谈谈三类圆锥曲线问题的解法

费美能　夏建跃

在解答圆锥曲线问题时，我们经常会遇到定点问题、定值问题、定直线问题.这三类问题往往较为复杂，需在动点、动直线、动曲线的运动变化中找出一些不变的元素，据此建立关系式，求得问题的答案.下面结合实例，谈一谈这三类问题的解法.

一、定点问题

圆锥曲线中的定点问题一般是指根据题意判定某条曲线、直線恒过定点.在解题时，要先根据题意求出含有参数的曲线（直线）方程；然后将参数视为主元，将问题看作方程有无数个解的问题；再令方程中含有 x、y 的项的系数为零，建立方程（组），即可通过解方程（组），求得定点的坐标.

例1

解：

我们先设出 T 点的坐标；然后将其代入抛物线 C2 和圆 C3 的方程，建立关于 x、y 的方程：（1 - x 2 ）y 2 0 - 2yy0 +（x 2 + y2 - 4）= 0 ；再将其看作方程有无数个解的问题，据此建立方程组，求得 x、y 的值，即可求出定点的坐标.

二、定值问题

解答圆锥曲线中的定值问题主要有两种思路：（1）从特殊情形入手，先根据特殊位置、数值求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）根据题设条件建立关系式，直接进行推理、计算，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值.

例2.

解：

先根据韦达定理，将所求的表达式 1 | MN | + m |PQ| 用 m、n 表示出来；然后对其化简，消去变量 n ，即可断定 1 | MN | + m |PQ| 为定值．

三、定直线问题

求解圆锥曲线中的定直线问题有两种思路：（1）从特殊情形入手，如特殊位置、特殊点等，求出定直线的方程；再证明这条直线与变量无关；（2）先根据解题需求引入参数 k ，并建立方程，一般将题目中给出的曲线方程（直线）中的常数 k 当成变量，将变量 x、y 当成常数，将原方程转化为kf（x，y）+g（x，y）=0的形式；然后根据曲线（直线）过定点时与参数没有关系，即方程对参数的任意值都成立，得到关于 x、y 的式子，则该式就是曲线恒过的定直线.

例3.

解：

我们需先引入参数 λ ，根据线段长之比相等，利用点差法来建立关系式，求出点 M 的轨迹方程： （x1 - λx2）（x1 + λx2） 4（1 - λ）（1 + λ） + （y1 - λy2）（y1 + λy2） 3（1 - λ）（1 + λ） = 1 ；然后根据方程对任意参数值都成立，来建立方程，从而求得定直线的方程.

同学们在解答定点、定值、定直线问题时，要注意三点：（1）灵活运用数形结合思想、方程思想来建立关系式；（2）采用设而不求法和整体代换法，对关系式进行化简、变形；（3）注意培养直观想象、逻辑推理和数学运算能力.