点声源入射下水下弹性球壳声散射分析

郑金焱,陈美霞,董文凯

(华中科技大学 船舶与海洋工程学院,湖北 武汉,430074)

0 引言

水下球形目标的声散射特性一直是水声技术的研究热点: 降低结构的散射声场能有效提高潜艇的隐身性能;研究目标的回波强度,可以提升主动声呐的远程探测距离。因此,研究目标的声散射特性具有重要的理论价值和广泛的工程应用背景。国内外围绕该问题在声散射理论、声散射计算方法以及实验模型等方面进行了广泛而细致的研究。

声波在水下传播时遇到障碍物时会产生散射。Strutt 等[1]提出了当球体尺寸远小于声波波长时散射声场的近似解。Morse[2]推导了任意频率的平面波入射下刚性球的散射理论解。Li[3]和刘国利[4]等研究了平面波斜入射情况下无限长弹性圆柱壳体的共振散射问题。对于散射问题,积分方程法也可得到严格解,用分离变量法求解Helmholtz 方程可以计算已知表面振速物体的辐射声场,并得到精确解[5]。Fawcett[6]给出不同流体填充下的弹性壳体散射声场解。朱凤芹[7]采用分离变量法推导出平面波入射下内部填充流体的弹性壳体散射声场表达式,利用数值方法分析了球体、球壳和柱壳的声散射频率特性并进行实验验证。

近年来,随着声散射研究理论和计算机技术的快速发展和不断深入,庄悦等[8]基于Boit 理论,建立了流体多孔球的散射模型,并采用数值的方法进行计算,简单讨论了不同沙子孔隙率和半径下沙粒的背向散射情况。Godin 等[9]利用无穷级数展开的形式,研究了低频球面声波对球形障碍物的散射问题。梁国龙等[10]从工程实际出发,用数值法分析了4 种情况下弹性球壳散射声场对矢量水听器测向影响的规律。李运思等[11]运用边界元法开展了刚性椭球颗粒的声散射数值研究,并采取一种声散射函数近似的计算方法研究了液体颗粒的散射。徐慧等[12]应用声学仿真软件,对球壳阵列下水下目标的隔声性能进行了相关研究。

在以往的研究中,散射体一般都为球形,Juan等[13]将研究方向进行拓展,用解析方法给出了长椭球和扁椭球在平面波作用下的精确解,对散射系数使用算法进行简化求取,并进行了数值讨论。Li 等[14]基于声散射理论,对具有多层介质覆盖的弹性球壳声散射进行研究计算,发现在低频时隐身效果显著提高。张健等[15]利用无穷级数中函数的近似形式,推导出了水下低频球面声波入射下阻抗球的散射声压渐进解的公式。何嘉华等[16]借助镜像源方法以及等效源原理,研究了阻抗半空间边界下二维圆柱的声散射问题。周彦玲等[17]基于经典Rayleigh 简正级数解的方法和有限元数值方法对水下球体目标进行计算,研究了球体散射的相位特性。吴杰等[18]针对敷设空腔覆盖层的弹性球壳进行仿真研究,得出敷设空腔覆盖层能够有效降低球体的目标强度,发现在一定范围内增大空腔覆盖层的物理参数可以有效增强结构的隐身性能。王明升等[19]通过声散射理论,采用分波序列的方法分析了液体球及弹性球在Bessel 波束作用下声辐射力的变化规律,并给出不同介质组合及壳层厚度对粒子的声辐射力的影响。臧雨宸等[20]通过理论推导给出柱面波入射下多层球的轴向声辐射力表达式,并进行了相应的数值计算。

前人所做的工作证明了研究规则目标的声散射问题具有工程意义,并且平面波入射下各种规则目标的声散射研究已经相当充分。然而在实际水声环境中,声源的情况复杂(如各种不规则形状的活塞声源、阵列声源),将其简化处理为平面波并不准确。点声源辐射的是球面波,在近场与平面波的特性有较大的区别,进而导致目标的散射声场特性差异较大。求取点声源入射下的散射声场,对复杂声源入射下的声散射研究工作具有借鉴意义。

文中首先从理论上推导出平面波与点声源球面波的关系,然后基于平面波入射下弹性球壳的散射声场,运用叠加法推导出在球面波激发下球体散射声压的精确解。同时,利用有限元软件验证理论结果的准确性。然后计算了球面波入射下刚性球、弹性球和弹性球壳的目标强度。以目标强度为出发点,对点声源与球心的距离进行量化,提出球面波近似为平面波入射的条件,并进行了相关讨论,最后以球体和球壳为例对球面波入射时的散射特性进行了分析。文中研究扩充了复杂声源入射下规则目标声散射特性的内容。

1 理论推导

1.1 折算因子

图1 所示为球坐标系 (r,θ,φ),其中坐标原点为球心O,点声源距离球心矢径为r1,声压测量点距球心矢径为r,点声源位于z轴上,平面波从z轴方向入射。

图1 球面入射几何模型Fig.1 Geometry model of spherical incidence

截取球体的xOz剖面进行分析,由三维无限大空间的Green 函数在球坐标系中的展开式,利用加法定理可以将点声源发散的球面波展开

式中:Pn为n阶Legnedre 函数;jn为n阶球Bessel函数;hn(1)为第1 类球Hankel 函数;k为流体自由波数。为简化分析,取单位点声源距离球心1 m 处声压为1 Pa,并略去时间因子exp(-iωt)。由于所研究问题为轴对称,所以式(1)中的球谐函数与方位角φ无关。

取r

由于Pn(-cosθ)=(-1)nPn(cosθ),所以入射波势函数化简为

式中,ϕin=i2n+1k(2n+1)(kr1)。

将入射平面波按球面波分解,势函数表达为

其中: φin=in(2n+1)。

将两者入射波势函数逐项相除,就可将球面波和平面波联系起来,得到折算因子

1.2 平面波入射下弹性球壳声散射

对于如图2 所示的弹性球壳,整个空间被分为3 个区域: 区域1 是外部流体空间,其密度、声速分别为ρ1、c1;区域2 是弹性球壳,其外半径为a,内半径为b,球壳密度为ρ0,纵波波速为CL,剪切波速为CT;区域3 是壳内流体介质,其密度和声速分别为ρ2、c2。

图2 弹性球壳及入射平面波Fig.2 Elastic spherical shell and incident plane wave

考虑一单位振幅的平面波沿z轴入射,将声波按球面波分解可表示为

式中,k1=ω/c1为壳体外部区域波数。

同理将散射声场Ps和内部声场P2写成球面波展开的形式

式中:k2=ω/c2为壳体内部区域波数;Bn和Gn为待定系数。

在弹性介质中引入标量势Ф和向量势Ψ,考虑到球体的轴对称性,标量势Ф和向量势Ψ可表示为

式中:Cn、Dn、En和Fn为待定系数;nn为球Neumann函数。

根据球坐标中应力与应变的关系，应用壳体表面上应力与振速连续的边界条件，可以列出确定上述各待定系数的矩阵方程

式中:D为6×6 阶矩阵;X为待求系数矩阵。

D和A中相应元素在文献[7]给出,根据Cramer法则,Bn的解为

式中:fn是用A代替D中的第1 列所得到的行列式;dn为方程的系数行列式。若球壳内部为真空,则去掉行列式fn、dn中第5 行第6 列即可。

若球壳内半径为0,弹性球壳退化为弹性球,此时弹性介质中的势函数去掉球Neumann 函数,矩阵D以及矩阵A变为3×3 阶的行列式,相应的系数Bn也发生变化,矩阵元素在这里不列出。

1.3 球面波入射下弹性球壳声散射

取球坐标 (r,θ,φ),坐标原点在球心O,球壳相关参数与平面波入射时一致,点声源距离球心距离为r1,同样截取模型的xOz剖面,建立如图3 所示的数学模型。

图3 弹性球壳及入射球面波Fig.3 Elastic spherical shell and incident spherical wave

球面波的入射声压取r

与平面波入射弹性球壳的散射声场表达类似,点声源入射下弹性球壳的散射声场在引入折算因子后表达为

式中:Qn为折算因子;系数Bn为平面波入射弹性球壳时的散射系数。

由于平面波入射下刚性球以及弹性球的散射理论已经相当成熟,这里引入折算因子后直接给出对应球面波入射下散射声压的解析解

式中:Ps1和Ps2分别为刚性球和弹性球的散射声压;bn为弹性球散射系数[7]。

1.4 球体近远场散射度量

为了描述目标的回声强弱或者反射能力的大小,定义回声强度

式中:SES为回声强度;r为测量点与目标的距离;θ为探测方位角;psca和pinc分别表示散射声压和入射声压。

考虑平面声波入射弹性球壳的问题,平面波的入射声压

代入回声强度的计算公式,可以得到相应的表达

由于球面波的声压幅值随距离不断衰减,为了方便与平面波的回声强度进行对比,对点声源的入射声场进行修正,可得

在声散射计算中,常用的另外一个量是目标强度STS,STS可由SES推出,在式(19)和式(20)取θ=π,r取一个足够大的距离,即可得到平面波和球面波远场处的目标强度

2 有效性验证

2.1 收敛性分析

为了保证SES、STS和散射声压计算结果的精性,需要对无限级数n进行截断,进行收敛性分析。

由式(19)和(20)可知,目标强度即回声强度固定一个θ,由此可知当目标强度满足收敛条件时,回声强度和散射声压也能够保证计算的精度,所以这里对目标强度进行相关讨论。

取点声源距离球心r1=4.4 m,测量距离球心r=1 000 m 处的声压幅值,球壳参数为外半径4 m,内半径0.04 m,外部流体介质为水,内部真空,计算当无因次频率ka=50 时,n=50、65、68 时的目标强度随ka变化曲线,结果如图4 所示。

图4 不同截断数下ka<50 时距离球心1 000 m 处目标强度Fig.4 Target strength at a distance of 1 000 m from spherical center with ka<50 under different truncation numbers

可以看出,ka>46,n=50 时和n=65 时目标强度曲线不一致,说明n=50 并不满足收敛性要求,而n=65 和68 时曲线保持不变,说明目标强度曲线已经收敛,即n=65 即可满足要求。为保证计算结果的准确性以及计算速度的快速性,后文计算结果涉及ka<50 的计算时,均取n=65。

2.2 仿真验证

在COMSOL Multiphysics 软件中,建立弹性球壳模型如图5 所示。

图5 弹性球壳几何建模Fig.5 Geometric modeling of elastic spherical shell

采用二维轴对称方法建立该模型,基本参数如下: 1) 单位点声源激励,入射频率为10 kHz;2) 点声源与球心距离为4 m,球壳材料为铝,纵波波速CL=6 040 m·s-1,横波波速CT=3 040 m·s-1,密度ρ0=2 700 kg·m-3;3) 球壳外部流体介质为水,声速c=1 500 m·s-1,密度ρ=1 000 kg·m-3,为了模拟无反射边界条件,在水域最外层设置完美匹配层(perfect matched layer,PML)。

验证方案: 保证球壳外半径a=0.5 m 不变,改变内半径b和球壳内部填充情况,计算距离球心10 m 的散射声压。为了方便曲线更加直观显示,对散射声压取级,即Lp=20lg(Ps/P0),P0=10-6Pa,并与前述的理论解进行对比,如图6 所示。

图6 有限元与理论解对比Fig.6 Comparison of the finite element method and theoretical solution

图6 中多组方案的理论计算结果与有限元(finite element method,FEM)结果对比显示,两者几乎完全吻合。由此证明,该理论方法用于计算水下弹性球壳的散射特性是可行且有效的。

3 数值计算与讨论

3.1 目标强度分析

3.1.1 各类球形目标的频响曲线

在工程中,弹性球壳通常内部不充水,鉴于此,文中考虑的弹性球壳内部均为真空。

在前述定义下,先计算了相同尺寸的刚性球、铝球和铝球壳的目标强度频响曲线。球体参数为外半径0.5 m,壳厚0.02 m,点声源距离球心4 m,外部流体介质为水,如图7 所示。

图7 各类球形目标的目标强度Fig.7 Target strength of various spherical targets

对比刚性球和弹性球的目标强度曲线,可以发现,在低频时,实心弹性球的散射主要贡献为刚性散射,弹性散射的贡献相对较少,随着频率的增加,弹性散射的贡献便体现出来,而且随着ka的不断增大,弹性散射的贡献更突出;对比刚性球和弹性球壳的频响曲线,可以看到,弹性球壳的目标强度曲线更加曲折,随着ka的增加,共振峰值越来越密集。而弹性球与弹性球壳对比显示,由于球壳刚度更低,球壳的弹性振动更容易被激发,在低频时就已经被激发引起共振峰。

3.1.2 弹性球目标强度

由于弹性球壳散射特性复杂,这里首先对弹性球进行分析,讨论点声源与球心距离改变时的目标强度曲线与平面波激励下的关系。

图8为a=0.5 m,ka<50,不同r1时的情形,材料为铝,外部流体介质为水。

图8 平面波入射下点声源离球心不同距离时弹性球目标强度Fig.8 Target strength of elastic sphere under different distances from point sound source to spherical center under plane wave incidence

从图中可以发现,当点声源与球心距离越来越远时,球面波的目标强度逐渐向平面波靠近,当距离足够远时,点声源发散的球面波波阵面已与平面波一致,球面波入射的TS可以用平面波代替,而且发现,当点声源在球体表面附近时,散射体的目标强度峰值相对于平面波会向左进行偏移。

为了确定点声源可以近似为平面波入射时距离球心的具体数值,也为了讨论点声源入射时与平面波的不同散射特性,做出如下定义,当点声源目标强度的声能量与平面波入射下的目标强度声能量相差小于等于10%时,认为此时点声源可以用平面波来近似。

保证ka不变的条件下,通过对目标强度总级进行对比,改变r1与a,对于弹性球发现存在如下关系

式中,rp为声能量相差等于10%的临界值,后文均求取该临界值并对其讨论分析。即在ka<50 条件下,点声源与球心的距离r1>14 倍铝球的半径时,点声源入射到散射球表面的声场已经非常接近平面波。

3.1.3 弹性球壳目标强度

对于弹性球壳,由于目标的声散射特性会随球壳的内外半径发生变化,所以将其分为2 类——薄壳和厚壳。为讨论方便,定义

式中,h为壳厚比,当h<0.01 时为极薄壳,0.010.1 时为厚壳。在声散射研究中更关注的是薄壳的声散射。相关参数设置除球壳内外半径发生变化,其他与弹性球保持一致,如表1所示对壳厚比进行不等间隔选取进行相关计算。

表1 壳厚比及球壳外径参数设置Table 1 Parameter setting of shell thickness ratio and outer diameter of spherical shell

对于不同半径,以h为横坐标,rp为纵坐标的曲线如图9 所示。

图9 不同壳厚比下rp 变化曲线Fig.9 rp corresponding to different shell thickness ratios

以单位半径的弹性球壳为例,从图中可以发现弹性球壳的规律与弹性球体的大有不同,当h=0.01 时,由于球壳太薄,点声源近似为平面波入射的距离减小,随着h的不断增加,rp会不断波动,这是因为激起了球壳不同的共振散射模态,当h越来越大时,rp与a的关系式趋近于弹性实心球。

另外还可以发现,不同半径的球壳点声源与球心临界距离的曲线趋势变化一致,从此图也可以得出同一厚度比下rp与a的关系。以h=0.01为例,可以得到弹性球壳的rp与a的关系为

同理也可以得到其他厚度比下的rp与a的关系式,绘制rp与a的曲线如图10 所示。

图10 不同外半径下rp 变化曲线Fig.10 rp corresponding to different outer radius

从图中可以观察到,在保持h一定的情况下,rp与a呈线性关系,当h=0.01 时,直线斜率较小,这是因为壳体厚度太薄,模态频率发生改变,临界距离出现了畸变现象;当h增大时,直线斜率会产生波动,即出现图9 所示的曲线曲折,当h足够大时,rp与a的关系式将退化为弹性球体的关系式,从此图中也反映了球壳计算过程中的相似性特征,即对于较大的球壳模型,可以缩比为半径较小的球壳进行实验分析。

3.2 散射特性分析

回声强度可以表达散射声场的周向强度分布。散射声场的分布不仅与点声源到球心的距离、声波的频率有关,也和球壳的参数相关,这里研究材料仍为铝,外部流体介质为水。由于上节求取了点声源近似为平面波的条件,此处分别计算了弹性球与弹球壳的回声强度指向性分布图,并进行分析。

3.2.1 弹性球回声强度

在点声源离球心距离分别为1.2a、4a和14a情况下,计算单位弹性球高中低频的回声强度,并与相应频率的平面波进行对比分析。图11(a)、(b)和(c)分别对应ka=0.5、ka=10 和ka=30 时的情形。

图11 平面波入射下不同ka 及点声源距球心不同距离时弹性球回声强度Fig.11 Echo strength of elastic sphere with different distances from point sound source to spherical center and different ka under plane wave incidence

图11(a)为频率较低时的曲线图,可以发现在低频时,随着点声源与球心距离的增大,球面波的回声强度向平面波靠拢,图形曲线逐渐趋近为心形,在距离较近时,球面波在θ=0°处幅值较大,在θ=180°处幅值较小,与平面波的情况恰好相反;图11(b)为中频情况,可以发现随着距离的增大,回声强度曲线图在θ=0°处开始出现较宽的主瓣,呈现出一定的指向性,同时出现旁瓣,对比主瓣和旁瓣,旁瓣声能分布较多,在距离为1.2a时,声能分布分散;图11(c)为高频情况,在距离球心较近时,声能也分散严重,随着距离的增加,声能分布集中,开始出现较多的旁瓣,同时出现主瓣,主瓣呈扁平状,在θ=0°处指向性最强,同时与平面波入射的曲线指向性相同。对比图11(b)和(c)可知,随着频率的增高,回声强度的前向散射角度逐渐变小,指向性趋近尖锐,指向性增强。

3.2.2 弹性球壳回声强度

对于弹性球壳,选取h=0.05为例进行分析,a=1 m,经前述计算可知点声源距离球心距离与球壳外径的关系为rp=20.71a,选取r1=1.2a、4a、21a绘制出不同ka的回声强度指向性分布图,并与相应频率的平面波进行对比,如图12 所示。

图12 平面波入射下不同ka 及点声源距球心不同距离时弹性球壳回声强度Fig.12 Echo strength of elastic spherical shell with different distances from point sound source to spherical center and different ka under plane wave incidence

从图12(a)中可以发现当点声源距离球壳较近时,回声强度曲线图呈葫芦形,形状类似偶极子源,具有周向方位分辨的能力,但与平面波对比看出曲线在头尾处有所区别,在距离为1.2a时,曲线形状不变,幅值增大;图12(b)为中频情况,当点声源距离球心较近时,回声强度指向性并不明显,声能分布分散,当距离越来越远时,声场指向性在轴线方向上出现主瓣,开角较大,主瓣形状呈扁纺锤形;图12(c)为高频情形,此时回声强度指向性较明显,可以观察到在θ=0°处存在主瓣,指向性最强,但是在其他方向上同时存在旁瓣,旁瓣声能分布较多,峰值较大,点声源距离球心较近时,曲线的旁瓣峰值更大,主瓣的宽度变窄,当点声源与球心距离越来越大时,回声强度曲线图向平面波靠拢。对比图12 的(b)和(c),发现随着频率的增高,曲线的波瓣数量也逐渐增多,主瓣的宽度变窄,指向性增强,主瓣逐渐变成扁平状,指向性趋近尖锐。

综合以上分析可以观察到回声强度随方位角的各种变化,数值讨论结果表明对于铝球体和铝球壳,回声强度曲线的幅值在相同方位角处不相同,指向性也有所变化,如果材料发生改变,或者球壳内部充液,指向性也会发生改变,这是由于不同材料的纵波、横波波速不相等,以及液体的存在,会引起壳体的不同共振散射模态。

4 结论

基于球谐函数展开的方法,获取了点声源球面波到平面波的折算因子,随后基于平面波入射下弹性球壳的散射声场,推导出点声源入射下球体散射的表达公式,并进行了有限元验证。在此基础上,基于目标强度给出了球面波可近似为平面波时,点声源与球心距离关系,得出以下结论。

1) 基于球谐函数展开解决了典型球状目标对球面波的声散射问题,并利用有限元验证了该方法的正确性。

2) 针对球面波可以近似为平面入射的问题,利用目标强度曲线的声能量差求取点声源到球心的临界距离,对于弹性球,临界距离与球体外径呈线性关系;对于弹性球壳,壳厚比和球壳外径是影响临界距离的重要因素,在保持壳厚比不变的情况下该距离与球壳外径呈线性关系;在壳厚比变化的情况下,该距离随外径的变化趋势一致。

3) 当点声源离障碍物较远时,散射体的回声强度指向性可以采用平面波入射时替代,但距离较近时,回声强度应利用折算因子来求取,同时得出了在无穷远处球面波可用平面波近似的论证。

文中工作对水下目标探测以及复杂声源入射下目标的声散射特性研究具有重要意义。后续将考虑利用叠加原理求解复杂声源入射下规则物体的声散射问题。