对一道高考题的分析与拓展

洪秀成

江西省九江市第七中学 (332001)

1.试题呈现

(2022年高考数学新高考Ⅰ卷第22题)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值．(1)求a;(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

本题主要考察了函数的单调性和极值、等差数列、函数的零点存在定理、函数的同构等知识;考察了分类讨论、数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想;考察了推理论证、运算求解、抽象概括等关键能力;考察了逻辑推理、数学运算等核心素养.本题在知识层面、能力立意、创新要求等方面都有所体现,能很好的发挥数学试卷在高考中的选拔功能.

2.解法探究

证法2：由(1)知,f(x)=ex-x在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,且当x→-∞时,f(x)→+∞,当x→+∞时f(x)→+∞;g(x)=x-lnx在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且当x→0时,g(x)→+∞,当x→+∞时g(x)→+∞;且f(0)=g(1)=1,因此存在x0∈(0,1),使得f(x0)=g(x0).令b=f(x0)=g(x0),则直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,依次记为x1,x0,x2(其中x1<0

3.试题背景分析

本题以同底的指数函数、对数函数互为反函数,它们的函数图象关于直线y=x对称为起点,考察对称思想中所蕴含的数量关系,具体过程如下: 直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)交点的横坐标,也即是方程ex-x=b和方程x-lnx=b的根之间的数量关系.注意到y=ex与y=lnx、y=x+b与y=x-b均互为反函数,借助函数图象研究交点的横坐标之间的数量关系,结合对称性,只需考虑b>0时的情形,具体如下:

如图1,当0

图1

如图2,当b=1时,直线y=x+b与函数y=ex相切,对应的交点的个数为2个,舍去.

图2

如图3,当b>1时,直线y=x+b与函数y=ex相交,对应的交点的个数为4个,设A(x1,ex1),B(x2,ex2),C(x3,lnx3),D(x4,lnx4),有对称性知x1+x4=lnx3+ex2=(x3-b)+(x2+b)=x2+x3,即x1+x4=x2+x3.

图3

如图4,特别的,高考题中只需满足x2=x3时,也即BC垂直于x轴,x1+x4=2x2,从而x1,x2,x4成等差数列.

图4

4.试题拓展

图5

图6

图7

图8

“把握数学本质,启发思考,改进教学”是新课标的重要理念,命题背景的挖掘和解法的探究以及拓展,有助于帮助学生揭示数学问题的本质,启发学生找到解决问题的正确方向和先进方法,更加深刻地理解问题,提升学生学习数学的兴趣,开阔学习数学的视野．为此,一线教师应当把握合适的契机,充分挖掘高考试题中的规律,将命题的本质通过试题解析以及变式拓展等方式呈现给学生,能帮助学生更好的运用数学知识解决问题,形成数学能力,提升数学核心素养．