怎样巧用几何意义优化解题的过程

吴飞鹏

几何意义是指从几何角度来解释代数式所具有的某种特殊含义.数学中的许多代数式都有它相应的几何意义，运用代数式的几何意义，可快速架起“数”和“形”之间的桥梁，将代数问题化为几何问题，利用几何知识来解题，这样不仅能转换解题的思路，还能减少运算量，提升解题的效率.

一、巧用直线参数方程中 t 的几何意义解题

若直线 l 经过定点 M0（x0，y0） ，且倾斜角为 α ，则直线 l 的参数方程为 {x = x0 + t cos α， y = y0 + tsin α， t 为参数.若 M1 、 M2 为直线 l 上的两点，且点 M1 、M2 对应的参数分别为 t1 、t2 ，则有如下结论成立：

②若弦 M1M2的中点为 M ，则点 M 对应的参数

在解答与线段有关的问题时，可以直接根据直线的参数方程中 t 的几何意义，快速求得线段的长以及线段的中点.

例1.已知在平面直角坐標系xOy中，直线 l 的倾斜角为α ， 且经过定点 P（4， 2）；以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，将极坐标方程ρ=4 cos θ表示的曲线记作 C .若直线 l 与曲线 C 相交，且两个交点分别为 M、N ，求PM +PN 的取值范围.

解答本题，需明确直线的参数方程中 t 的几何意义，将 t1、t2看作直线 l 上的两点 M、N 对应的参数，据此得出PM =t1、PN =t2、MN =t1- t2，将问题转化为线段问题，再根据比例中项的定义建立关系式.

二、巧用极径ρ的几何意义解题

我们知道，在极坐标系中，极径ρ的几何意义是以原点 O 为起点的线段长.在解答有关线段的长度问题时，若线段的一个端点为坐标原点，则可构造极坐标系，将线段长设为ρ ， 其线段与 x 轴的夹角设为θ ， 建立关系式，灵活运用极径ρ的几何意义来求线段的长、建立关于线段长的关系式.

例3.已知直线 l 的方程为 x +y =2，圆的方程为 x2+ y2=4，设点 P 在直线 l 上，射线 OP 交圆于点 R ，点 Q 在 OP 上，且满足OQ?OP =OR2，当点 P 在 l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程.

解：

由于 OP、OQ、OR 都经过点 O ，所以设 P、Q、R 的极坐标分别为ρ1， θ、ρ， θ、ρ2 ， θ.根据极径ρ的几何意义，由OQ?OP =OR2得ρρ1=ρ22，从而求得点 Q 轨迹的极坐标方程.

例4.

解：

本题中 OA、OB 以坐标原点为起点，于是以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，将椭圆的方程化为极坐标方程.而 A、B 两点在椭圆上，则可根据极径的几何意义，以及 OA 与 OB 的关系，设 A（ρ1，θ1） 、B（ρ2，θ1 + π 2 ） ，再将其代入椭圆的极坐标方程中进行运算，即可求得问题的答案.

可见，在解答与直线、线段有关的问题时，灵活运用直线的参数方程中参数的几何意义以及极坐标方程中极径的几何意义，能快速确定线段的表达式以及长度.这有利于简化运算，能有效地优化解题的过程，提升解题的效率.