为函数f（x）的性质，进一步得到函数f（x）的单调性和对称性，进而画出其图像的草图，根据图像写出不等式的解集．其中在解题中不要忘了f（x）是定义在R上的函数，故应该有f（-4）=g（0）=0这一结论，即函数f（x）的图像中要有（-4，0）这个点．

六、模型策略

模型策略，就是根据题设所给的抽象函数性质，通过联想与类比，大胆猜想生成抽象函数的原始模型，作出目标猜想，利用模型函数的有关性质去探索解题方法．对于选择题和填空题，可用模型函数直接解决．对于解答题，模型函数只能起到启迪思路、检验结论的作用，解题时还必须从题设条件出发加以演绎推理，再证明或运算，切不可用特殊代替一般，发生逻辑上的错误．

点评：高中阶段所学的抽象函数大都是由特殊的、具体的基本函数为背景的．所以解题时，若能先从探究函数模型入手，通过对题设条件的结构特征进行观察、分析、类比、联想，化抽象为具体，寻找出具体的函数模型，进而快速求解．熟练掌握一些具有特定结构特征的基本初等函数类型（特别是幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数等），为解决此类问题的特殊函数模型思维提供理论依据，也是综合创新应用的基础．常见抽象函数方程对应的原型函数见下表．

f（x）在-e-12，0上单调递增，在（-∞，e-12）上单调递减．

显然，此时x=0是f（x）的极大值，故D错误．

七、“结论”策略

涉及抽象函数综合创新应用问题中，经常需要用到一些函数的基本性质，如函数的奇偶性、单调性以及周期性、对称性等相关的结论．借助相关的基本性质结论，可以很好快捷分析与推理，借助相应的数学运算、逻辑推理、直观模型等来综合应用，从而优化过程，提升效益．

1.对称的常见形式与结论

2.双对称（轴对称、中心对称）与周期性

例7．已知定义域为R的函数f（x）满足f（3x+1）是奇函数，f（2x-1）是偶函数，则下列结论错误的是（ ）

A．f（x）的图像关于直线x=-1对称

B．f（x）的图像关于点（1，0）对称

C．f（-3）=1

D．f（x）的一个周期为8

解析：由题意知f（3x+1）是奇函数，即f（-3x+1）=-f（3x+1），∴f（-x+1）=-f（x+1），

即f（-x+2）=-f（x），即f（x）+f（-x+2）=0，

故f（x）的图像关于点（1，0）对称，B正确；

又f（2x-1）是偶函数，故f（-2x-1）=f（2x-1），∴f（-x-1）=f（x-1），

即f（-x-2）=f（x），故f（x）的图像关于直线x=-1对称，A正确；

由以上可知f（x）=f（-x-2）=-f（-x+2），即f（x-2）=-f（x+2），

所以f（x+4）=-f（x），则f（x+8）=-f（x+4）=f（x），

故f（x）的一个周期为8，D正确；

由于f（-3x+1）=-f（3x+1），令x=0，可得f（1）=-f（1），∴f（1）=0，

而f（x）的图像关于直线x=-1对称，故f（-3）=0，C错误，故选C．

点评：此类抽象函数的性质的判断问题，一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答．比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决．解析过程中使用了部分“二级结论”，确实起到了“事半功倍”的效果．但需要提醒的是：解题时不要盲目“死记硬背”、“生搬硬套”，一是因为这些性质结论非常多，本文只节选了部分；二是因为考题不是“一成不变”而是“千变万化”的．数学学习只有回归本源，注重数学概念的本质与内涵，加强知识间的联系及综合，关注数学思想方法，突出思维的灵活性、深刻性，避免机械刷题．

八、“构造函数”策略

分析、解决“以抽象函数为载体，题设条件中设置与导数有关的不等式（或等式），且目标问题是求解相关不等式的解集，或者比较大小”问题时，往往需要我们结合加、减、乘、除的求导运算法则，灵活构造新函數，然后借助导数知识分析新函数的相关性质（如单调性、奇偶性），进而利用新函数的性质解决目标问题．

所以6 f（2021）＜3 f（2022）＜2 f（2023）．

故选A．

函数的特征是通过函数的性质（如特殊点、奇偶性、单调性、周期性、对称性等）反映出来的，抽象函数也不例外．要充分利用题设所表明（或隐含）的条件，灵活、综合选择合适的方法策略对解题能起到十分重要的作用．对于以上方法策略的理解、掌握、应用，则需要在平时的学习中多体会与感悟，这样才能游刃有余地解决此类问题．抽象函数问题才能峰回路转，柳暗花明．

精题集萃

1．已知函数f（x+1）的定义域为［-2，3］，则函数

2．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2），f（1）=4，则f（3）+f（10）的值为．

答案：4.

解析：由f（x+4）=f（x）+f（2），令x=-2，得f（-2+4）=f（-2）+f（2）．

又f（x）为偶函数，∴f（-2）=f（2），∴f（2）=0．

∴f（x+4）=f（x），∴f（x）的周期为4．

又f（1）=4，

∴f（3）+f（10）=f（-1）+f（2）=f（1）+f（2）=4+0=4．

3．已知f（x）是定义域为R的偶函数，f（5.5）＝2，g（x）＝（x-1）f（x）．若g（x＋1）是偶函数，则g（-0.5）＝（）

A．-3B．-2C．2D．3

答案：D.

解析：g（x+1）为偶函数，则g（x）关于x=1对称，即g（x）=g（2-x），

即（x-1）f（x）=（1-x）f（2-x），即f（x）+f（2-x）=0，

∴f（x）关于（1，0）对称，又f（x）是定义域为R的偶函数，

∴f（x）=-f（2-x）=-f（x-2），

∴f（x-4）＝f［（x-2）-2］＝-f（x-2）＝-［-f（x）］＝f（x），即f（x-4）＝f（x），

∴f（x）周期为4，∴f（5.5）=f（1.5）=f（-2.5）=f（2.5）=2，

∴g（-0.5）=g（2.5）=1.5f（2.5）=3．故选D．

4．定义域为R的偶函数f（x）满足对x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈［2，3］时，f（x）=-2x2+12x-18，若函数y=f（x）-loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．

解析：∵f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，

令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），

又f（-1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），

∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．

∵函数y=f（x）-loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，

令g（x）=loga（x+1），则f（x）的图像和g（x）的图像至少有3个交点．

∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0

要使函数y=f（x）-loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，

则有g（2）>f（2），可得loga（2+1）>f（2）=-2，

5．（多选）已知函数f（x）为R上的奇函数，g（x）=f（x+1）為偶函数，下列说法正确的有（）

A．f（x）图像关于（-1，0）对称

B．g（2023）=0

C．g（x）的最小正周期为4

D．对任意x∈R都有f（1-x）=f（1+x）

答案：BCD.

解析：设f（x）=cosπx，易知BCD正确．

7．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）

答案：（0，+∞）.

8．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x>1时，f（x）>0，且f（x·y）=f（x）+f（y）．

（1）求f（1）；

（2）证明：f（x）在定义域上是增函数；

解析：（1）∵f（x·y）=f（x）+f（y），

∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0.