基于多孔分数阶小波变换的谐波检测新方法

陈蓉,杨勇

(苏州大学 轨道交通学院,江苏 苏州 215131)

0 引 言

新型电力电子设备的广泛应用使得可再生能源并网运行更为灵活,系统快速控制能力大大增强,但其同时改变了电力系统的机理特性和运行控制方式,导致低频振荡、次/超同步振荡、高频谐波、间谐波及其他扰动信号频发,严重威胁电网的安全、稳定、经济运行[1-3]。因此,针对电网电力电子化发展的趋势,新型电力系统下复杂电力谐波信号的监 测和分析方法成为研究热点。

与传统电力系统相比,电力电子化电力系统稳态和动态过程中的电力信号呈现出频带更宽、分量更多、尺度更加多维等新特征[4-6]。为满足新型信号的监测需求,国内外研究学者一方面基于常用电力信号测量方法,如傅里叶变换、动态同步相量算法、Prony方法等做出多种改进[7-9],一定程度上提高了测量精度和频带范围,但是在动态响应速度,算法复杂度等方面仍需进一步完善;另一方面,通过采用在信号处理前端叠加使用不同的滤波器进行预处理,而后再对信号进行分类分析的方法,来解决现有测量方法仅适用于某一类或某几类信号的问题,进而实现宽频测量[10-12]。然而这类方法容易引发频率混叠、频谱泄露等问题,并且算法复杂度较高。

分数域信号分析是一种新兴的信号分析方法,其中分数阶傅里叶变换(fractional fourier transform,FRFT)可对信号进行分数阶频域上的表征,被成功应用于电力电子化电力系统中电能质量信号的降噪处理[13-15]。但由于其缺少时间定位信息,因此需对降噪后重构信号进行如离散小波变换等算法的进一步处理,方能获得信号的起止时刻等特征信息[15]。文献[16]中提出了分数阶小波变换滤波的概念,其实现过程是先对信号进行FRFT,搜索得到最优变换阶次;再对信号进行最优阶次的FRFT变换,而后做小波变换及阈值滤波处理。可以看到,其核心思想是在最佳分数阶变换域中进行小波变换,这与文献[17]提出的新型分数阶小波变换理论尚有较大区别。

作为小波变换和分数阶傅里叶变换理论的结合,分数阶小波变换(fractional wavelet transform,FRWT)具有自适应时频多分辨率分析能力,且其实现过程中不存在二次交叉项干扰,计算复杂度低[17]。近年来,多位专家学者对不同类型信号的FRWT采样与重构理论进行了深入研究,证明了FRWT在实际应用中的可行性[18-20]。目前,分数阶小波变换已成功应用于水印处理、地震探测信号去噪以及医学图像处理等领域,取得了较好的成果[21-22]。文献[23]将分数阶小波变换引入谐波检测,初步验证了该方法在抑制噪声影响的同时对谐波信号具有良好的检测效果。然而,分析发现基于分数阶小波变换实现谐波检测仍存在两方面问题:一方面,现有的分数阶小波变换离散计算主要基于经典Mallat算法完成。与小波变换类似,采用Mallat算法进行信号分解时存在下采样,数据信息逐级减少,导致FRWT不具备平移不变性,且频带易出现混叠,进而影响信号的局部特征表征能力及测量精度[24-25]。以往为消除下采样操作带来的不良影响,学者们研究提出了多孔算法,利用其有效改善了小波变换的信号处理性能[26-28]。另一方面,针对FRWT中的可变阶次p,文献[23]中采用了以一定步长Δp依次对信号进行FRWT分解、去噪和重构,而后选取使得去噪后SNR最大的p值作为最佳分数阶变换阶次的方法,显然实现该过程的计算复杂度较高。

为解决以上两方面问题,基于现有研究成果,文章拟将非下采样多孔算法与分数阶小波变换相结合,进而保证信号处理的平移不变性及细节信息不丢失,并且采用信号的分数阶高阶能量矩作为最佳分数阶变换阶次的快速确定依据,最终提出一种基于多孔分数阶小波变换的电力谐波检测新方法。

1 非下采样多孔分数阶小波变换

1.1 分数阶小波变换基本定义

信号x(t)∈L2(R)的p阶分数阶小波变换定义为:

(1)

1.2 基于Mallat算法的离散分数阶小波变换

根据多分辨率分析理论,分数阶小波变换是在时间-分数阶频率域中对信号进行处理,得到信号在各个子频带中的直和的过程。基于经典Mallat算法的离散分数阶小波变换(discrete fractional wavelet transform,DFRWT)的实现包含分解和重构两个过程[21]。

DFRWT的分解形式可表示为:

(2)

(3)

由式(2)和式(3)可见,DFRWT的分解过程可简述为三步:

DFRWT重构是上述分解过程的逆过程,可表示为:

(4)

(5)

由式(4)和式(5)可见,DFRWT的重构过程同样可简述为三步:

DFRWT分解与重构的实现过程如图1、图2所示。

图1 基于Mallat算法的DFRWT系数分解过程

图2 基于Mallat算法的DFRWT系数重构过程

1.3 改进的离散分数阶小波变换

如图1所示,基于Mallat算法实现的离散分数阶小波变换在逐级分解过程中,信号与滤波器组卷积后需进行一次二元抽取,这将使DFRWT不具备平移不变性,即信号处理结果将跟随信号起始位置的变化而发生改变。此外,随着分解尺度的增大,低频数据信息逐级减少,这将导致处理结果无法准确表征原信号特征,特别是信号中突变点的相关信息。为了解决上述问题,本文引入多孔小波,即非下采样小波算法,将其与分数阶小波变换相结合,进而改善DFRWT的信号处理能力。

在多孔小波算法中,信号与滤波器组卷积后不进行下采样操作。根据多分辨率分析理论中的等效易位特性,通过在上一级正交滤波器相邻各点间插入零值后再做卷积实现多孔算法,即第j级正交滤波器的系数是在第1级滤波器相邻系数之间插入2j-1个零所得,则基于多孔算法的分数阶小波变换分解形式可表示为:

(6)

(7)

相应的,重构形式为:

(8)

基于多孔算法的DFRWT系数分解与重构的实现过程如图3所示。

从图3所示的分解和重构实现过程可以看出,多孔算法中不需要进行数据抽取和插值,将其与分数阶小波变换相结合,既可保留基于Mallat算法实现的快速性,又可有效避免细节信息的丢失,进而有利于信号突变点的检测与分析。

2 基于多孔分数阶小波变换的谐波检测

以基于多孔算法的离散分数阶小波变换为核心,本文提出一种谐波检测新方法,信号处理流程包含信号去噪和参数检测2个步骤。

2.1 信号去噪

电力系统中,电力信号在传输、测量及接收过程中常被噪声污染,有效的信号去噪是后续开展高精度信号测量的基础。分数阶小波变换将信号分解到不同的分数阶频带上形成不同的能量聚集,若信号在某个分数阶频域上形成最佳能量聚集,该分数阶频域即为信号的最佳分数阶变换域,对应变换阶次p称为最佳分数阶变换阶次。由于噪声无法形成能量聚集,因此可对信号在最佳分数阶小波变换阶次下进行系数分解,而后对各子带系数进行阈值处理,进而实现信号去噪。

2.1.1 最佳分数阶变换阶次的确定

(9)

(10)

其中,s(t)和s′(t)分别是受噪声污染前原始信号和降噪处理后得到的恢复信号。显然,该方法在实际应用中存在两方面的问题:首先,每求取一次SNR就需要对信号进行一次DFRWT分解、去噪和重构处理,计算复杂度高;其次,工程应用中难以获得受噪声污染前的原始信号。

从模糊度函数出发,考虑噪声敏感度和计算复杂度因素影响,分数阶频谱四阶原点矩被成功应用于最佳分数阶傅里叶变换阶次的求取[29],其定义为:

(11)

式中Xp(u)为信号x(t)的p阶分数阶傅里叶变换,则最佳变换阶次可估计得:

(12)

分数阶频谱四阶原点矩直观反映了信号能量与分数阶变换阶次p的关系,即信号在分数阶域的能量聚集特性。同时,该方法无需原始信号的先验知识,无需在每一阶次下进行信号分解、去噪和重构,故计算复杂度低,因此本文将其推广应用于DFRWT最佳变换阶次的求取。

2.1.2 阈值滤波

确定最佳DFRWT变换阶次后,需对信号在最佳分数阶小波域进行变换系数的阈值滤波,进而去除噪声影响。基本的阈值滤波方法分为硬阈值和软阈值两种[30]。虽然硬阈值滤波结果是无偏的,但重构信号在突变处易产生振荡,进而影响信号起止时刻相关信息的检测。软阈值滤波则会导致重构信号过于平滑,丢失高频信息。为保证滤波效果,本文采用具有调节因子的改进阈值函数,如式(13)所示:

wj,k=

(13)

2.2 参数检测

2.2.1 谐波频率和幅值参数估计

瞬时频率和幅值参数是电网谐波信号的基本参数,为便于比较基于多孔算法和基于Mallat算法的离散FRWT性能,本文拟采用Hilbert变换实现谐波频率和幅值参数的求取[23]。对阈值滤波后的分数阶小波变换系数进行重构,获得去噪后的电网信号s′(t)。对s′(t)进行Hilbert变换,得解析信号的实部为r(t),虚部为i(t),则信号的瞬时频率f(t)和幅值参数A(t)可估计得:

(14)

2.2.2 暂态谐波起止时刻定位

电力电子化电力系统中除稳态谐波外,还存在很多暂态扰动,对于暂态谐波起止时刻的准确定位是新型电力系统下谐波检测的重要任务。从数学建模的角度分析,起止时刻的检测就是找到信号函数对应的奇异点位置,而该奇异特性可由信号幅值的阶跃变化较好的表征出来,即信号幅值函数的一阶导数会在信号的起止时刻出现极值。因此,本文采用求取重构信号幅值函数一阶导数的方法获取暂态谐波的起止时刻信息。

2.3 算法流程

根据上述各环节的原理分析,本文提出的基于多孔离散分数阶小波变换的谐波检测算法流程如图4所示。

图4 基于多孔DFRWT的谐波检测算法流程

各环节步骤可总结如下:

3)基于改进阈值公式(13)对DFRWT系数进行滤波处理;

4)对阈值滤波处理后的近似系数和细节系数进行单支重构,获得去噪后信号的各频率成份;

5)对各频率成份进行Hilbert变换,根据式(14)求取幅值和频率参数;

6)对幅值参数A(t)求一阶导数,获取暂态成份的定位参数。

3 仿真实验

为了验证算法性能,分别对稳态谐波、短时谐波以及时变谐波这三种典型谐波信号在MATLAB环境下进行仿真实验。综合考虑计算复杂度和去噪效果两方面因素,在信噪比未知的情况下,db43小波基应用于分数阶小波变换时具有较好的去噪效果[23]。因此,本文实验中选择db43小波作为小波基函数。此外,根据电网信号仿真结果,兼顾降噪和特征保留两方面效果,阈值滤波公式中的调节因子a的取值统一选定为8[30]。

3.1 稳态谐波信号检测

设稳态谐波信号定义为[23]:

x(t)=sin(ωt)+sin(2.2ωt)+sin(5ωt)

(15)

式中ω=2πf,f=50Hz,信号包含基波、2.2次间谐波和5次谐波,采样频率为2 560 Hz,采样时长为0.2 s。

根据分数阶频谱四阶原点矩求取信号的最佳分数域变换阶次,如图5所示。

图5 归一化分数阶频谱四阶原点矩分布

从图5中可以看到,谐波信号的归一化分数阶频谱四阶原点矩在最佳分数阶变换阶次处形成了明显的能量聚集峰,且聚集效果受噪声影响小,检测鲁棒性好。

在最佳变换阶次下对信号进行4层多孔DFRWT分解。对系数进行重构后得到恢复的基波和各次谐波分量,如图6所示。其中,CA4为恢复后的基波分量,CD4为2.2次间谐波分量,CD3为5次谐波分量。

图6 稳态谐波多孔离散分数阶小波变换分解结果

以2.2次间谐波和5次谐波分量为例,比较基于多孔算法和Mallat算法的离散分数阶小波变换处理后恢复信号的边沿特性。为便于观测,仅截取0.05 s内恢复信号,如图7所示。其中,CD4和CD3分别为基于多孔DFRWT算法恢复所得的2.2次间谐波分量和5次谐波分量;CD4′和CD3′则分别为基于Mallat 离散分数阶小波变换算法恢复所得的2.2次间谐波分量和5次谐波分量。从图7中可以看出,多孔DFRWT算法中,信号与滤波器组卷积后不进行下采样操作,不存在信息丢失,因此,恢复信号在起始突变点的边沿特性好于基于Mallat算法的离散分数阶小波变换处理结果。

图7 恢复信号边沿特性比较

对稳态谐波信号分别叠加信噪比为30 dB、20 dB和10 dB的高斯白噪声,使用本文提出的算法进行谐波参数检测,结果如表1、表2所示。

表1 不同信噪比下稳态谐波幅值检测结果

表2 不同信噪比下稳态谐波频率检测结果

从表1、表2中可以看出,在信噪比变化的情况下,基于多孔算法的离散分数阶小波变换可对稳态谐波信号各分量实现较为准确的参数检测,信噪比低至10 dB时,各信号分量幅值检测平均误差仅为0.98%,频率检测平均误差仅为0.03%;信噪比降至0 dB时,各信号分量参数检测误差稍有增大,幅值检测平均误差为1.79%,频率检测平均误差为0.42%,仍可满足国家标准GB/T 14549-1993中给出的谐波测量误差在5%范围之内的要求。

3.2 短时谐波信号检测

设短时谐波信号定义为[23]:

x(t)=sin(ωt)+0.5sin(3ωt1)+0.4sin(5ωt1)

(16)

式中ω=2πf;f=50 Hz;0.12 s≤t1≤0.24 s,采样频率为6 400 Hz,采样时长为0.4 s。信号包含基波、3次谐波和5次谐波,且3次谐波和5次谐波均产生于0.12 s,至0.24 s结束。

根据采样频率及谐波分量频率计算得,DFRWT分解层次为5时,可对基波与各次谐波实现分离。图8展示了信噪比为30 dB的情况下,基于本文算法恢复得到的基波和各次谐波分量。其中,CA5为恢复后的基波分量,CD5为3次谐波分量,CD4为5次谐波分量。

图8 短时谐波多孔离散分数阶小波变换分解结果

对短时信号发生时段内的参数进行检测,结果如表3、表4所示。

表3 不同信噪比下短时谐波幅值检测结果

表4 不同信噪比下短时谐波频率检测结果

可以看到,基于多孔算法的离散分数阶小波变换可对短时谐波信号各分量实现较为准确的参数检测,且性能优于文献[23]给出的基于Mallat算法的DFRWT方法得到的参数估计结果。同时,随着信噪比的降低,参数检测结果误差逐渐增大,在信噪比为30 dB时,幅值检测平均误差为0.31%,频率检测平均误差为0.03%;信噪比低至0 dB时,幅值检测平均误差为1.91%,频率检测平均误差为0.33%,可见幅值参数的检测结果更易受到噪声的影响。

对重构信号中短时谐波分量的幅值函数求取一阶导数,进而获取短时谐波的起止时刻信息,结果如表5所示。

表5 短时谐波信号起止时刻检测结果

如表5所示,与基于Mallat算法的DFRWT方法相比较,基于多孔DFRWT算法得到的恢复信号边沿特性更好,进而有利于提高短时信号起止时刻检测的精确度。

3.3 时变谐波信号检测

设时变谐波信号定义为[23]:

(17)

式中ω=2πf;f=50 Hz;0

在最佳分数阶变换阶次上对式(17)所示时变谐波信号实施多孔DFRWT分解,分解层次为5。图9展示了信噪比为30 dB情况下恢复得到的时变的基波和各次谐波分量。其中,CA5为恢复后的基波分量,CD5为3次谐波分量,CD4为7次谐波分量。

从图9中可以看到,基于本文算法可对受噪声污染的时变谐波中的基波和各次谐波实现较好的分离和恢复。在信号分量幅值发生突变的时刻,如图9中所示的CD5分量在0.12 s时刻的波形特征,基于多孔DFRWT算法的恢复特性明显好于文献[23]给出的基于Mallat离散分数阶小波变换算法的恢复特性。

对时变信号发生时段内的参数进行检测,结果如表6所示。

由表6可以求得,时变谐波信号在t1时段内的幅值平均误差为0.58%,频率平均误差为0.04%;在t2时段内的幅值平均误差为0.53%,频率平均误差为0.03%。与文献[23]表6中给出的结果相比,基于本文提出的基于多孔DFRWT算法的检测结果更优,可以对时变信号分量在不同时段内的幅值和频率参数实现更好的检测。

对时变谐波分量的幅值函数求取一阶导数,以获得起止时刻信息。图10给出的是对基波和3次谐波恢复分量瞬时幅值做一阶导数及阈值处理后的结果。

图10 时变谐波多孔离散分数阶小波变换定位结果

从图10中的坐标值可以看出,本文算法可对时变谐波分量的起止时刻实现高精度检测。进一步对两种DFRWT算法的起止时刻检测性能进行比较,结果如表7所示。

表7 时变谐波信号起止时刻检测结果

从表7中可以看到,与基于Mallat算法的离散分数阶小波变换相比,基于多孔DFRWT算法的检测结果,除三次谐波起始时刻估计值误差大0.1 ms外,其余时刻的检测性能均为更优,从而进一步证明采用基于多孔DFRWT的谐波检测算法更有利于提高暂态谐波信号定位信息的检测精度。

3.4 信号长度对检测精度的影响分析

为检验信号长度对算法检测精度的影响,采用本文3.1节中稳态信号为实验对象,采样频率仍为2 560 Hz,采样时长分别设为0.04 s、0.08 s、0.1 s、0.12 s,信噪比为30 dB。实验结果如表8所示。

表8 不同信号长度下参数检测结果

根据表8所示实验结果可以看到,信号长度低至两个工频周期时,幅值和频率检测误差分别为0.3%和0.13%;信号长度翻倍后,幅值和频率检测误差下降为0.12%和0.11%;信号长度为0.1 s时,幅值和频率检测误差分别为0.09%和0.11%;继续增加信号长度至0.12 s时,幅值和频率检测误差分别为0.08%和0.10%,幅值误差与表1中0.2 s信号长度时结果相同。可见,随着信号长度的增加,幅值和频率参数检测精度保持稳定。

3.5 算法实时性分析

本文提出的谐波检测算法主要包含分数阶频谱四阶原点矩计算、多孔DFRWT以及Hilbert变换等操作,由于涉及多次数值求解,因而难以给出计算复杂度的精确表达式。为验证算法的实时性,采用算法的运行耗时来衡量。实验计算机配有i7处理器,2.2 GHz主频,实验信号分别为无噪声环境下论文3.1、3.2和3.3节中设置的稳态、短时及时变谐波信号。

从表9中可以看到,虽然多孔算法的计算复杂度高于Mallat算法,但是由于谐波检测算法中最佳DFRWT变换角度的确定方法采用了信号的分数阶高阶能量矩作为快速确定依据,避免了多次重复进行DFRWT运算,进而保证了本文提出的谐波检测算法在提高参数检测精度的同时,并未以牺牲算法计算复杂度为代价。

表9 检测算法实时性比较

4 结束语

本文将非下采样多孔算法与分数阶小波变换相结合,提出一种新的离散分数阶小波变换实现方法。从理论分析和实验验证两方面论证了多孔DFRWT在电力谐波检测方面的优秀性能。实验结果表明,与传统的基于Mallat算法的DFRWT相比,由于多孔DFRWT算法过程中无下采样,不存在数据丢失,因此在谐波信号检测及参数分析过程中,能更好的保留局部特征信息,提高测量精度。此外,针对传统基于信噪比的最佳分数阶变换阶次的方法计算量大的问题,文章引入了分数阶高阶能量矩作为最佳分数阶变换阶次的快速确定依据,有效提高谐波信号的检测效率。但从文中的实验检测结果中可以看出,本文提出的方法对幅值的检测精度明显逊于频率检测精度,且更易受噪声和信号长度的影响,因此在后续工作中将进一步研究如何提高算法的时间分辨率,进而有效提高谐波信号的幅值检测精度。